20.1 第3课时 利用勾股定理进行作图或计算-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

第3课时 利用勾股 ++++++…+ 知识储备 实数与数轴上的点是 的，每一 个无理数都可以用数轴上的 表示出 来，利用勾股定理可以在数轴上表示无理数 01基础练 @必备知识梳理一 知识点一勾股定理与数轴、坐标系 1.（教材P28“探究”改编) 一题多变 (1)【改变数值】方方学了在数轴上表示无理 数的方法后，进行了练习：如图，首先画一 条数轴，原点为O,在数轴上找到表示数2 的点A,然后过点A作AB⊥OA,使AB= 1;再以O为圆心，OB的长为半径画弧， 交数轴正半轴于点P,那么点P表示的数 是 -101 213 (2)【改变数值，尺规作图】在数轴上作出表示 √10的点（保留作图痕迹，不写作法）. (3)【改变条件】如图，CD=1,∠BCD=90°，则 数轴上点A表示的数的值为 () A.-√5 B.1-√5 C.-1-√5 D.-1+√5 D B O -3-2-1012 第1(3)题图 第1(4)题图 (4)【改变条件与问题】如图，点A的坐标为 (3,0),点B的坐标为（一2,0），以点A为 圆心，AB长为半径画弧，交y轴正半轴于 点C,则点C的坐标为 25八年极数学·下册 定理进行作图或计算 知识点二勾股定理与网格 2.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长 都为1，图中阴影部分是正方形（顶点都在格 点上)，则此正方形的边长为 () A.√5 B.√10 C.√13 D.√/17 第2题图 第3题图 3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长 都为1，四边形ABCD的顶点都在格点上，则 长为√10的线段是 4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都 是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到 一些线段.请在图中画出线段AB=√2，CD √5，EF=√13. 知识点三勾股定理与计算 5.如图，△ABO为等边三角形，边长为6，则点 A的坐标为 B 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4, BC=2,以点C为圆心，BC的长为半径画弧， 交AC于点D,以点A为圆心，AD的长为半 径画弧，交AB于点E,则BE= 易错点考虑问题不全面而漏解 7.在△ABC中，AB=5,AC=4√5，高AD=4, 则BC的长是 () A.5 B.13 C.11或5 D.5或13 【点拨】由于△ABC的形状不确定，故高AD可能在 △ABC的内部，也可能在△ABC的外部，先画出图 形再利用勾股定理解答， 02综合练 身关键能力提升一 8.为了比较√10与√5十1的大小，可以构造如图 所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC= 3,点D在BC上，且BD=AC=1.通过计算 可得√10 √5十1（填“>”“<”或“=”）. D C 9.在如图所示的象棋盘中，每个小正方形的边 长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复 路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点 与出发点间的最短距离为 10.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长 都是1，每个小格的顶点叫作格点 (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5 的正方形： (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形， 使三角形的三边长分别为2，√5，√13， 图1 图2 03素养练 杀李科去米路有一 11.【教材P29图改编】图甲是第七届国际数学 教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙 中的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7Ag=1.细心观 察图形，认真分析下列各式，然后解答问题： (I)2+1=2,S= 2 (2)2+1=3,S,-2 (3)+1=4,S,= 2 … (1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述 变化规律，并计算出OAo的长； (2)求出S+S+S号+…+S的值. A A 4 A Sa S 乙 少解题妙招 在数轴上作表示无理数的点的步骤 二拆分 把无理数的平方拆分 为两个整数的平方和 二构造 以原点为直角三角形的锐 角顶点，构造直角三角形 三画弧 以原点为圆心，斜 边长为半径画孤 助学助教优质高效262ab..a2+b=c2.4.C5.646.10√/217.(1)4√2(2)2√38.解：(1)在 △ABC中，∠C=90°，b=2,c=3,∴.a=√c2-b=3-2=√5；(2)设a=3.x,则 c=5x,.a2十b2=c2,∴.(3x)2十322=(5.x)2.解得x=8(负值舍去).∴.3x=24,5x 40,即a=24,c=40.9.13或/11910.(1)C(2)D11.C12.C13.25 14.解：.'CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△BCD中，BD=BC-CD 6.设AC=AB=x,则AD=x-6.在Rt△ACD中，AC=AD2+CD,即x2=(x-6) 十8，解得x答：AC的长为空.15.证明：连接BD,:△ACB与△ECD都是 等腰直角三角形，∴.∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=45°，EC=DC,AC=BC. .∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD.∴.∠ACE=∠BCD.∴.△AEC≌△BDC (SAS).∴.AE=BD,∠E=∠BDC=45°.∴.∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90° ∴.AD2+BD=AB,即AE+AD2=AB2 第2课时·勾股定理的应用 知识储备 直角 基础练综合练素养练 1.A2.C3.D4.C5.解：由题意，得∠ACB=90°，∴.AB=√AC+BC= /800十600=1000(m).∴.船从A到B所需的时间为1000÷200=5(min).答：船从 A到B所需的时间为5min.6.解：，∠ABD=120°，∠D=30°，∴.∠AED=120° 30°=90°.在Rt△BDE中，BD=520m,∠D=30°，.BE=7BD=260(m).DE= √/BD-BE=260√3≈450(m).答：另一边开挖点E离D约450m时，正好使A,C, E三点在同一直线上.7.D8.B9.810.解：超速.理由如下：在Rt△ABC中 AC=60m,AB=100m,由勾股定理可得BC=√AB-AC=√100-60=80 (m)...汽车速度为80÷4=20(m/s)=72(km/h)..72km/h>60km/h,∴.这辆小 汽车超速了.答：这辆小汽车超速了. 11.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB2-AC=√5-32=√I6=4 (cm).(2)由题意，知BP=tcm,①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合， BP=BC=4cm,.t=4;②当∠BAP为直角 时，如图2，BP=tcm,CP=(t一4)cm,AC=3 cm,在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32 (t-4)2.在Rt△BAP中，AB+AP2=BP, 即5+[3+1-4门=.解得1=翠当 C(P) 图1 图2 △ABP为直角三角形时，d=4或5， 模型构建专题（一）利用双勾股列方程 【例】解：过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°.设BD=x,则CD=BC -BD=14-x.在Rt△ABD中，AD=AB-BD,在Rt△ACD中，AD=AC-CD, ∴.AB2-BD2=AC-CD,即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9..AD VAB-BD=15-g=12.∴Sr=2BC·AD=2×12×14=84. 1.D2.9.63.解：设AE=xkm,则BE=(25-x)km..DA⊥AB,BC⊥AB,. ∠A=∠B=90°.∴.DE2=AD+AE=102+x2,EC=BE+BC=(25-x)2+15. C,D两村庄到收购站E的距离相等，∴.CE=DE.,.CE=DE.∴.(25一x)2十15 =102十x2.解得x=15.答：收购站E到A站的距离是15km. 微专题二 1.B2.43.34.5 微专题三 1.1或2或3-√22.126cm2或66cm23. 解：(1)当CD在△ABC的内部时，如图1，，CD ⊥AB,∴.∠CDA=∠CDB=90°..CD=√3，AD D =1,..AC=CD+AD=2..AB=2AC,. 图2 AB=4..BD=4-1=3.∴.BC=√BD+CD √3+（√3）2=2√3；(2)当CD在△ABC的外部时，如图2，同理求得AC=2,AB= 4,∴.BD=5..BC=√CD+BD=√/(W3)2+52=2W7.综上所述，BC的长为2W3 或2√7. 第3课时利用勾股定理进行作图或计算 知识储备 一对应 一个点 基础练综合练素养练 1.(1)5(2)解 如图，点A即为所求.(3)C(4)(0,4) 2.C 3.AB 解：如图所示，线段AB,CD,EF即为所求 5.(-3,3√3)6.23一27.C8.<9.√210.解：(1)(2)图略11.解：(1) (Wm)2+1=n+1,S.=.0An=V0.(2)S+S+S+…+S。=()+ ()+()++()-1+2+3++9+10-5 4 20,2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 知识储备 1.a2十b2=c2直角三角形2.勾股数 基础练综合练素养练 1.A2.B3.C4.直角三角形5.是6.(1)解：a2+c2=(3)2+(W5)2=8,b =(2√2)2=8，.a2十c2=b..△ABC是直角三角形，∠B=90°；(2)解：设a=5x, 则b=12x,c=13x.:a2+6=(5x)2+(12x)2=169x2,c2=(13x)2=169x2,∴.a2+b =c2..△ABC是直角三角形，∠C=90°.7.D8.B9.5,12,138,15,17(答案 不唯一)10.B11.B12.C13.D14.m2+115.解：续写过程如下：∠ACD =90°，∴.AC2+CD2=AD.AC2+BC=AB2,CD=CB,..AD2=AB2..AD= AB.又：AC=AC,BC=DC,∴△ABC≌△ADC..∠ACB=∠ACD=90°.∴.△ABC 是直角三角形.16.解：(1)n2一12nn2+1(2)是直角三角形.证明如下：.a n2-1,b=2m,c=n2+1,.a2+b=(n2-1)2+(2m)2=(n2+1)2,c2=(n2+1)2.∴a2+ b=c2.∴.以a,b,c为边长的三角形是直角三角形. 第2课时勾股定理的逆定理的应用 知识储备 直角 基础练综合练素养练 1.正北2.不垂直3.解：B舰艇的航行方向是北偏东40°，理由如下：由题意，得OA =12×5=60(海里)，OB=16×5=80(海里).又.AB=100海里，602+802=1002，即 OB十OA2=AB.∴∠AOB=90°.：∠DOA=50°，∴.∠BOD=40°.答：B舰艇的航行 方向是北偏东40°.4.455.解：符合设计要求，理由如下：：∠DBC=90°，BC= 32cm,CD=40cm,∴.BD=√/CD-BC=√/402-32=24(cm).在△ABD中，AB =26 cm,AD=10 cm,BD=24 cm,.'AD2+BD2=102+242=262=AB2..'.AABD 是直角三角形，即∠ADB=90°.∴，∠ADB=∠DBC.∴AD∥BC..该尾翼模型符合 设计要求.6.C7.B8.解：连接AC.在Rt△ABC中，∠B=90°，∴.AC /AB2+BC=5.在△ACD中，AC+CD=(W5)2+12=6,AD=(√6)2=6，.AC 十CD=AD.∠ACD=90.5am=S8+5m=号X2X1+2×1X,5 =2+5 .9.解：(1)由勾股定理，得CD=√BC-BD=√/252-15= 2 20(m),.CE=CD+DE=20+1.6=21.6(m):(2)如图，由勾股定理 得BF=/DF2+BD=/(20-12)2+152=17(m),25-17=8(m),答 他应该往回收线8m.10.(1)证明：，'AC=300km,BC=400km,AB =500km,.AC+BC=AB2.∴.△ABC是直角三角形，且∠ACB= 90°；(2)解：海港C受台风影响.理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于 点D.SAe=2AC·BC-号AB·CD.∴CD=ACBC_300X40 AB 500 =240(km). 240<250,∴.海港C受台风影响；(3)解：如图，当E℃=250 km,FC=250km时，正好影响海港C.CD⊥EF,.EF=2DE.在 Rt△CED中，由勾股定理，得ED=√EC-CD=√250-240 =70(km)..EF=140km.,.140÷20=7(h).答：台风影响该海港A ED E 持续的时间为7h. 回归教材专题（一）利用勾股定理探索两点间的距离 【例811√8+11下√185(1)5(2)y-为lx-x2l√(-)+(y-2y(3) 1-y3-y50,52-x4-x55,00,55,0 1.22./58 3.解：△ABC是等腰三角形，理由如下：.AB √(-1+3)2+(4-1)2=√13，BC=√(-3-1)+(1-1)2=4，AC= √(-1-1)+(4-1)F=√I3,∴AB=AC且AB2十AC≠BC..△ABC为等腰三 角形. 模型构建专题（二）利用勾股定理解决几何体中最短路径问题 【例】解：(1)①把前面和上面展开在一个平面上，如图①.MN=√(50+30)2+40= 40√5≈89.44cm;②把左面和上面展开在一个平面上，如图②.MN= /(50+40)2+302=30√10≈94.87cm;③把前面和右面展开在一个平面上，如图③.