20 第11课时 匀股定理的应用(1)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

第二十章 勾股定理 第11裸时 勾股定理的应用(1) 新课标·探索勾股定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 新课学司 从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用 建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长。 核心考点勾股定理的应用 1.例(1)如图，长13m的梯子 2.在如图数轴上作出表示无理数√2，√3的点， 靠在墙上，梯子的底部离墙角 5m,则梯子的顶端离地面的距 432101之34 离AB的值为m. (2)在数轴上画出表示√10的点. 作法：如图，在数轴上找到点 A,使OA=,作AC⊥ OA且截取AC= 以点O为圆心，以 OC为半径作弧，弧与数轴的交点B表示的 数即为√10 3.例一个零件的形状如图 C 4.小东要测量校园里的 所示，在这个零件中，∠A 块四边形场地ABCD 和∠DBC都为直角.工人 (如图所示)的周长，其 师傅量得这个零件AD=3cm,AB=4cm,CD 中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量 =13cm,则这个零件BC边的长为 cm, 其长度.小东经测量得知AB=AD=5m,∠A= 这个四边形零件的面积为 cm2. 60°，BC=12m,∠ABC=150°，则CD的长度 是 m. 5.例 【RJ八下P26改编】如 6.如图，一架长10米的梯子斜靠在竖直的墙上， 图，一架2.6m长的梯子AB 这时梯子底端离墙6米 斜靠在一竖直的墙AO上，这 (1)此时梯子顶端离地面米； 时AO的长为2.4m.如果梯 (2)若梯子顶端下滑2米，那么梯 CE 子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B 子底端将向左滑动米. 外移 m.(结果保留两位小数) ●>14● 第二十章勾股定理 过关检测 -● 基础训练 7,如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒8.如图，根据图形中已知条件，可求得阴影部分 斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高 (半圆)的面积是 cm.(结果保留π) 8cm,玻璃棒被水淹没部分长10cm,这只烧杯 的直径约是 cm. 6 cm 10 cm 能力训练 9.如图，有两棵树，一棵高6m,另一棵高2m,两10.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上， 树相距5m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另 OP=12,点M,N在边OB上，PM=PN, 一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确 MN=2,求△POM的面积. 到0.1m) 60° M 拓展训练 11.【易错题】设a=√/8-x,b=2,c=√6. (1)当a有意义时，求x的取值范围. (2)若a、b、c为Rt△ABC三边长，求x的值. ●>15●数学八年级下册(RJ) 1 4.解：(1)Wn+ 1 m十2=(n+1)√n十2n为正整数)， 证明：左边=√ +2更-√+7， /(n+1)3 n+2 :n为正整数， 1 六左边=(n+1D√n十2-右边， 猜想成立。 (2)1 5.a1+-1房 T0十m+=1+-1 (2V1++1 39 6.解：(1)(-5√6)2=150，(-6√5)2=180,150<180， .-5√6>-6√5； (2)(W7-1)2=8-2√7，(W5-3)2=8-2√15， :8-2√7>8-2√/15，w7-1>5-3. 第9课时《二次根式》单元复习 核心讲练 1.D2.C3.D4.A5.B 6.(1)3(2)28(3)5(4)13(5)10(6)a2 7.a≤18.2√3 .14巨(2号(3号④2 5 10.211.A12.A13.C14.C 15.1)2(2)2(35-245+1 15 16.解：1)原式=45×号÷4厅=5÷45= 2)原式-号+-99。-g2g 24 4 44 17.解：(1)原式=5√12÷√3-√48÷√3-√7+2√7 =5√4-√16-√7+27=10-4-√7+2√7 +7; (2)原式=3+2√3+1-(8-9)=3+2√5+1+1=5 2V3. 18解：成立V√5景=5√层V6需=6√需 规律：√n+m-m+T=m√m-+Dm>1). n 证明√n+(m-)(n+)=√(n-1)(n+D 71 n =n√m-1m+D(m>1). 本章中考热点 1.解：(1)设长方体的高为x,则长为4x,宽为2x, 由题意得：4x×2x=24, 解得：x=√3， 则4x=4√3,2x=2√3； 答：长、宽、高分别是4√3cm,2√3cm,√3cm. (2)84cm(3)24√3cm 2.解：(1)m2+3n22mn(2)7√3 (3)a+8√3=(m+n√3)2， ∴.a=m2+3n2,8=2mn,.mn=4, ,a,m,n均为正整数， .m=1,n=4;m=2,n=2;m=4,n=1, 当m=1,n=4时，a=12+3×42=49; 当m=2,n=2时，a=22十3×22=16； 当m=4,n=1时，a=42+3×12=19; a的值是49、16或19. 3.3.5 4.②a+b>2√ab(1)12(2)67(3)3√224√2 第二十章勾股定理 第10课时勾股定理及其证明 新课学习 1.52525 解：以上结论对任意直角三角形成立， 2.(1)(a+b)2(2)2ab+c2 (3)(a+b)2=2ab+c2c2=a2+b 核心讲练 1.(1)8(2)13(3)20 2.(1)13(2)7(3)19 3.解：∠C=90°， ∴.AB=√AC+BC=√12+5=13. 答：AB的长为13 4.46+23 5.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=17,AC=15, 由勾股定理得BC=√AB2-AC=√17-15=8. :∴Sac=号·AC.BC=号X15X8=60, 答：BC的长为8，△ABC的面积为60. 过关检测 6.(1)4(2)√/137.6258.2 9.B10.B11.A12.C 13.解：(1)4 (2).CD⊥AB,AB=5,由(1)知AC=4, .AB·CD=AC·BC, 即CD=AC,BC-4X3-12 AB 5 51 第11课时勾股定理的应用(1) 新课学习 勾股定理 核心讲练 1.(1)12(2)31 2.解：如答图所示.点P、点Q即为所求 BC -543-210P0234 答图 3.12364.135.0.776.(1)8(2)2 过关检测 7.68.8元 9.解：如答图，设大树高为AC=6m,小树高为BD=2m,过点 B作BE⊥AC于点E, 则四边形EBDC是矩形，连接AB, ∴.EC=2m,EB=5m, AE=AC-EC=6-2=4(m), 在Rt△AEB中，AB=√AE+BE= E------------≥1B √4+5=√4I≈6.4(m), D 答：小鸟至少飞行6.4m. 答图 4 10.解：如答图，作PD⊥MN于点D, ,MN=2,PM=PN,PD⊥MN, ∴MD=DN=2MN=1, ∠0=60°， ∴0D=20P=6, 60 o MDN .PD=√PO-OD=√3OD=6√3， 答图 .OM=OD-MD=6-1=5, ∴5w=20M.PD=2X5X65=155. 11.解：(1)当a有意义时，8-x≥0，.x≤8； (2)直角三角形中斜边为最长的边，c>b .存在两种情况， ①当a为斜边时，有a2=b十c2,即4十6=8一x,x=一2， ②当a为直角边，c为斜边时，有c2=a2+b, 即8-x+4=6,x=6, .x=6或x=-2. 第12课时 勾股定理的应用(2) 新课学习 数学模型勾股定理勾股定理 核心讲练 1.242.8 3.解：设AC=x,则AB=8一x, 由勾股定理，得(8-x)2=x2+4, 解得x=3,所以AC的长为3. 4.解：设AC=x,则AB=x十4， 由勾股定理，得(x十4)2=x2十82， 解得x=6,所以AC的长为6 5.解：设EB=x,∠B=90°，AB=6,BC=8, ∴.AC=/AB+BC=10, 由折叠的性质可知，BE=EB=x,AB=AB=6,∠EB =90°， CB'=AC-AB'=4,EC=BC-BE=8-x, 在Rt△EB'C中， 由勾股定理得，x2十42=(8一x)2, 解得x=3,.EB=3. 过关检测 657.号 8.解：设这根芦苇的长度为x尺，依题意，得 (x-1)2+(10÷2)2=x2, 解得：x=13, 答：这根芦苇的长度为13尺. 9.解：点D的坐标为(10,8)，四边形AOCD为长方形， ∴.AD=OC=10,AO=CD=8, .设点E的坐标为(10，m), 根据题意可得，EF=DE=8一m, .'AF=AD=10,AO=8, ∴.在Rt△AOF中由勾股定理得：OF=√AF-OA /102-82=6, ∴.CF=OC-OF=10-6=4; 在Rt△EFC中，由勾股定理得：m+42=(8-m)2, 解得：m=3, 点E的坐标为(10,3). 第13课时利用勾股定理作图与计算 新课学习 1.√22.√3 参考杏宋 核心讲练 1.解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：√+1， 则点A表示的数为1十√2. 2.解：BC⊥AB,∴.∠ABC=90°， AC=+1下=√2， :以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点D, AD=AC=√2，点D表示的数是2. 3.解：(1)如答图①，△ABC即为所求作. B ① 答图 ③ ④ (2)如答图②，正方形DEFG即为所求作. (3)如答图③，线段HI即为所求作. (4)如答图④，△JKL即为所求作 过关检测 4.1-√25.256.212 7.解：在Rt△ABC中，AC=√+1F=√2， 同理，AD=√（√2）2+12=√3， AE=√(3)2+12=2，AF=√22+1下=√5， 由题意知，AP=AF=5, 所以点P表示的数是一√5. 8.解：(1)△ABC为直角三角形；理由如下： 由勾股定理得AC=√I+2=√5，AB=√22+4=2√5， BC=√32+4=5， .AC+AB=BC,∴△ABC为直角三角形， 故答案为：直角； (2)①如答图，AD即为所求； ------k--- M 答图 AD⊥BC,.SAABC= 2AB·AC= 2BC·AD, .25X5=5AD,.AD=2; ②如答图，MN即为所求. 第14课时勾股定理的逆定理(1) 新课学习 1.cSSS2.直角三角形 核心讲练 1.证明：在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13, .AC+BC=52+122=169, AB2=132=169, ..AC +BC=AB, .△ABC是直角三角形. 5