20 微专题4 用勾股定理解决最短路径问题-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·下册(R) 微专题4利用勾股定理解决最短路径问题 新课学 1.借助将军饮马模型求最短线段和，线段和是某直角三角形的斜边 2.把立体图形展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”求解. 圆柱 长方体 图例 04 类型1：平面图形中的最短路径问题 1.例如图，在正方形ABCD中， 2.如图，A处为牧草地，B处是 AB边上有一点E,AE=3,EB= 牧童的家，A,B两处距河岸 D 1,在AC上有一点P,使EP+ 的距离分别为AC=350m,围 BP为最短，则EP+BP的最短距离是 BD=1250m,且AB两地的距离为1500m, 天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶 回家.则牧童至少要走 m 类型2：圆柱中的最短路径问题 3.例如图所示，从点A开始环绕圆 4.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不 柱有一架梯子，正好到达A点的正 计)的高为15cm,在容器内壁离容器底部3cm的 上方B点，已知圆柱的底面周长是 A 点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外 12米，高AB为5米，则梯子最短是 米 壁，位于离容器上沿3cm与蜂蜜相对的点A处， 若该圆柱底面周长为40cm,则蚂蚁吃到蜂蜜需 爬行的最短路径长为 cm. 类型3：长方体中的最短路径问题 5.如图，长方体中AB=10,BC= 6.如图①，一个 4,BF=3,P为HG的中点，在 立方体的棱长 ,‘D P处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从 为1，有一只蚂 点A出发，沿长方体表面到点P处吃蜂蜜，那么 蚁从点A出 ① ② ③ 它爬行的最短路程是 发，沿着立方体的表面爬行到点G.把立方体展开 如图②③，根据“两点之间线段最短”，可知蚂蚁沿 线段AG爬行路径最短，最短路径长为 ●>20● 第二十章勾股定理 过关检测 基础训练 7.如图，在正方形ABCD中，AB= 8.如图，四边形ABCD是长方形 2√2，E是AB的中点，P是对角线 土地，AB=10m,AD=5m,中 AC上一动点，则EP+BP的最小 间竖有一堵高1m的砖墙 值是 (MN=1m).一只蚂蚁从点A爬到点C,它必 须翻过中间那堵墙，则它至少要爬 m, 9.如图，台阶阶梯每一层高单位：cm 10.如图，一个无盖的长方体盒子 .50 20cm,宽40cm,长50cm. 的长、宽、高分别为3.5cm, 4 24 cm 一只蚂蚁从A点爬到B点， 3.5cm,24cm,一只蚂蚁想从 4● 最短路程是 盒底的点A沿盒的表面爬到 3.5cm 3.5cm 盒顶的点B,则它爬行的最短路程是 cm. 能力训练 11.如图，长方体的长为15cm,宽 B5 cm 12.如图，一个无盖的长方体盒子的棱 为10cm,高为20cm,点B到 20 cm 长分别为BC=3cm,AB=4cm, 点C的距离是5cm,在点B A AA1=5cm,盒子的内部顶点C 15 cm 10 cm 处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁如果 处有一只昆虫甲，在盒子的内部 沿着长方体的表面从点A爬行到点B去吃蜂 顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不 蜜，蚂蚁需要爬行的最短路程是 计).假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，A处 的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C1处的 最短路程 拓展训练 13.如图1，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿 着木柜表面爬到柜角C1处，若AB=3,BC=4,CC1=5.请你在如图2的网格（每个小正方形的 边长均为1)中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径，并求 蚂蚁爬过的最短路径的长. 图 图2 ●>21●(3)根据等边三角形的性质得到AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°， 根据CE是AB边上的中线，求得AE=BE=子AC, ∠AEC=∠BEC=90,∠BCE=∠ACE-2∠ACB=30°， 由折叠的性质得∠EDF=∠A=60°，AE=DE,AF=DF, 设AE=x,则AC=2x, 根据勾股定理得到CE=√AC一AE=√3x, 求得AF=(√3一1)x, 于是得到AE:AF=x:(W3-1Dx=B+1」 2 微专题4利用勾股定理解决最短路径问题 核心讲练 1.52.20003.134.255.746.5 过关检测 7.√108.139.130cm10.2511.25cm12.√74cm 13.解：有两个方案：如答图所示， C. B A B---- 1 4 方案 方案二 答图 方案一中，AC=√32+9=3√10， 方案二中，AC=√72+5=√/74，∴.√74<3√10， 蚂蚁爬过的最短路径的长为√74. 第16课时《勾股定理》单元复习 核心讲练 1.5或√/72.(1)√29(2)173.4 4.8.55.C6.D7.C 8.(1)w132/13√65 (2)证明：AB=13,BC=52,AC=65, .AB+BC=65=AC,∴△ABC为直角三角形. (3)265 5 9.(1)解：，∠C=90°，AC=6,BC=8, .AB=√/AC+BC=10, ,将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C处， .△ADC≌△ADC. .CD=CD,∠ACD=∠ACD=90°， 即∠DCB=180°-∠AC'D=180°-90°=90°，AC=AC=6, ,∴.BC=AB-AC=10-6=4, .△DCB为直角三角形，且∠DCB=90°， ∴.CD2+CB2=DB2,即CD2+42=(8-CD)2,.CD=3; (2)①证明：由折叠可知△PAB≌△PEB, PA=PE,∠A=∠E=90°， (∠D=∠E=90°， 在△DPG和△EFG中，DG=EG, (∠DGP=∠EGF ∴.△DPG≌△EFG(ASA),'.PG=FG, .PG+GE=FG+GD,即PE=DF； ②解：.△PAB≌△PEB,△DPG≌△EFG,AB=8,AD=6, .PE=DF=PA,即CF=8一DF=8-AP, 参考杏宋 ∴.EF=DP=AD-AP, 即BF=8-EF=8-(6-AP)=2+AP， ∠C=90°，BC+CF=BF, 即62+(8-AP)2=(2+AP)2,AP=24 5 本章中考热点 1.解：(1)S,=a2+8+2×号ab=a2+6+ab, S=2+2x2ab=2+ab: (2)由S=S2得：a2+b2+ab=c2+ab,.a2+b2=c2. 2.(1)左上(2)4 解：(2)需补充的推理过程如下： ∴.ac>bc, .b>c,∴.ab>ac. 【简单应用】50【问题回归】13 第二十一章四边形 第17课时四边形及其内角和 新课学习 1.四边形四边形的边四边形的顶点四边形的对角线 四边形的内角角四边形的外角 2.360°360 3.稳定性不稳定性 核心讲练 1.D2.A3.70°4.(1)155°(2)50 过关检测 5.B6.(1)180°(2)95°7.1408.1209.D10.B 11.B12.(1)①④⑥(2)略 13.证明；如答图.，四边形ABCD的内角和是360°， ,.∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°. ∠A=∠C=90°， ∴.∠ABC+∠CDA=360°-∠A-∠C= 360°-90°-90°=180° .BE平分∠ABC, DF平分∠CDA, ∠2=3∠ABC, 2 ∠4=2∠CDA, 答图 ∠2+∠4=（∠ABC+∠CDA)=90. :∠C=90°，.∠DFC+∠4=90°， .∠2=∠DFC,.BE∥DF. 14.解：由于B,C两连接处可以活动， .当A,B,C,D形成一条线段时，AD最长， 此时AD=1+2+5=8(cm); 当A,B,C拉直，B,A落在CD上时，AD最短， 此时AD=5-1一2=2(cm), 这根橡皮筋可以拉到的最大长度为8cm, 最短长度为2cm. 第18课时 多边形及其内角和 新课学习 1.正多边形 (n-2)·180° 2.(n-2)·180°(n≥3) 3.(n-3) n(n-3) 2 (m-2)4.360 注意：(2)360°(3)360