21 微专题5 中点四边形-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·下册(R) 微专题5中点四边形 新课学 中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形 技巧：中，点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明. 核 心讲练 类型1：普通四边形 1.例【RJ八下P68改编】如图，探究并填空： (1)当四边形ABCD为平行四边形时，它的中点四边形是 (2)当四边形ABCD为矩形时，它的中点四边形是 (3)当四边形ABCD为菱形时，它的中点四边形是 (4)当四边形ABCD为正方形时，它的中点四边形是 类型2：对角线相等的四边形 类型3：对角线垂直的四边形 2.例如图，在四边形ABCD中，AC=BD,点E,3.例如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD F,G,H分别是各边的中点，四边形EFGH是 相交于点O,且AC⊥BD,点E,F,G,H分别是 什么特殊的四边形？请证明， AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH 是矩形. 类型4：对角线相等且垂直的四边形 4.例如图，在四边形ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,点E,F,G,H分别是AB,BC, CD,DA的中点，则四边形EFGH是 形 ●>38● 第二十一章四边形 ● 过关检厕 ● 基础训练 5.【易错题】如果顺次连接四边形各边中点组成6.如图，正方形ABCD的周长为 的四边形是菱形，那么原来的四边形一定是 16cm,顺次连接正方形各边中 点E,F,G,H,得到四边形 A.矩形 B.菱形 EFGH的面积等于cm. C.对角线相等 D.对角线互相垂直 圆能力训练 7.如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一 个正方形A1B1C1D1.又顺次连接正方形A1B1C1D1四边中点得到第二个正方 形A2B2C2D2,…,以此类推，则第六个正方形ABC6D的周长为 ,第n个 正方形A,B,C,D的周长为 圆拓展训练 8.如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一个动点，PE⊥CM,PF⊥BM,垂 足分别E,F (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明； (2)在(1)的条件下，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，并证明. ●>39●数学八年级下册(RJ) .四边形EFGH是菱形， ,BD⊥AC,.EF⊥FG, .四边形EFGH是正方形， 过关检测 5.AC=BD6.1:2 7.(1)证明：，'CE,CF分别是△ABC的内外角平分线， ∠ACE+∠ACF=Z×180=90, AE⊥CE,AF⊥CF, .∠AEC=∠AFC=90°，∴.四边形AECF是矩形： (2)解：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方 形，理由是：“∠ACE=号∠ACB=45,∠AEC=90°， .∠EAC=45°=∠ACE,∴.AE=CE, .四边形AECF是矩形，.四边形AECF是正方形. 8.(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF, .∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC, 又∠BAC=45°， ∴∠EAF=2∠BAD+2∠DAC=2∠BAC=90°， 又AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°， ∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， .四边形AEGF是矩形.又，AE=AD,AF=AD, .AE=AF,.矩形AEGF是正方形. (2)6 微专题5中点四边形 核心讲练 1.(1)平行四边形(2)菱形(3)矩形(4)正方形 2.解：四边形EFGH是菱形.证明如下： :点E,H是中点，∴EHL号BD, 同理FGL合BD,∴CHLFG,. .四边形EFGH是平行四边形， 又：点E,F是中点，∴EF=分AC, 又，AC=BD,∴.EH=EF,.□EFGH是菱形 3.证明：点H,G是中点，HGL2AC, 同理EFLTAC,∴HGLEF, .四边形EFGH是平行四边形， 又点G,F是中点，GF∥DB, .GF∥DB,HG∥AC,∠COD=90°， ∴.四边形MONG是矩形，.∠HGF=90°， ∴.四边形EFGH是矩形， 4.正方 过关检测 5.c6.824x() 8.解：(1)当矩形的长AD=2AB时，四边形PEMF为矩形； 证明如下：，四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,AB=CD,∠A=∠D=90°， .AD=2AB,M是AD的中点，∴.AB=AM=DM=CD, ∴.△ABM和△DCM是等腰直角三角形，且BM=CM, ∴∠AMB=∠DMC=45°，∴.∠BMC=90°， PE⊥CM,PF⊥BM,∠PFM=∠PEM=90°， .四边形PEMF为矩形； (2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形； 证明如下：.P为BC的中点，PF∥MC, .F为MB的中点，.PF为△BCM的中位线， ·PF=2CM=令BM=MF, ∴矩形PEMF为正方形. 第31课时特殊的平行四边形习题课 新课学习 (1)直角(2)相等 (1)有一个角是直角(2)对角线相等 (3)有三个角是直角 (1)相等(2)互相垂直 (1)一组邻边相等(2)对角线互相垂直(3)四条边相等 (1)相等(2)直角(3)相等且互相垂直 (1)一组邻边相等(2)有一个角是直角 核心讲练 1.422√32.6022√3823 3.(1)证明：在矩形ABCD中AC=BD,OC=2AC, OD-BD,:.0C=OD, ,DE∥AC,CE∥BD,∴.四边形OCED是平行四边形， ∴.四边形OCED是菱形. (2)24 过关检测 4.B5.①②⑤ 6.证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点， .AD∥BC,AO=CO, ∴.∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC, .△AOM≌△CON(AAS),.AM=CN, ∴.四边形ANCM为平行四边形. 2号 7.解：(1)当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP, 即：t=8-t,解得t=4, ∴当t=4时，四边形ABQP是矩形； (2)设t秒后，四边形AQCP是菱形，当AQ=CQ时， 即√4+平=8-t时，四边形AQCP为菱形， 解得t=3,∴当t=3时，四边形AQCP是菱形； (3)当t=3时，CQ=5,则周长为4CQ=20(cm), 面积为4×8-2×号×3×4=20(cm2)。 微专题6平行四边形中的最值问题 核心讲练 1.B2.√33.2√5米4.35.√13 过关检测 6.107.258.99.22 10.证明：(1)，四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD, :将△ADE,△CBF分别沿DE,BF翻折，点A,点C都恰 好落在点O处，.△ADE≌△ODE,△CFB2△OFB, ·∠ADE=∠ODE=号∠ADB, ∠CBF=∠OBF=z∠CBD,∠EDO=∠FBO: (2).∠EDO=∠FBO,.DE∥BF, 四边形ABCD是矩形，.AB∥CD,AD=BC,∠A=90°， DE∥BF,AB∥CD,.四边形DEBF是平行四边形， 又.△ADE△≌△ODE,.∠A=∠DOE=90°， .EF⊥BD,∴.四边形DEBF是菱形. (3)23 12