20 第15课时 勾股定理的逆定理(2)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·下册(R) 第15课时 勾股定理的逆定理(2) 新课标“探索勾股定理的逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 新课学 1. 勾股定理是直角三角形的 定理，它的逆定理是直角三角形的 定理； 2.常见的勾股数：3,4,5；5,12,136,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41 核心讲 练 核心考点了命题与逆命题 1.例写出下面命题的逆命题，并判断逆命题是2.下列命题的逆命题不正确的是 否成立 A.直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 全等三角形的对应角相等. B.两直线平行，内错角相等 逆命题： C.等腰三角形的两个底角相等 D.对顶角相等 是否成立？ 核心考点2勾股定理逆定理的应用 3.例如图，A,B,C三地两两距离如图所示，A4.如图，OA=6,OB=8,AB= 地在B地的正东方向12km处，则C地在B 10,点A在点O的北偏西40° 地的 方向。 方向，则点B在点O的 方向. 13 km 5 km B 12 km 5.例 某村有如图所示的一笔直公路AB,水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人 用水，拟从C处铺设水管到公路上.已知AB=200米，AC=160米，BC=120米. (1)∠ACB= (2)求铺设水管的最小长度. ●>18● 第二十章勾股定理 ● 过关检 -● 恨基础训练 7.甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行， 6.三角形的三边a,b,c满足(a十b)2-c2=2ab, 乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东 则此三角形是 ( 航行，则它们离开港口2小时后相距 A.锐角三角形 B.直角三角形 海里。 C.钝角三角形 D.等边三角形 圆能力训练 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=4,若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速 度沿折线A一C一B一A运动（回到点A停止运动），设运动时间为t秒， (1)当t= 秒时，点P在BC上，且满足PA=PB; (2)当点P在AB上时，求t为何值时，△ACP为以AC为腰的等腰三角形 拓展训练 9.发现：如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长 的三角形是直角三角形； 验证：如40十41=81=9，请判断以40,41和9为边长的三角形是否为直角三角形？说明理由； 探究：设两个连续的正整数m和m十1的和可以表示成正整数n,请论证“发现”中的结论正确. ●>19●数学八年级下册(RJ) 2.证明：.AC=6,BC=8,AB=10.∴.AB2=AC+BC, ∴.△ABC是直角三角形，∴.∠C=90°. 3.证明：AB=3,AC=4,AB⊥AC, ∴.∠A=90°， .BC=√32+4=5， .BD=12,CD=13, .BC+BD=52+122=132 =CD2, ∴.△CBD是直角三角形，∠CBD=90° .BC⊥BD 4.解：如答图，连接AC 由勾股定理得： AC=√22+1=√5， BC=√22+1下=√5， AB=√32+1平=√/10， 答图 ..AC=BC,ACe+BC=5+5=10=AB, .△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°， .∠ABC=45°. 过关检测 5.(1)A(2)直角三角形 6.解：(1)△ABC是直角三角形.理由： .AC心=22+62=40，BC=12+32=10,AB2=52+52=50. ∴.AC+BC=10+40=50, ∴AB2=AC十BC,△ABC是直角三角形. (2)10 7.解：BC=6,D为BC的中点，.BD=3, 在△ABD中，AB=4,AD=5,BD=3, .32+42=52,.BD2+AB2=AD2,∴.∠B=90°， ∴.AC=√AB+BC=√4+6=2√I3, 8.证明：设AB=4a,E为AB的中点， :.BE-CE-2a,CF-1CD,:.CF-a,DF-3a, ∴.AE=√AB+BE=2√5a,EF-√CE+CF=√5a AF=VAD+DF=5a, AE+EF=(2√5a)2+(√5a)2=25a2,AF=25a2, ∴.AE2+EF2=AF2,∴.∠AEF=90°. 第15课时勾股定理的逆定理(2) 新课学习 1.性质判定 核心讲练 1.如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等 不成立 2.D3.正北4.北偏东50° 5.解：(1)90 (2)当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小， :△ABC的面积=号AB,CD=AC,BC, ∴.AB·CD=AC·BC,.200CD=120×160,解得CD=96, .铺设水管的最小长度为96米 过关检测 6.B7.50 8.解：1) 8 答图1 答图2 (2)①如答图1，当AC=AP=3时，△ACP为等腰三角形， ∴.AC+CB+BP=3+4十5-3=9，∴.t=9÷1=9(秒)； ②如答图2，当AC=CP时，作CD⊥AB于点D, 根据面积法求得CD=2.4, 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=1.8, .AP=2AD=3.6,∴.CA+CB+BP=3+4+5-3.6=8.4, 此时t=8.4÷1=8.4(秒). 综上所述，t为9或8.4时，△ACP为以AC为腰的等腰三 角形 9.解：验证：以40、41和9为边长的三角形是直角三角形， 理由： .92+402=81+1600=1681,412=1681, 即92+402=412， .以40、41和9为边长的三角形是直角三角形； 探究：由题意，.m+(m+1)=n2,∴.n2=2m十1， .n2+m2=2m+1+m2=m2+2m+1=(m+1)2, .以m、m十1和n为边长的三角形是直角三角形， .“发现”中的结论正确。 微专题3利用勾股定理解决翻折问题 核心讲练 1.解：四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=8, 根据折叠的性质得∠A'=∠A=90°，AE=EA', AD=AB=4, 设DE=x,则AE=A'E=8一x, 在Rt△DEA'中，EA'+DA=DE, 即42+(8-x)2=x2, 解得x=5,∴.DE=5. 2.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=6,∠A=∠D=90°， 由折叠的性质得∠D=∠D=90°，∴.∠A=∠D, 在△ACG和△DEG中， I∠AGC=∠DGE, ∠A=∠D, .△ACG≌△DEG(AAS); AC'-D'E, (2)解：，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB 边的中点C上，BC=7AB=3,CF=CF, 在Rt△BCF中，CF2=BF+CB, .CF=(9-CF)2+32,∴.CF=5,.BF=4. 3.解：设CE=x,:四边形ABCD是矩形，∠B=90°， .AC=AB2+BC=32+42=25, .AC=5,.BC=5-3=2, 由折叠可知：∠ABE=∠B=90°， AB'=AB=3,EB'=EB=4-x, 在Rt△CEB'中，EC=EB'+B'C, =4-+2z=号CE=号 5 过关检测 45cm5.66.8 7.解：(1)3 (2)根据三角形中线的定义得到AE=BE=号AB=3, 根据勾股定理得到CE=√AE+AC=√32+4=5， 由折叠的性质得∠EDF=∠A=90°， AF=DF=AC-CF=4-CF,DE=AE=3,CD=2, 根据勾股定理得到AF=号，于是得到AE:AF=3:2 3 =2； 6