19 微专题2 与二次根式有关的阅读理解-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·下册(R) 微专题2与二次根式有吴的阅读理解 按心讲练 ● 类型1：新运算 1.例规定一种新运算a⑧b=a2-√2b,如3⑧2=32-√2X2=9-2√2，则(2√5-1)☒√/10= 类型2：分母有理化 2.例阅读下列材料，然后回答问题， 3.小芳解答问题“已知a= 1 ,求2a2-8a+1 2+√3 在进行二次根式计算时，我们有时会碰上如 的值”的过程如下： 322 5'W3'3+ 一一样的式子，其实我们还可以 ,a= 2-√3 =2一√5， 2+3(2+√3)(2-√3) 将其进一步化简： ∴.(a-2)2=3,即a2-4a+4=3, 33×53 2X3_√6 ∴.a2-4a=-1. √5√5×5 553N3X32 ∴.2a2-8a十1=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1. 2 2×(3-1) 2(3-1) =3-1. W3+1 (/3+1)(3-1) (3)2-12 请你根据小芳的解答过程，解决下列问题： 以上这种化简的步骤叫作分母有理化、 (1)a= 2求a一8a1的值 请回答下列问题： (2)化简1 1 1 (1)仿照上面的过程化简： 3+15+37+√5 十…十 √6-√5 1 (2)请写出 的化简结果： √/121+√/119 √n+I-√ (3)利用上面所提供的方法，化简求值： 1 1 1+√3 √3+5 5+√7 十…十 1 √2023+√/2025 ●>10● 第十九章 二次根式 类型3：二次根式数列规律 4.例 观察下列等式，解答下面的问题： 5.阅读材料，回答问题： 观察下列各式 ③，3+号=4 1 ++-1+--12： 5 (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含 1+安+=1+-1 n的式子表示第n个等式，并给予证明； ++=1+号1 (2)利用(1)的结论计算 2022+ 2024 ×√2024 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： V2021+2023×V2023=_. (2)归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n(n 为正整数)表示的等式： (3)应用：用上述规律计算、1十品+受 √1+++ 1+32+ 42 Γ92十102 类型4：综合运用 6.王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正数a,b,如果a>b,那么√a>√石.”然后讲了 下面的一个例题：比较号√200和23的大小. 方法-：号20=√层×200=8,25=4X8=厘，又8<12∴号20<26 方法二信v2到-名×0=8,24X3=12.又8<12号2丽<2a 根据上面的例题解答下列各题： (1)比较-5√6和一6√5的大小；(2)比较7一1与√5一√3的大小. ●>11●过关检测 7.A8.D9.(1)4√2(2)-√6 10.(1)5√3(2)-2√2 1山.解：原武=26+号巨-+6=36+ 4 12.解：原式=5×号-×25+35=5-号+35=7 54 5 ≈7×2.236≈7.83. 13.解：大正方形的边长=√18+√8=3√2+2√2=5√2(cm), .大正方形的面积为(5√②)2=50(cm2), .阴影部分的面积=50-8-18=24(cm2). 1解：p=12V得+2+√层 =43a+4a+号3a=号a (2)要使P为整数，选a=12,则P=51. 第8课时二次根式的混合运算 新课学习 1.解：(1)原式=√8×√6+√3×6=√48+√18=43+32； (2)原式=4÷2厄-36÷2E=2-号3. 2.解：(1)原式=2+3√2-5√2-15=-2√2-13； (2)原式=2-3=-1. 核心讲练 1.解：(1)原式=√2×√3+√2×5=√6+√10； (2)原式=√80÷5-√40÷5=√16-8=4-2√2. 2.解：(1)原式=5+2√5+3√5+6=11+5√5； (2原式=(35+4同÷25=子 3.解：(1)原式=16-7=9； (2)原式=3+4+4√3=7+4√3. 4.解：(1)原式=a-b; (2)原式=2+2√6+3=5+2√6. 5.解：x=√3+1，y=√3-1， .x+y=23,xy=3-1=2; (1)原式=(x+y)2=(2√3)2=12； (2)原式=(x十y)2-7xy=(2√3)2-7×2=-2. 6.解：(1)a+b=√5+√3+√5-√3=2√5； ab=(W5+3)(W5-√3)=(5)2-（√3）=5-3=2； (2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(2√5)2-2=20-2=18. 过关检测 7.23228.4√73 9.06-1062-6895+20V压④号+8 10.a6-3y2(2)32(3》-9 d4 10 2 11.解：：矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4， 两个正方形的边长分别是2,2， ∴.阴影部分的面积=(2十√2)×2-2一4=2√2一2. 12.解：(1)把a十】=√10，两边平方得： a (a+日)广=a+日+2=10，则a+是=8： @(a-2》=+是-2=8-2=6期a-日=士6 参考杏宋 微专题1利用二次根式的双重非负性解题 新课学习 (1)≥(2)算术平方≥ 核心讲练 1.B2.B 3.解：由题意得：x-1≥0,1一x≥0， .1-x=0,x=1,∴.y=2024, .x+y=1+2024=2025. 4.解：：√m-2024有意义，.m≥2024， .|2023-m=m-2023, ∴.m-2023+√/m-2024=m,即/m-2024=2023, .m-2024=2023,即m-2023=2024. 5.D6.B7.D8.13-9 过关检测 9.C10.D11.A12.5 13.解：(1)(a-√8)2+√6-2+c-3√21=0， ∴.a-√8=0，b-2=0,c-32=0, a=√8=2√2，b=2,c=3√2； (2)3√2>2√2>2,2√2+2>3√2， ∴以a,b,c为三边能构成三角形， 它周长为：3√2+2√2+2=2+5√2. 14.解：(1)：la-√21+√b-2+√/9-3c=√-3】 .|a-√21+√b-2+√3(3-c)=√c-3. .c-3≥0,3-c≥0，解得c=3,.|a-√21+√b-2=0, 则a=√2，b=2,a=√2，b=2,c=3; (2)当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：√2十 √2=2√2<3，舍去； 当c是腰长，a是底边时，等腰三角形的周长为：√2十3十3=√2+6， 综上，这个等腰三角形的周长为√2+6. 15.解：由题意，得a十4>0且9-a≥0且-a2≥0， 解得a=0,.原式=2-3十0=一1. 微专题2与二次根式有关的阅读理解 核心讲练 1.21-65 2.解：(1)6+√5(2)√n+I+√m (3)原式=1X5-1)、十…+ (1+√3)（√3-1） 1×(2025-√2023) (√2023+√2025)（√2025-√2023） =3-1 W/2025-√/2023 (W3)2-12 (√/2025)2-（√2023） -3-1+5E+万-5+…+22.20晒 2 2 2 2 =2025-1=22. 2 3.解：1)a=2-1W2-1)2+1 1 √2+1 =√2+1， .(a-1)2=2,即a2-2a+1=2,.a2-2a=1, .4a2-8a-1=4(a2-2a)-1=4×1-1=3; 2)原式-+52+725++I2四 2 2 =3-1+5-3+7-5+…+/121-/119 2 =-1+12I=-1+1=5. 2 3 数学八年级下册(RJ) 1 4.解：(1)Wn+ 1 m十2=(n+1)√n十2n为正整数)， 证明：左边=√ +2更-√+7， /(n+1)3 n+2 :n为正整数， 1 六左边=(n+1D√n十2-右边， 猜想成立。 (2)1 5.a1+-1房 T0十m+=1+-1 (2V1++1 39 6.解：(1)(-5√6)2=150，(-6√5)2=180,150<180， .-5√6>-6√5； (2)(W7-1)2=8-2√7，(W5-3)2=8-2√15， :8-2√7>8-2√/15，w7-1>5-3. 第9课时《二次根式》单元复习 核心讲练 1.D2.C3.D4.A5.B 6.(1)3(2)28(3)5(4)13(5)10(6)a2 7.a≤18.2√3 .14巨(2号(3号④2 5 10.211.A12.A13.C14.C 15.1)2(2)2(35-245+1 15 16.解：1)原式=45×号÷4厅=5÷45= 2)原式-号+-99。-g2g 24 4 44 17.解：(1)原式=5√12÷√3-√48÷√3-√7+2√7 =5√4-√16-√7+27=10-4-√7+2√7 +7; (2)原式=3+2√3+1-(8-9)=3+2√5+1+1=5 2V3. 18解：成立V√5景=5√层V6需=6√需 规律：√n+m-m+T=m√m-+Dm>1). n 证明√n+(m-)(n+)=√(n-1)(n+D 71 n =n√m-1m+D(m>1). 本章中考热点 1.解：(1)设长方体的高为x,则长为4x,宽为2x, 由题意得：4x×2x=24, 解得：x=√3， 则4x=4√3,2x=2√3； 答：长、宽、高分别是4√3cm,2√3cm,√3cm. (2)84cm(3)24√3cm 2.解：(1)m2+3n22mn(2)7√3 (3)a+8√3=(m+n√3)2， ∴.a=m2+3n2,8=2mn,.mn=4, ,a,m,n均为正整数， .m=1,n=4;m=2,n=2;m=4,n=1, 当m=1,n=4时，a=12+3×42=49; 当m=2,n=2时，a=22十3×22=16； 当m=4,n=1时，a=42+3×12=19; a的值是49、16或19. 3.3.5 4.②a+b>2√ab(1)12(2)67(3)3√224√2 第二十章勾股定理 第10课时勾股定理及其证明 新课学习 1.52525 解：以上结论对任意直角三角形成立， 2.(1)(a+b)2(2)2ab+c2 (3)(a+b)2=2ab+c2c2=a2+b 核心讲练 1.(1)8(2)13(3)20 2.(1)13(2)7(3)19 3.解：∠C=90°， ∴.AB=√AC+BC=√12+5=13. 答：AB的长为13 4.46+23 5.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=17,AC=15, 由勾股定理得BC=√AB2-AC=√17-15=8. :∴Sac=号·AC.BC=号X15X8=60, 答：BC的长为8，△ABC的面积为60. 过关检测 6.(1)4(2)√/137.6258.2 9.B10.B11.A12.C 13.解：(1)4 (2).CD⊥AB,AB=5,由(1)知AC=4, .AB·CD=AC·BC, 即CD=AC,BC-4X3-12 AB 5 51 第11课时勾股定理的应用(1) 新课学习 勾股定理 核心讲练 1.(1)12(2)31 2.解：如答图所示.点P、点Q即为所求 BC -543-210P0234 答图 3.12364.135.0.776.(1)8(2)2 过关检测 7.68.8元 9.解：如答图，设大树高为AC=6m,小树高为BD=2m,过点 B作BE⊥AC于点E, 则四边形EBDC是矩形，连接AB, ∴.EC=2m,EB=5m, AE=AC-EC=6-2=4(m), 在Rt△AEB中，AB=√AE+BE= E------------≥1B √4+5=√4I≈6.4(m), D 答：小鸟至少飞行6.4m. 答图 4