2026年浙江省杭州中考数学专题复习：菱形的专题复习

2026年浙江省杭州中考专题复习：菱形的专题复 习 【例】如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，以CD为直径的圆与AD交于点E, 则CDE的长是() B A.3π 87 C.4π D.5π 【变式练习】 1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E 作EFLAB,垂足为F,连结DE.若AE=BF,则DE:BC的值为() A.2:3B.万：3 C.2.5:3D.6 :3 2.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿 DB向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线B-C-D向终点D匀速运动，两点同 时到达终点.设运动时间为x秒，PQ为y.如图2，y关于x的函数图象经过最低点 E(2,m).下列说法不正确的是() 22.5 n 图 图2 A.n=7B.m=25 c.k=147 D.点(4,28)在该函数图象上 2.如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成.ABCD为 各多边形顶点，已知正六边形的边长为1，则四边形ABCD的面积为() A.3V万 B.7V5 c.45 95 2 2 3.如图，AC,BD为菱形ABCD的对角线，将△BOC绕点O逆时针旋转至△EOF,使得点E 在线段cD上，若器=k,则an2∠BC0= (用含k的代数式表示) 4.如图，线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AC,AD,已知∠BAD=108°，连接线段DC 并延长，与∠CAB的平分线交于点E,若AE=DE,DC=1,则线段AE的长为 D B 5.如图，在菱形ABCD中，分别过点A,C作AE∥CF,过点B,D作BG∥DH,交点分别 为E,F,G,H.若G为AE的中点，∠AEH=∠ABC=60°，则四边形GEHF与四边 形ABCD的面积之比为 2 H 6.已知菱形ABCD的面积为40V6,c0s∠ABC={ 图1 图2 (1)如图1，求菱形ABCD的边长 (2)如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A,D重合），连接EB,EC,点A 关于BE的对称点为点A!,BA'交射线AD于点F. ①当点A落在线段EC上时，求AF的长， ②FB 的最大值为 7.在菱形ABCD中，AD=5,点E在边AB上，连接DE,FDE与ADE关于直线 DE对称.若点F在边AB的延长线上，且BF=3, D C EB (1)求AE的长. (2)求sin∠CDF的值. 8.如图1，在菱形ABCD中，∠C=60°，E是对角线BD上一点，连接AE,设 ∠EAB=a(0°<<30)，将△ABE沿AE折叠得到△AGE,连接DG并延长交BC于 点H. G 4 B (图1) (图2)》 (1)用含的代数式表示∠DAG. (2)求证： ①∠BDH=LBAE; ②BH=BE· (3)如图2，当DG:GH=2:1时，求DE:BE的值 9.如图，在口ABCD中，E是BC的中点，连接AE交BD于点F,连接CF,AF=CF A D F B E (1)求证：口ABCD是菱形. (2)若∠BAD=120°，AF=4,求口ABCD的面积. 5 2026年浙江省杭州中考专题复习：菱形的专题复习 【例】如图，在菱形中，，，以为直径的圆与交于点E，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，圆周角定理．取的中点，连接，根据菱形的性质得，，根据圆周角定理得，，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 菱形中，，， ，， ，， ∴的长是． 故选：C． 【变式练习】 1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点 E 作EF⊥AB，垂足为 F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为 （　　) A．2：3 B． C．2.5：3 D． ：3 【答案】B 2.如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，结合菱形的性质得，，，进一步判定，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，则和，结合图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，解得、和，利用勾股定理求得为，即可得到点E的信息；当点Q在线段运动时，同理可得，，，和，则，利用勾股定理求得，代入点即可． 【详解】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图， ∵菱形中，， ∴，，，， ∴为等边三角形． 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动， 由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则， 那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合， 当点Q在线段运动时， ∴，，， ∴，解得，， 则， 那么，为 ， 当时即为图2的点E，， 当时，， 当点Q在线段运动时， 同理可得，，， ∴，， 则， 那么，为 ， 当时，， 故选∶B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长． 2.如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接、，，，过作于点，先证明、、、共线，再求出，，，利用勾股定理得，从而四边形是菱形，是等边三角形，进而得，，于是即可得解． 【详解】解：如图，连接、，，，过作于点， 由正六边形的性质得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，即点、、共线， 同理：点、、共线， ∴、、、共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 同理：， ∴，， ∴， 同理可得， ∴四边形是菱形，是等边三角形， ∵， ∴，， ∴四边形的面积为． 故选∶． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理，正多边形的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质，菱形的判定及性质是解题的关键． 3.如图，AC，BD为菱形ABCD的对角线，将△BOC绕点O逆时针旋转至△EOF，使得点E在线段CD上，若，则tan2∠BCO＝ 　　 ．（用含k的代数式表示） 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】连接BE，设CE＝m，由菱形的性质得BC＝DC，AC⊥BD，OB＝OD，则∠DCO＝∠BCO，∠COD＝90°，由旋转得OE＝OB＝OD，可证明∠BED＝90°，进而证明∠DCO＝∠DBE，所以∠BCO＝∠DBE，由k，得DE＝mk，且m≠0，k≠0，则DE2＝m2k2，BC＝DC＝mk+m，求得BE2＝BC2﹣CE2＝m2k2+2m2k，则tan2∠BCO＝tan2∠DBE，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BE，设CE＝m， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O， ∴BC＝DC，AC⊥BD，OB＝OD， ∴∠DCO＝∠BCO，∠COD＝90°， ∵将△BOC绕点O逆时针旋转至△EOF，点E在线段CD上， ∴OE＝OB＝OD， ∴∠OEB＝∠OBE，∠OED＝∠ODE， ∴∠BED＝∠OEB+∠OED＝∠OBE+∠ODE， ∵∠OEB+∠OED+∠OBE+∠ODE＝2∠BED＝180°， ∴∠BED＝90°， ∵∠COD＝∠BED，∠CDO＝∠BDE， ∴△COD∽△BED， ∴∠DCO＝∠DBE， ∴∠BCO＝∠DBE， ∵k，且CE≠0，DE≠0， ∴DE＝mk，且m≠0，k≠0， ∴DE2＝m2k2，BC＝DC＝mk+m， ∵∠BEC＝90°， ∴BE2＝BC2﹣CE2＝（mk+m）2﹣m2＝m2k2+2m2k， ∴tan2∠BCO＝tan2∠DBE， 故答案为：． 【点评】此题重点考查菱形的性质、旋转的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、乘法公式、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 4.如图，线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AC，AD，已知∠BAD＝108°，连接线段DC并延长，与∠CAB的平分线交于点E，若AE＝DE，DC＝1，则线段AE的长为 　　 ． 【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力． 【分析】由旋转的性质可得AC＝AB＝AD，由等腰三角形的性质可得∠D＝∠ACD＝∠DAE＝90°，由外角的性质可求x的值，可证AC＝CE＝AD，通过证明△ADC∽△EDA，可得，即可求解． 【解答】解：∵线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AC，AD， ∴AC＝AB＝AD， ∴∠D＝∠ACD， ∵AE＝DE， ∴∠D＝∠DAE， ∴△ADC∽△EDA， ∴∠DAC＝∠AED， 设∠DAC＝∠AED＝x， 则∠D＝∠ACD＝∠DAE＝90°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAC＝∠BAC＝54°， ∴90°54°x， ∴x＝36°， ∴∠DAC＝∠AED＝36°， ∴∠D＝∠ACD＝∠DAE＝72°， ∴∠CAE＝36°＝∠AEC， ∴AC＝CE＝AD， ∵△ADC∽△EDA， ∴， ∴AD2＝1•（1+AD）， ∴AD（负值舍去）， ∴AE＝DE＝1， 故答案为：． 5.如图，在菱形ABCD中，分别过点A，C作AE∥CF，过点B，D作BG∥DH，交点分别为E，F，G，H．若G为AE的中点，∠AEH＝∠ABC＝60°，则四边形GEHF与四边形ABCD的面积之比为 　　 ． 【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】将△BFC绕点B逆时针旋转60°至△BKA，得△BFK为等边三角形，再证明四边形EHFG为▱EHFG，则∠GFH＝∠BFK＝60°，证明K、F、C三点共线后可得AK∥GF，从而可判定四边形AKFG为▱AKFG．故AG＝KF＝BF＝BK，设BF＝x，则可得KF＝FH＝BF＝AG＝GE＝x，AE＝2x，导角证明∠DAE＝∠ABG，∠ABG＝∠FCB，故∠DAE＝∠FCB，再证明△AED≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝AK＝2x，又KH＝2x＝AK，则得△AKH为等边三角形，从而△AEH也为等边三角形．连接GH，则GH为AE上的高，GH，故四边形GEHF的面积＝GE•GH．作AN⊥BC于点N，CM⊥BG于点M，可得FM＝x，BM＝BF+FM＝x+x＝2x，CM，故BC，BN，AN，因此四边形ABCD的面积＝BC•AN，从而可得四边形GEHF与四边形ABCD的面积之比． 【解答】解：将△BFC绕点B逆时针旋转60°至△BKA，如图1所示， 则△BFK为等边三角形，∠BFK＝60°． ∵AE∥CF，BG∥DH， ∴四边形EHFG为▱EHFG． ∴∠GFH＝∠AEH＝60°， ∴∠GFH＝∠BFK＝60°， ∵B、F、G三点共线， ∴K、F、C三点共线． ∵∠BFC＝∠BKA＝120°，∠BKF＝60°， ∴∠AKH＝60°＝∠GFH， ∴AK∥GF，从而可得四边形AKFG为▱AKFG． 故AG＝KF＝BF＝BK，设BF＝x， ∵AG＝GE， ∴KF＝FH＝BF＝AG＝GE＝x，AE＝2x． ∵∠DAE+∠BAE＝120°，∠BAE+∠ABG＝120°， ∴∠DAE＝∠ABG， 同理可证∠ABG＝∠FCB， 故∠DAE＝∠FCB， 又∵∠AED＝∠CFB＝120°， 在△AED和△CFB中， ， ∴△AED≌△CFB（AAS）． 故AE＝CF＝AK＝2x， 又∵KH＝2x＝AK， 故△AKH为等边三角形，从而△AEH也为等边三角形． 连接GH，则GH为AE上的高， ∴GH， 故四边形GEHF的面积＝GE•GH． 作AN⊥BC于点N，CM⊥BG于点M，如图2所示， ∵∠GFC＝60°，CF＝2x， ∴FM＝x，BM＝BF+FM＝x+x＝2x，CM， 故BC， ∴BNBC， 故AN， ∴四边形ABCD的面积＝BC•AN， ∴四边形GEHF与四边形ABCD的面积之比为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 6..已知菱形的面积为，． （1）如图1，求菱形的边长． （2）如图2，若点E是射线上的一点（不与端点A，D重合），连接，．点A关于的对称点为点，交射线于点F． ①当点落在线段上时，求的长． ②的最大值为______． 【答案】（1）10 （2）①21；② 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据设，则，，利用菱形的面积列方程求解即可； （2）①根据菱形和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②作，交于点，证明，得到，进而得到，，得到当最小时，的值最大，作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点， ， 设，则，， 菱形的面积为， ， 解得或（舍去）， 菱形的边长为； 【小问2详解】 解：①点关于的对称点落在线段上， ，， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 如图2，过点作于点，则， 由（1）知，，， ， ； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴当最小时，的值最大， 作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 取的中点，连接，则，， ∴当三点共线时，的值最小， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 7.在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且， （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可得，即，再根据菱形的性质可得，进而求得，再根据等腰三角形的性质求解即可； （2）利用勾股定理可得，再利用平行线性质、等边对等角以及等量代换可得，然后根据正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8.如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，设，将沿折叠得到，连接并延长交于点． （1）用含的代数式表示． （2）求证： ①； ②． （3）如图2，当时，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，根据折叠的性质得到，进而可求； （2）①根据等边对等角及三角形内角和得到，根据等边三角形的判定和性质证明即可； ②根据菱形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （3）连接，延长交于，作于，根据等边三角形的判定和性质得到，证明，得到，设，根据角的性质得到，根据勾股定理得到，，求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①∵菱形， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，延长交于，作于． 由（2）得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则，． 在中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9.如图，在中，是的中点，连接交于点，连接，． （1）求证：是菱形． （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定及四边形面积的求法，熟练掌握是解答本题的关键． （1）连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据是的中点，，得到点是的重心，可证明是等边三角形，得到，即可求出面积． 【小问1详解】 证明：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是菱形； 【小问2详解】 解：是的中点，， 点是的重心， ， ， 是菱形，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $