专题3.3乘法公式、整式的化简复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年浙教版数学七年级下学期.

专题3.3乘法公式、整式的化简复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 1.牢记平方差、完全平方公式的结构特征，能正用、逆用、变形用公式进行化简与简便运算； 2.掌握整式化简的规范步骤，熟练完成去括号、合并同类项、整式乘除混合运算； 3.规避整式化简常见易错点，熟练掌握先化简，再求值的解题方法； 4.灵活运用乘法公式解决简便计算问题，提升运算速度与准确率。 核心题型◆归纳 题型1运用平方差公式进行运算 题型2平方差公式与几何图形 题型3运用完全平方公式进行运算 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 题型5求完全平方式中的字母系数 题型6整式乘法混合运算 题型7整式的混合运算 题型8通过对完全平方公式变形求值 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、平方差 公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2． 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 公式的特点：①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 知识点二、完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2． （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 知识点三、整式化简标准解题步骤 1.去括号：负号括号，全项变号； 2.算乘方乘除：先幂运算，再乘除； 3.合并同类项：化为最简整式。 4.求值：先化简，后代入计算。 知识点四、解题技巧 1.优先用乘法公式，简化运算； 2.分步计算，规范书写，减少错误； 3.逆用公式，实现简便运算。 题型解析◆精准备考 题型1运用平方差公式进行运算 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，平方差公式要求两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：中，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算，符合题意； B选项：中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项：中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项：中，虽然有相同项，但与不是互为相反数，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意． 2．若，那么的值为____． 【答案】 【分析】根据平方差公式得出，再求得a的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．计算： (1)； (2)用简便方法计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型2平方差公式与几何图形 1．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图和图中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积为：； 由图可得，平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，，高为大正方形边长与小正方形边长之差，， ∴阴影部分的面积为：， ∴验证成立的公式为：． 2．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 【答案】①②③ 【分析】通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：（，可以验证平方差公式． 3．综合与实践 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（）求出图的剩余面积、图的面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 【详解】（1）解：图剩余面积为面积为，图面积为， 则上述操作可以得到一个公式：． （2）解：由（）得： ； （3）解： ． 题型3运用完全平方公式进行运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方及同底数幂乘法的运算法则分别计算各选项，即可判断正误． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 2．实数和满足，则________． 【答案】 【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x与y的值，代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， 则. 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式． 当时， 原式． 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可判断③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，②不符合题意； ③图1的面积可表示为，图2的面积可表示为， 图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，③符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 2．如图，长方形的周长为12（其中），如图2所示，以为边向上作正方形，再以为边向右作正方形，若图2中空白图形的面积和为12，则原长方形的面积为______． 【答案】8 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 设长方形的长为、宽长为，则，利用空白图形的面积和求出，利用完全平方公式变形得到，进而求出的值，从而求出原长方形的面积． 【详解】解：设长方形的长为、宽长为， ， ， 以为边向上作正方形，再以为边向右作正方形， 空白图形的面积和为：， ， 即， ， ， ， ， 原长方形的面积为：． 3．解答下列问题： (1)如图①，四个完全相同的长方形围成两个正方形．用不同的代数式表示阴影部分的面积，得到的等式是______； (2)通过计算说明（1）中的等式成立； (3)如图②，四个完全相同的直角三角形围成两个正方形，试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：根据大正方形面积减去小正方形面积得到阴影部分的面积为， 根据四个完全相同的长方形面积之和得到阴影部分的面积为， ∴； （2）解：右边 ， 左边右边， （1）中等式成立． （3）解：根据正方形面积公式得到大正方形面积为， 根据四个直角三角形和小正方形面积之和得到大正方形面积为， ， ， ． 题型5求完全平方式中的字母系数 1．已知是一个完全平方式，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴或， ∴的值为． 2．若是一个完全平方式，则___________． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的形式是，先确定出、对应的值，即可求出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， ， 解得：或． 3．配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】(1)7或 (2)或 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； （2）解：∵， 则， ． ， ， 则；     当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 题型6整式乘法混合运算 1．若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设另一个多项式为，再利用整式的乘法进行整理得得到对应各项系数，然后求得的值． 【详解】解：设多项式的另一个因式是，则，∴，， ∴，． 2．如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，如果，那么阴影部分的面积是______．    【答案】17 【分析】根据三角形的面积公式求出阴影部分的面积，再利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为， ∵，， ∴； 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型7整式的混合运算 1．化简，结果正确的是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式展开式子，再合并同类项即可得到结果. 【详解】解： ． 2．如果，那么代数式的值为________． 【答案】 9 【分析】先将所求代数式展开化简，整理为用已知条件表示的形式，再整体代入计算即可． 【详解】解： 原式． 3．计算： 【答案】 【详解】解：原式． 题型8通过对完全平方公式变形求值 1．若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两个已知等式按完全平方公式展开，两式相减消去无关项，即可计算出的值． 【详解】解：∵，， ∴①，②， ①②得：， ∴， ∴． 2．若，，则______． 【答案】3 【分析】根据公式，求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 解得． 3．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路： 例1：已知，，，求的值． 解： ，， 例2：若y满足，求的值． 解：设，，则， 这样就可以利用例1中的方法进行求值了．请结合以上两个例题解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)40 (2)109 (3)4056 【分析】（1）根据完全平方公式变形求值即可求解； （2）设，，则，，然后根据完全平方公式变形求值即可求解； （3）设，，则，，然后根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】（1）解： ，， ； （2）解：设，， 则，， ， ； （3）解：设，， 则，， ， ． 过关检测◆提升 一、单选题 1．已知代数式是一个完全平方式，则常数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】B 【分析】根据完全平方公式即可求出常数m的值． 【详解】解：∵代数式 是完全平方式， ∴． 2．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项中，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式的结构，符合题意； B选项中，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式结构，不符合题意； C选项，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式结构，不符合题意； D选项，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式结构，不符合题意． 3．已知，则代数式的值是（    ） A．23 B．34 C．45 D．75 【答案】B 【分析】先将所求代数式展开，再利用完全平方公式整理为已知等式的平方和形式，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式乘多项式，代数求值等知识点，解题的关键是熟练掌握整式乘法的法则． 将代数式展开后，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解： 已知 ，，代入得： ， 故选：B． 5．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载、如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为36，且，则的长为（    ） A．13 B．17 C．19 D．21 【答案】B 【分析】根据题意图形的特点可知阴影部分为正方形，并表示出正方形的边长，再根据阴影部分的面积为36，且，找到边长的关系即可求解． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， 由图可得，，即阴影部分为正方形， ∴ ∵阴影部分的面积为36， ∴， ∴ ∴，即的长为． 二、填空题 6．________． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式将原式展开，再去括号，合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 7．若，，则的值是____． 【答案】 【分析】由得到，把代入展开后的式子求出的值，再运算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入可得：， 整理可得：， ∵， ∴． 8．已知，则___________． 【答案】2 【分析】先把运用完全平方公式展开，再结合，得出，算出，最后代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵ ∴ 解得 ∴． 9．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式，若，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 10．如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，若长方形的一条边长为，则它的一条邻边长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先用x表示出剩余阴影部分的面积，再分解因式，然后根据长方形的一条边长为，得出它的一条邻边长． 【详解】解：在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分的面积为， 因为长方形的一条边长为， 所以它的一条邻边长是， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式 ； ∴当时，则原式． 13．【阅读材料】 我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法． 【类比探究】 (1)利用图中面积的等量关系可以得到的数学公式为 （请填序号）． ①；②；③；④． 【解决问题】 利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： (2)已知，，则 ； (3)若，求的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）阴影部分是边长为的正方形，可以看作大正方形面积减去空白部分的面积，根据面积相等可得； （2）根据完全平方公式变形，即可求解; （3）设，，则，，进而根据完全平方公式变形计算即可求解． 【详解】（1）解：利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为； （2）解：，，而， ， ， （3）解：设，，则，， ． 14．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“双方数”，例如，5是“双方数”，理由：因为，所以5是“双方数”． (1)已知41是“双方数”，请将它写成（、是整数）的形式______； (2)若可配方成（、为常数），则______； (3)已知（、是整数），试判断是否为“双方数”，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是“双方数”，理由见解析 【分析】（1）根据“双方数”的定义，找出两个整数、，使得； （2）先将通过配方法转化为，进而确定、的值，最后计算的值； （3）对进行配方，将其转化为两个完全平方式相加的形式，再根据“双方数”的定义进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ，， ； （3）解：是“双方数”，理由如下： 由于、是整数， 则和也是整数，符合“双方数”的定义， 因此，是“双方数”． 15．在学习用乘法公式分解因式时，我们把多项式及叫作“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？ 请求出这个最值．小马的解题步骤如下： 解：． ， ． 有最小值，最小值为4． 小马的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③．其中是完全平方式的是______．（填序号） (2)若（为常数）是一个完全平方式，则的值为______． (3)代数式有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】(1)②③ (2) (3)有最小值，最小值为 【分析】本题考查了完全平方式的特点及其非负性，二次三项式代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）将各个代数式进行因式分解，根据结果判断，即可求解； （2）根据完全平方公式的特点解答即可； （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式即可得答案． 【详解】（1）解：①，常数项为不满足完全平方式的特点，不是完全平方式， ②，是完全平方式， ③，是完全平方式， 故答案为：②③． （2）解：， （为常数）是一个完全平方式， ， 故答案为：． （3）解：， ， ， 有最小值，最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3乘法公式、整式的化简复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 1.牢记平方差、完全平方公式的结构特征，能正用、逆用、变形用公式进行化简与简便运算； 2.掌握整式化简的规范步骤，熟练完成去括号、合并同类项、整式乘除混合运算； 3.规避整式化简常见易错点，熟练掌握先化简，再求值的解题方法； 4.灵活运用乘法公式解决简便计算问题，提升运算速度与准确率。 核心题型◆归纳 题型1运用平方差公式进行运算 题型2平方差公式与几何图形 题型3运用完全平方公式进行运算 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 题型5求完全平方式中的字母系数 题型6整式乘法混合运算 题型7整式的混合运算 题型8通过对完全平方公式变形求值 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、平方差 公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2． 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 公式的特点：①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 知识点二、完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2． （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 知识点三、整式化简标准解题步骤 1.去括号：负号括号，全项变号； 2.算乘方乘除：先幂运算，再乘除； 3.合并同类项：化为最简整式。 4.求值：先化简，后代入计算。 知识点四、解题技巧 1.优先用乘法公式，简化运算； 2.分步计算，规范书写，减少错误； 3.逆用公式，实现简便运算。 题型解析◆精准备考 题型1运用平方差公式进行运算 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．若，那么的值为____． 3．计算： (1)； (2)用简便方法计算：． 题型2平方差公式与几何图形 1．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 2．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 3．综合与实践 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 题型3运用完全平方公式进行运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．实数和满足，则________． 3．先化简，再求值：，其中． 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 2．如图，长方形的周长为12（其中），如图2所示，以为边向上作正方形，再以为边向右作正方形，若图2中空白图形的面积和为12，则原长方形的面积为______． 3．解答下列问题： (1)如图①，四个完全相同的长方形围成两个正方形．用不同的代数式表示阴影部分的面积，得到的等式是______； (2)通过计算说明（1）中的等式成立； (3)如图②，四个完全相同的直角三角形围成两个正方形，试探究，，的数量关系，并说明理由． 题型5求完全平方式中的字母系数 1．已知是一个完全平方式，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．若是一个完全平方式，则___________． 3．配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 题型6整式乘法混合运算 1．若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 2．如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，如果，那么阴影部分的面积是______．    3．计算：． 题型7整式的混合运算 1．化简，结果正确的是（    ） A．4 B． C． D． 2．如果，那么代数式的值为________． 3．计算： 题型8通过对完全平方公式变形求值 1．若，则（   ） A． B．2 C． D． 2．若，，则______． 3．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路： 例1：已知，，，求的值． 解： ，， 例2：若y满足，求的值． 解：设，，则， 这样就可以利用例1中的方法进行求值了．请结合以上两个例题解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)若，求的值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．已知代数式是一个完全平方式，则常数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 2．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则代数式的值是（    ） A．23 B．34 C．45 D．75 4．已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 5．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载、如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为36，且，则的长为（    ） A．13 B．17 C．19 D．21 二、填空题 6．________． 7．若，，则的值是____． 8．已知，则___________． 9．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式，若，则_____． 10．如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，若长方形的一条边长为，则它的一条邻边长是___________． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．先化简，再求值：，其中． 13．【阅读材料】 我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法． 【类比探究】 (1)利用图中面积的等量关系可以得到的数学公式为 （请填序号）． ①；②；③；④． 【解决问题】 利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： (2)已知，，则 ； (3)若，求的值． 14．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“双方数”，例如，5是“双方数”，理由：因为，所以5是“双方数”． (1)已知41是“双方数”，请将它写成（、是整数）的形式______； (2)若可配方成（、为常数），则______； (3)已知（、是整数），试判断是否为“双方数”，并说明理由. 15．在学习用乘法公式分解因式时，我们把多项式及叫作“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？ 请求出这个最值．小马的解题步骤如下： 解：． ， ． 有最小值，最小值为4． 小马的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③．其中是完全平方式的是______．（填序号） (2)若（为常数）是一个完全平方式，则的值为______． (3)代数式有最大值还是最小值？请求出这个最值． 学科网（北京）股份有限公司 $