20 微专题3 利用匀股定理解决翻折问题-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学八年级下册(RJ) 2.证明：.AC=6,BC=8,AB=10.∴.AB2=AC+BC, ∴.△ABC是直角三角形，∴.∠C=90°. 3.证明：AB=3,AC=4,AB⊥AC, ∴.∠A=90°， .BC=√32+4=5， .BD=12,CD=13, .BC+BD=52+122=132 =CD2, ∴.△CBD是直角三角形，∠CBD=90° .BC⊥BD 4.解：如答图，连接AC 由勾股定理得： AC=√22+1=√5， BC=√22+1下=√5， AB=√32+1平=√/10， 答图 ..AC=BC,ACe+BC=5+5=10=AB, .△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°， .∠ABC=45°. 过关检测 5.(1)A(2)直角三角形 6.解：(1)△ABC是直角三角形.理由： .AC心=22+62=40，BC=12+32=10,AB2=52+52=50. ∴.AC+BC=10+40=50, ∴AB2=AC十BC,△ABC是直角三角形. (2)10 7.解：BC=6,D为BC的中点，.BD=3, 在△ABD中，AB=4,AD=5,BD=3, .32+42=52,.BD2+AB2=AD2,∴.∠B=90°， ∴.AC=√AB+BC=√4+6=2√I3, 8.证明：设AB=4a,E为AB的中点， :.BE-CE-2a,CF-1CD,:.CF-a,DF-3a, ∴.AE=√AB+BE=2√5a,EF-√CE+CF=√5a AF=VAD+DF=5a, AE+EF=(2√5a)2+(√5a)2=25a2,AF=25a2, ∴.AE2+EF2=AF2,∴.∠AEF=90°. 第15课时勾股定理的逆定理(2) 新课学习 1.性质判定 核心讲练 1.如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等 不成立 2.D3.正北4.北偏东50° 5.解：(1)90 (2)当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小， :△ABC的面积=号AB,CD=AC,BC, ∴.AB·CD=AC·BC,.200CD=120×160,解得CD=96, .铺设水管的最小长度为96米 过关检测 6.B7.50 8.解：1) 8 答图1 答图2 (2)①如答图1，当AC=AP=3时，△ACP为等腰三角形， ∴.AC+CB+BP=3+4十5-3=9，∴.t=9÷1=9(秒)； ②如答图2，当AC=CP时，作CD⊥AB于点D, 根据面积法求得CD=2.4, 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=1.8, .AP=2AD=3.6,∴.CA+CB+BP=3+4+5-3.6=8.4, 此时t=8.4÷1=8.4(秒). 综上所述，t为9或8.4时，△ACP为以AC为腰的等腰三 角形 9.解：验证：以40、41和9为边长的三角形是直角三角形， 理由： .92+402=81+1600=1681,412=1681, 即92+402=412， .以40、41和9为边长的三角形是直角三角形； 探究：由题意，.m+(m+1)=n2,∴.n2=2m十1， .n2+m2=2m+1+m2=m2+2m+1=(m+1)2, .以m、m十1和n为边长的三角形是直角三角形， .“发现”中的结论正确。 微专题3利用勾股定理解决翻折问题 核心讲练 1.解：四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=8, 根据折叠的性质得∠A'=∠A=90°，AE=EA', AD=AB=4, 设DE=x,则AE=A'E=8一x, 在Rt△DEA'中，EA'+DA=DE, 即42+(8-x)2=x2, 解得x=5,∴.DE=5. 2.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=6,∠A=∠D=90°， 由折叠的性质得∠D=∠D=90°，∴.∠A=∠D, 在△ACG和△DEG中， I∠AGC=∠DGE, ∠A=∠D, .△ACG≌△DEG(AAS); AC'-D'E, (2)解：，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB 边的中点C上，BC=7AB=3,CF=CF, 在Rt△BCF中，CF2=BF+CB, .CF=(9-CF)2+32,∴.CF=5,.BF=4. 3.解：设CE=x,:四边形ABCD是矩形，∠B=90°， .AC=AB2+BC=32+42=25, .AC=5,.BC=5-3=2, 由折叠可知：∠ABE=∠B=90°， AB'=AB=3,EB'=EB=4-x, 在Rt△CEB'中，EC=EB'+B'C, =4-+2z=号CE=号 5 过关检测 45cm5.66.8 7.解：(1)3 (2)根据三角形中线的定义得到AE=BE=号AB=3, 根据勾股定理得到CE=√AE+AC=√32+4=5， 由折叠的性质得∠EDF=∠A=90°， AF=DF=AC-CF=4-CF,DE=AE=3,CD=2, 根据勾股定理得到AF=号，于是得到AE:AF=3:2 3 =2； 6 (3)根据等边三角形的性质得到AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°， 根据CE是AB边上的中线，求得AE=BE=子AC, ∠AEC=∠BEC=90,∠BCE=∠ACE-2∠ACB=30°， 由折叠的性质得∠EDF=∠A=60°，AE=DE,AF=DF, 设AE=x,则AC=2x, 根据勾股定理得到CE=√AC一AE=√3x, 求得AF=(√3一1)x, 于是得到AE:AF=x:(W3-1Dx=B+1」 2 微专题4利用勾股定理解决最短路径问题 核心讲练 1.52.20003.134.255.746.5 过关检测 7.√108.139.130cm10.2511.25cm12.√74cm 13.解：有两个方案：如答图所示， C. B A B---- 1 4 方案 方案二 答图 方案一中，AC=√32+9=3√10， 方案二中，AC=√72+5=√/74，∴.√74<3√10， 蚂蚁爬过的最短路径的长为√74. 第16课时《勾股定理》单元复习 核心讲练 1.5或√/72.(1)√29(2)173.4 4.8.55.C6.D7.C 8.(1)w132/13√65 (2)证明：AB=13,BC=52,AC=65, .AB+BC=65=AC,∴△ABC为直角三角形. (3)265 5 9.(1)解：，∠C=90°，AC=6,BC=8, .AB=√/AC+BC=10, ,将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C处， .△ADC≌△ADC. .CD=CD,∠ACD=∠ACD=90°， 即∠DCB=180°-∠AC'D=180°-90°=90°，AC=AC=6, ,∴.BC=AB-AC=10-6=4, .△DCB为直角三角形，且∠DCB=90°， ∴.CD2+CB2=DB2,即CD2+42=(8-CD)2,.CD=3; (2)①证明：由折叠可知△PAB≌△PEB, PA=PE,∠A=∠E=90°， (∠D=∠E=90°， 在△DPG和△EFG中，DG=EG, (∠DGP=∠EGF ∴.△DPG≌△EFG(ASA),'.PG=FG, .PG+GE=FG+GD,即PE=DF； ②解：.△PAB≌△PEB,△DPG≌△EFG,AB=8,AD=6, .PE=DF=PA,即CF=8一DF=8-AP, 参考杏宋 ∴.EF=DP=AD-AP, 即BF=8-EF=8-(6-AP)=2+AP， ∠C=90°，BC+CF=BF, 即62+(8-AP)2=(2+AP)2,AP=24 5 本章中考热点 1.解：(1)S,=a2+8+2×号ab=a2+6+ab, S=2+2x2ab=2+ab: (2)由S=S2得：a2+b2+ab=c2+ab,.a2+b2=c2. 2.(1)左上(2)4 解：(2)需补充的推理过程如下： ∴.ac>bc, .b>c,∴.ab>ac. 【简单应用】50【问题回归】13 第二十一章四边形 第17课时四边形及其内角和 新课学习 1.四边形四边形的边四边形的顶点四边形的对角线 四边形的内角角四边形的外角 2.360°360 3.稳定性不稳定性 核心讲练 1.D2.A3.70°4.(1)155°(2)50 过关检测 5.B6.(1)180°(2)95°7.1408.1209.D10.B 11.B12.(1)①④⑥(2)略 13.证明；如答图.，四边形ABCD的内角和是360°， ,.∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°. ∠A=∠C=90°， ∴.∠ABC+∠CDA=360°-∠A-∠C= 360°-90°-90°=180° .BE平分∠ABC, DF平分∠CDA, ∠2=3∠ABC, 2 ∠4=2∠CDA, 答图 ∠2+∠4=（∠ABC+∠CDA)=90. :∠C=90°，.∠DFC+∠4=90°， .∠2=∠DFC,.BE∥DF. 14.解：由于B,C两连接处可以活动， .当A,B,C,D形成一条线段时，AD最长， 此时AD=1+2+5=8(cm); 当A,B,C拉直，B,A落在CD上时，AD最短， 此时AD=5-1一2=2(cm), 这根橡皮筋可以拉到的最大长度为8cm, 最短长度为2cm. 第18课时 多边形及其内角和 新课学习 1.正多边形 (n-2)·180° 2.(n-2)·180°(n≥3) 3.(n-3) n(n-3) 2 (m-2)4.360 注意：(2)360°(3)360数学·八年级·下册(R) 微专题3 利用勾股定理解决翻折问题 新课学 ● 解决折叠问题的关键是抓住对称性.一般设未知数，由勾股定理列出含有平方关系的方程，运用方 程思想分析和解决问题， 核心讲 练 类型1：折点与顶点重合的翻折 1.例如图，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点B与点D重合，点A落在A'处，若AB=4, BC=8,求DE的长 B 类型2：折点在边上的翻折 类型3：折点在对角线上的翻折 2.例如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶3.如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=4,点E 点C恰好落在AB边的中点C'处，若AB=6, 是BC边上一点，连接AE,将∠B沿直线AE BC=9,AC'=D'E. 折叠，使点B落在点B'处.如图，当点E不与点 (1)求证：△ACG≌△D'EG; C重合，且点B在对角线AC上时，求CE D' (2)求BF的长， 的长 G ●>20● 第二十章勾股定理 过关检测 ● 区基础训练 4.如图，在长方形纸片ABCD 5.如图，在Rt△ABC中，∠C= 中，AB=10cm,BC=8cm, 90°，∠A=30°，D,E分别为 E为BC上的一点，将纸片沿 AC,AB边上的点，将 A AE翻折，使点B与CD边上的点F重合.则 △ADE沿DE翻折，点A恰好与点B重合，若 线段EF的长为 CD=3,则AD= 能力训练 6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点E,G分别在BC,AB上，将 △DCE,△BEG分别沿DE,EG翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重 合.当A,P,F,E四点在同一直线上时，线段GP的长为 圆拓展训练 7.【综合与实践】问题情景：在数学活动课上，老师展示一张直角三角形纸片，如图1，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=6,AC=4,点E,F分别在AB,AC上，将△AEF沿EF折叠得△DEF,使点A 的对应点D落在线段CE上.各学习小组先解决老师提出的问题，然后又提出了新的数学问题， 请你解决这些问题. 问题解决：(1)老师提出问题：如图1，若∠ACE=30°，则AE:AF的值为； 深入探究：(2)如图2，勤学小组提出问题：若CE是AB边上的中线，求AE:AF的值； 拓展探究：(3)如图3，奋进小组提出问题：将直角三角形纸片换成等边三角形纸片，即在等边△ABC 中，若CE是AB边上的中线，求AE:AF的值. ●>21●