20 第14课时 勾股定理的逆定理(1)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·下册(R) 第14课时 勾股定理的逆定理(1) 新课标探索勾股定理的逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 新课学司 1.如图1，已知△ABC,由勾股定理：若∠C=90°，则a2+b2=c2.问题 A 提出：反之，若a2十b2=c2,则∠C=90°吗？ 证明：如图2，作∠ECF=90°. B C E B 图1 图2 在CE上截取C'B'=a,在CF上截取C'A'=b,则A'B'= √a2+b=. 由“ ”可证△ABC≌△A'B'C',则∠C=∠C=90°. 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2十b=c2,那么这个三角形是直 角三角形.几何语言：如图，a2+b2=c2, ∴.△ABC为 核©饼练 核心考点勾股定理的逆定理 1.例如图，在△ABC中，已知AC=5,BC=12,2.如图，在△ABC中，若AC=6,BC=8,AB=10. AB=13.求证：△ABC是直角三角形. 求证：∠C=90°. 3.例如图，AB=4,BD=12,CD=13,AC=3,4.例如图，每个小正方形的边长均为1，A,B, AB⊥AC,求证：BC⊥BD. C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数. ●>18● 第二十章勾股定理 ● 过关检测 基础训练 5.(1)下列各组数据是三角形三边的长度，其中6.如图，每个小正方形的边长均为1. 能构成直角三角形的是 (1)判断△ABC的形状，并说明理由； A.1,1,2 B.2,3,4 (2)△ABC的面积为 C.2,5,6 D.1,N3,√5 (2)在△ABC中，三条边长分别是a,b,c,且a2= b2-c2,则△ABC的形状是 能力训练 7.如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,BC边上的中线AD=5,求AC的长 拓展训练 8.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD.求证：∠AEF=90°。 ●>19●10.解：如答图，作PD⊥MN于点D, ,MN=2,PM=PN,PD⊥MN, ∴MD=DN=2MN=1, ∠0=60°， ∴0D=20P=6, 60 o MDN .PD=√PO-OD=√3OD=6√3， 答图 .OM=OD-MD=6-1=5, ∴5w=20M.PD=2X5X65=155. 11.解：(1)当a有意义时，8-x≥0，.x≤8； (2)直角三角形中斜边为最长的边，c>b .存在两种情况， ①当a为斜边时，有a2=b十c2,即4十6=8一x,x=一2， ②当a为直角边，c为斜边时，有c2=a2+b, 即8-x+4=6,x=6, .x=6或x=-2. 第12课时 勾股定理的应用(2) 新课学习 数学模型勾股定理勾股定理 核心讲练 1.242.8 3.解：设AC=x,则AB=8一x, 由勾股定理，得(8-x)2=x2+4, 解得x=3,所以AC的长为3. 4.解：设AC=x,则AB=x十4， 由勾股定理，得(x十4)2=x2十82， 解得x=6,所以AC的长为6 5.解：设EB=x,∠B=90°，AB=6,BC=8, ∴.AC=/AB+BC=10, 由折叠的性质可知，BE=EB=x,AB=AB=6,∠EB =90°， CB'=AC-AB'=4,EC=BC-BE=8-x, 在Rt△EB'C中， 由勾股定理得，x2十42=(8一x)2, 解得x=3,.EB=3. 过关检测 657.号 8.解：设这根芦苇的长度为x尺，依题意，得 (x-1)2+(10÷2)2=x2, 解得：x=13, 答：这根芦苇的长度为13尺. 9.解：点D的坐标为(10,8)，四边形AOCD为长方形， ∴.AD=OC=10,AO=CD=8, .设点E的坐标为(10，m), 根据题意可得，EF=DE=8一m, .'AF=AD=10,AO=8, ∴.在Rt△AOF中由勾股定理得：OF=√AF-OA /102-82=6, ∴.CF=OC-OF=10-6=4; 在Rt△EFC中，由勾股定理得：m+42=(8-m)2, 解得：m=3, 点E的坐标为(10,3). 第13课时利用勾股定理作图与计算 新课学习 1.√22.√3 参考杏宋 核心讲练 1.解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：√+1， 则点A表示的数为1十√2. 2.解：BC⊥AB,∴.∠ABC=90°， AC=+1下=√2， :以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点D, AD=AC=√2，点D表示的数是2. 3.解：(1)如答图①，△ABC即为所求作. B ① 答图 ③ ④ (2)如答图②，正方形DEFG即为所求作. (3)如答图③，线段HI即为所求作. (4)如答图④，△JKL即为所求作 过关检测 4.1-√25.256.212 7.解：在Rt△ABC中，AC=√+1F=√2， 同理，AD=√（√2）2+12=√3， AE=√(3)2+12=2，AF=√22+1下=√5， 由题意知，AP=AF=5, 所以点P表示的数是一√5. 8.解：(1)△ABC为直角三角形；理由如下： 由勾股定理得AC=√I+2=√5，AB=√22+4=2√5， BC=√32+4=5， .AC+AB=BC,∴△ABC为直角三角形， 故答案为：直角； (2)①如答图，AD即为所求； ------k--- M 答图 AD⊥BC,.SAABC= 2AB·AC= 2BC·AD, .25X5=5AD,.AD=2; ②如答图，MN即为所求. 第14课时勾股定理的逆定理(1) 新课学习 1.cSSS2.直角三角形 核心讲练 1.证明：在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13, .AC+BC=52+122=169, AB2=132=169, ..AC +BC=AB, .△ABC是直角三角形. 5 数学八年级下册(RJ) 2.证明：.AC=6,BC=8,AB=10.∴.AB2=AC+BC, ∴.△ABC是直角三角形，∴.∠C=90°. 3.证明：AB=3,AC=4,AB⊥AC, ∴.∠A=90°， .BC=√32+4=5， .BD=12,CD=13, .BC+BD=52+122=132 =CD2, ∴.△CBD是直角三角形，∠CBD=90° .BC⊥BD 4.解：如答图，连接AC 由勾股定理得： AC=√22+1=√5， BC=√22+1下=√5， AB=√32+1平=√/10， 答图 ..AC=BC,ACe+BC=5+5=10=AB, .△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°， .∠ABC=45°. 过关检测 5.(1)A(2)直角三角形 6.解：(1)△ABC是直角三角形.理由： .AC心=22+62=40，BC=12+32=10,AB2=52+52=50. ∴.AC+BC=10+40=50, ∴AB2=AC十BC,△ABC是直角三角形. (2)10 7.解：BC=6,D为BC的中点，.BD=3, 在△ABD中，AB=4,AD=5,BD=3, .32+42=52,.BD2+AB2=AD2,∴.∠B=90°， ∴.AC=√AB+BC=√4+6=2√I3, 8.证明：设AB=4a,E为AB的中点， :.BE-CE-2a,CF-1CD,:.CF-a,DF-3a, ∴.AE=√AB+BE=2√5a,EF-√CE+CF=√5a AF=VAD+DF=5a, AE+EF=(2√5a)2+(√5a)2=25a2,AF=25a2, ∴.AE2+EF2=AF2,∴.∠AEF=90°. 第15课时勾股定理的逆定理(2) 新课学习 1.性质判定 核心讲练 1.如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等 不成立 2.D3.正北4.北偏东50° 5.解：(1)90 (2)当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小， :△ABC的面积=号AB,CD=AC,BC, ∴.AB·CD=AC·BC,.200CD=120×160,解得CD=96, .铺设水管的最小长度为96米 过关检测 6.B7.50 8.解：1) 8 答图1 答图2 (2)①如答图1，当AC=AP=3时，△ACP为等腰三角形， ∴.AC+CB+BP=3+4十5-3=9，∴.t=9÷1=9(秒)； ②如答图2，当AC=CP时，作CD⊥AB于点D, 根据面积法求得CD=2.4, 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=1.8, .AP=2AD=3.6,∴.CA+CB+BP=3+4+5-3.6=8.4, 此时t=8.4÷1=8.4(秒). 综上所述，t为9或8.4时，△ACP为以AC为腰的等腰三 角形 9.解：验证：以40、41和9为边长的三角形是直角三角形， 理由： .92+402=81+1600=1681,412=1681, 即92+402=412， .以40、41和9为边长的三角形是直角三角形； 探究：由题意，.m+(m+1)=n2,∴.n2=2m十1， .n2+m2=2m+1+m2=m2+2m+1=(m+1)2, .以m、m十1和n为边长的三角形是直角三角形， .“发现”中的结论正确。 微专题3利用勾股定理解决翻折问题 核心讲练 1.解：四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=8, 根据折叠的性质得∠A'=∠A=90°，AE=EA', AD=AB=4, 设DE=x,则AE=A'E=8一x, 在Rt△DEA'中，EA'+DA=DE, 即42+(8-x)2=x2, 解得x=5,∴.DE=5. 2.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=6,∠A=∠D=90°， 由折叠的性质得∠D=∠D=90°，∴.∠A=∠D, 在△ACG和△DEG中， I∠AGC=∠DGE, ∠A=∠D, .△ACG≌△DEG(AAS); AC'-D'E, (2)解：，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB 边的中点C上，BC=7AB=3,CF=CF, 在Rt△BCF中，CF2=BF+CB, .CF=(9-CF)2+32,∴.CF=5,.BF=4. 3.解：设CE=x,:四边形ABCD是矩形，∠B=90°， .AC=AB2+BC=32+42=25, .AC=5,.BC=5-3=2, 由折叠可知：∠ABE=∠B=90°， AB'=AB=3,EB'=EB=4-x, 在Rt△CEB'中，EC=EB'+B'C, =4-+2z=号CE=号 5 过关检测 45cm5.66.8 7.解：(1)3 (2)根据三角形中线的定义得到AE=BE=号AB=3, 根据勾股定理得到CE=√AE+AC=√32+4=5， 由折叠的性质得∠EDF=∠A=90°， AF=DF=AC-CF=4-CF,DE=AE=3,CD=2, 根据勾股定理得到AF=号，于是得到AE:AF=3:2 3 =2； 6