专题5.1分式的意义及基本性质复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年浙教版数学七年级下学期.

专题5.1分式的意义及基本性质复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 1.理解分式的定义，精准区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义及值为0的判定条件。 2.熟练掌握并运用分式的基本性质，进行分式的约分、通分与变形。 3.规避分式运算与判定中的常见易错点，规范解题步骤，提升解题准确性。 4.灵活运用分式相关知识，解决取值判断、化简变形等基础题型。 核心题型◆归纳 题型1分式有意义的条件 题型2分式值为零的条件 题型3求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型4判断分式变形是否正确 题型5将分式的分子分母各项系数化为整数 题型6约分 题型7分式的求值 题型8利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型9将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型10求使分式值为整数时未知数的整数值 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、分式的定义 形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子，叫做分式。 分子：整式A 分母：整式B（核心特征：含字母，且不为0） 区分关键：分母含字母→分式；分母不含字母→整式。 知识点二、分式有意义的条件 设分式为，分母≠0，即B≠0。 （只要分母不为0，分式就有合法的取值） 知识点三、分式无意义的条件 设分式为，分母=0，即B=0。 （分母为0，除法运算无意义，分式不存在） 知识点四、分式的值为0的条件 设分式为， 分子=0 且 分母≠0，两个条件同时满足，缺一不可。 即A=0且B≠0。 知识点五、分式的基本性质 1.基本性质内容： 分式的分子与分母同乘（或同除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.公式表示：=  ，=.(C≠0) 分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 知识点六、分式的应用 1.分式的约分 定义：把分式的分子与分母的公因式约去，化为最简分式（分子与分母无公因式的分式）。 步骤：找分子、分母公因式→分子分母同除以公因式。 2.分式的通分 定义：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式。 关键：确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的乘积）。 3.分式的符号变形 分式、分子、分母的符号，同时改变其中两个，分式的值不变： ==-, = 知识点七、易错警示 1.判定分式只看分母是否含字母，与分子无关； 2.分式值为0，必须同时满足分子为0、分母不为0，切勿忽略分母条件； 3.运用分式基本性质时，乘除的整式不能为0，否则分式变形无效； 4.约分、通分需保证分式值不变，避免漏乘、漏除公因式。 知识点八、解题方法总结 1.分式取值类题目：先抓分母条件（有意义→分母≠0，无意义→分母=0），再结合分子求解； 2.分式化简变形：严格遵循基本性质，先找公因式/最简公分母，再规范运算； 3.解题后检验：重点验证分母是否为0，确保结果符合分式意义。 题型解析◆精准备考 题型1分式有意义的条件 1．要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0），求解的取值范围． 【详解】解：分式有意义， 分式的分母不能为，可得， 解得． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， 分母， 解得． 3．当取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3) 【答案】(1)时，有意义 (2)当为任意实数时，有意义 (3)时，有意义 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零． （1）根据分式有意义的条件得到，进行计算即可得到答案； （2）根据分式有意义的条件得到，进行计算即可得到答案； （3）根据分式有意义的条件得到，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当分母时，有意义； （2）解：当分母，即为任意实数时，有意义； （3）解：当分母，即时，有意义． 题型2分式值为零的条件 1．若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】解：∵的值为0， ∴且， 解得． 2．当_________时，分式的值为0． 【答案】2 【分析】分式值为零需满足分子为零，且分母不为零，根据该条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， 依题意得 且. 解方程 ， 因式分解得， 解得或， 解不等式 ， 因式分解得， 解得且， 综上可得． 3．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 题型3求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值是正数，则x的值可能是（   ）． A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值，根据同号得正列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 只有选项A符合条件， 故选：A． 2．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 3．已知分式的值为负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式的值，类比“两数相除同号得正，异号得负”的道理，可知“分式的值为负数”时，分子与分母的值异号，即“一正一负”，因此得到或两个不等式组，通过解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：由题意，得（1）或（2）． 不等式组（1）无解； 解不等式组（2），得． ∴的取值范围是． 题型4判断分式变形是否正确 1．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意； 2．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质和符号法则的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分母的负号移到分式前面即可； （2）分子、分母同乘以即可． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型5将分式的分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 2．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 3．不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （3） 解：． 题型6约分 1．化简分式 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用到平方差公式对分子因式分解后约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 2．约分：_______ 【答案】 【详解】解：． 3．将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2） 解：； 题型7分式的求值 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 【答案】B 【分析】将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：由条件可知， ， ， 又， ． 2．如果，那么____________． 【答案】 【分析】已知比例式，可得，， （）． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 3．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】先将变形为，再代入即可求值． 【详解】∵由题可得， ∴． 题型8利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的6倍 D．扩大到原来的3倍 【答案】D 【分析】根据要求变换后，再根据分式的基本性质化简，和原分式比较即可得到结果. 【详解】解：将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，即， 故分式的值扩大到原来的3倍. 2．若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值________． 【答案】扩大倍 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，将x和y都扩大3倍后，分别计算新分式的分子和分母，再与原分式比较，得出分式值的变化情况 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，得到新的分式为： 所以分式的值扩大3倍． 故答案为：扩大倍． 3．阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小； (2)当时，随着的增大，的值无限接近． 【分析】（）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 题型9将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 2．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变”是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型10求使分式值为整数时未知数的整数值 1．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解：是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 2．当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 3．关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“幂系数”方程．例如：方程，其中，，满足，所以方程是“幂系数”方程；由两个“幂系数”方程组成的方程组称作“幂系数”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)下列方程是“幂系数”方程的是_____（只填写序号）． ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组，求的值． (3)已知m，n，k为正整数，若关于x，y的方程组是“幂系数”方程组，求满足条件的k值． 【答案】(1)①③ (2)2或6 (3)1或2 【分析】（1）根据“幂系数”方程的定义解答即可； （2）根据“幂系数”方程的定义，可得，求出m，n的值，即可； （3）根据“幂系数”方程的定义，可得，可得到，再由m，n，k为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：①，其中，，，满足， 所以方程是“幂系数”方程； ②， 其中，，，不满足， 所以方程不是“幂系数”方程； ③，其中，，，满足， 所以方程是“幂系数”方程； （2）解：∵关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组， ∴，解得：或， ∴原方程组为或， 由得：， 由得：， ∴， 综上所述，的值为2或6； （3）解：∵关于x，y的方程组是“幂系数”方程组， ∴， 解得：， ∵m，n，k为正整数， ∴是12的正因数， ∴取3或4或6或12， 当时，，不符合题意； 时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴满足条件的k的值为1或2． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的定义判断选项即可，需注意是常数，不是表示未知数的字母． 【详解】解：A、是整式，A不符合要求． B、的分母含有字母，符合分式定义，B符合要求． C、的分母是常数，属于整式，C不符合要求． D、中是常数，分母不含字母，属于整式，D不符合要求． 2．下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：分子分母同时加1，不符合分式基本性质．举反例：当时，左边，右边，，变形错误； B选项：原式有意义时，，可得， ，变形正确； C选项：当时，右边无意义，变形错误； D选项：仅分母乘，分子未乘，不符合分式基本性质，变形错误． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方，合并同类项法则，同底数幂乘法，进行计算即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意． 4．如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 【答案】B 【分析】根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的a，b同时缩小到原来的，可得，即该分式的值缩小到原来的， 故选：B． 5．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得两个条件： ① 当时，无意义，可知时，分式分母为； ② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为； A：， 时，分母， 无意义，符合条件①； 时，分子，分母 ， ，符合条件②，故该选项符合题意； B：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意； C：， 时，分母 ， 有意义，不符合条件①，不符合题意； D：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意． 二、填空题 6．下列各式中，最简分式有______个． ①②③④⑤⑥⑦ 【答案】2 【分析】本题主要考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③不是分式； ④，不是最简分式； ⑤，不是最简分式； ⑥，不是最简分式； ⑦是最简分式； 综上分析可知：最简分式有2个． 故答案为：2． 7．若，则__________． 【答案】23 【分析】把已知等式两边平方，再利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 8．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【答案】10倍 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可． 【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为， 故新分式的值是原分式的10倍． 故答案为：10倍． 9．若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 10．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分母变为相反数，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）； 故答案为： （4）． 故答案为： 三、解答题 11．当x为何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． （1）要使分式有意义，根据分母不等于0求解即可； （2）要使分式有意义，根据分母不等于0求解即可； （3）要使分式有意义，根据分母不等于0求解即可． 【详解】（1）解：分式有意义， ， ； （2）解：分式 有意义 ， ， ； （3）解：分式 有意义 ， ． 12．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“+”，可得答案． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 13．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以 参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． 设，则，，，然后代入分式计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 14．我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)分式的分子和分母都柔以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 (2)C (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，类比分数性质得到分式性质，理解真分式、假分式定义，掌握将假分式化为整式与真分式的和的形式的方法是解决问题的关键． （1）由分数的性质类比即可得到分式的性质； （2）由由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，逐项分析即可得到答案； （3）由题中所给的方法，类比求解即可得到答案． 【详解】（1）解：类比分数的性质可得：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变， 故答案为：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）解：由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， A、中，分子的次数是2次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； B、中，分子的次数是1次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； C、中，分子的次数是0次、分母的次数是1次，是真分式，符合题意； D、中，分子的次数是2次、分母的次数是2次，是假分式，不符合题意； 故选：C； （3）解：． 15．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1分式的意义及基本性质复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 1.理解分式的定义，精准区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义及值为0的判定条件。 2.熟练掌握并运用分式的基本性质，进行分式的约分、通分与变形。 3.规避分式运算与判定中的常见易错点，规范解题步骤，提升解题准确性。 4.灵活运用分式相关知识，解决取值判断、化简变形等基础题型。 核心题型◆归纳 题型1分式有意义的条件 题型2分式值为零的条件 题型3求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型4判断分式变形是否正确 题型5将分式的分子分母各项系数化为整数 题型6约分 题型7分式的求值 题型8利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型9将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型10求使分式值为整数时未知数的整数值 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、分式的定义 形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子，叫做分式。 分子：整式A 分母：整式B（核心特征：含字母，且不为0） 区分关键：分母含字母→分式；分母不含字母→整式。 知识点二、分式有意义的条件 设分式为，分母≠0，即B≠0。 （只要分母不为0，分式就有合法的取值） 知识点三、分式无意义的条件 分母=0，即B=0。 （分母为0，除法运算无意义，分式不存在） 知识点四、分式的值为0的条件 设分式为，分子=0 且 分母≠0，两个条件同时满足，缺一不可。 即A=0且B≠0。 知识点五、分式的基本性质 1.基本性质内容： 分式的分子与分母同乘（或同除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式表示：=  ，=.(C≠0) 3.分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 知识点六、分式的应用 1.分式的约分 定义：把分式的分子与分母的公因式约去，化为最简分式（分子与分母无公因式的分式）。 步骤：找分子、分母公因式→分子分母同除以公因式。 2.分式的通分 定义：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式。 关键：确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的乘积）。 3.分式的符号变形 分式、分子、分母的符号，同时改变其中两个，分式的值不变： ==-, = 知识点七、易错警示 1.判定分式只看分母是否含字母，与分子无关； 2.分式值为0，必须同时满足分子为0、分母不为0，切勿忽略分母条件； 3.运用分式基本性质时，乘除的整式不能为0，否则分式变形无效； 4.约分、通分需保证分式值不变，避免漏乘、漏除公因式。 知识点八、解题方法总结 1.分式取值类题目：先抓分母条件（有意义→分母≠0，无意义→分母=0），再结合分子求解； 2.分式化简变形：严格遵循基本性质，先找公因式/最简公分母，再规范运算； 3.解题后检验：重点验证分母是否为0，确保结果符合分式意义。 题型解析◆精准备考 题型1分式有意义的条件 1．要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 3．当取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3) 题型2分式值为零的条件 1．若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 2．当_________时，分式的值为0． 3．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 题型3求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值是正数，则x的值可能是（   ）． A．0 B．1 C． D．2 2．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 3．已知分式的值为负数，求的取值范围． 题型4判断分式变形是否正确 1．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 2．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号： (1)； (2)． 题型5将分式的分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A．B． C． D． 2．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 3．不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 题型6约分 1．化简分式 的结果是（    ） A． B． C． D． 2．约分：_______ 3．将下列分式化简 (1) (2) 题型7分式的求值 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 2．如果，那么____________． 3．已知，求分式的值． 题型8利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的6倍 D．扩大到原来的3倍 2．若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值________． 3．阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 题型9将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10求使分式值为整数时未知数的整数值 1．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．当正整数________时，分式的值也为整数． 3．关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“幂系数”方程．例如：方程，其中，，满足，所以方程是“幂系数”方程；由两个“幂系数”方程组成的方程组称作“幂系数”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)下列方程是“幂系数”方程的是_____（只填写序号）． ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组，求的值． (3)已知m，n，k为正整数，若关于x，y的方程组是“幂系数”方程组，求满足条件的k值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 5．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 二、填空题 6．下列各式中，最简分式有______个． ①②③④⑤⑥⑦ 7．若，则__________． 8．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 9．若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 10．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 三、解答题 11．当x为何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 12．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 13．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以 参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 14．我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 15．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $