专题 5.2 分式的基本性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.2 分式的基本性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】分式的基本性质 1 【题型 1】利用分式的基本性质辨析分式的变形 1 【题型 2】不改变分式的值,把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数 2 【题型 3】不改变分式的值,把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数 2 【题型 4】利用分式的基本性质判断分式值的变化 3 【知识点二】分式的约分、最简分式 3 【题型 5】分式的约分与最简分式 3 【题型 6】求使分式值为整数时未知数的整数值 4 【题型 7】约分并求分式的值 4 二.同步检测 4 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 5 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 5 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 6 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （其中是不等于零的整式）。 【题型 1】利用分式的基本性质辨析分式的变形 【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型 2】不改变分式的值,把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【变式3】（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【题型 3】不改变分式的值,把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数 【例题3】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【变式1】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【题型 4】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例题4】（23-24八年级上·全国·课后作业）把分式中的，同时扩大为原来的2倍后，分式的值会如何变化? 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【变式3】（23-24七年级·上海·暑假作业）若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？ (1) (2) (3) 【知识点二】分式的约分、最简分式 把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。约分要约去分子、分母所有的公因式。分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式。 【特别提示】化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。 【题型 5】分式的约分与最简分式 【例题5】（2026·浙江衢州·一模）约分：． 【变式1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）写出一个分母为a的最简分式，可以是______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1) (2)． 【题型 6】求使分式值为整数时未知数的整数值 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【变式1】（2026·河北邢台·一模）已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）若分式方程的解为正整数，求整数的值． 【题型 7】约分并求分式的值 【例题7】（2026·北京大兴·一模）已知，求代数式的值． 【变式1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）已知，则__________． 【变式3】（25-26九年级下·北京·月考）已知，求代数式的值． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）分式约分后的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 6．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·云南昭通·月考）分式的分子和分母同时乘以2，得到__________． 10．（25-26八年级上·全国·课前预习）把下列分式化为最简分式： （1）______； （2）______． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 12．（23-24八年级上·北京海淀·月考）若代数式的值为正整数，则整数x的值为______． 13．（25-26八年级下·四川乐山·月考）已知，则的值为_______． 14．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若，则的值为_________． 15．（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数． 16．（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在线段_____处．（请从①②③④中选择正确的答案填在横线上） （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 18．（25-26八年级上·云南昭通·月考）已知分式，． (1)化简A； (2)当x为何值时，A与B的值相等？ (3)当x为何值时，A的值为零？ 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，回答下列问题． (1)若分式无意义，求的取值范围； (2)若分式的值是零，求的值； (3)当，时，分别求分式的值； (4)若分式的值是正数，求的取值范围． 20．（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.2 分式的基本性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】分式的基本性质 1 【题型 1】利用分式的基本性质辨析分式的变形 1 【题型 2】不改变分式的值,把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数 4 【题型 3】不改变分式的值,把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数 5 【题型 4】利用分式的基本性质判断分式值的变化 7 【知识点二】分式的约分、最简分式 8 【题型 5】分式的约分与最简分式 8 【题型 6】求使分式值为整数时未知数的整数值 10 【题型 7】约分并求分式的值 12 二.同步检测 13 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 13 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 17 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 20 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （其中是不等于零的整式）。 【题型 1】利用分式的基本性质辨析分式的变形 【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)分子、分母同时乘c (2)分子、分母同时除以x (3)分子、分母同时除以 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以c，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案； （3）根据分式的性质：分式的分子分母都除以，可得答案． 【详解】（1）解：，即分子、分母同时乘c； （2）解：，即分子、分母同时除以x； （3）解：， 即分子、分母同时除以． 【变式1】（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子、分母同乘 (2)分子、分母同除以 (3)分子、分母同除以 (4)分子、分母同乘 【分析】根据分式的基本性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：分子、分母同乘， ； （2）解：分子、分母同除以， ； （3）解：分子、分母同除以， ； （4）解：分子、分母同乘， ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘或除一个不等于零的数，分式的值不变是解题的关键． 【题型 2】不改变分式的值,把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型 3】不改变分式的值,把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数 【例题3】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）分子，分母同时乘以，即可； （2）分子，分母同时乘以，即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【变式1】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型 4】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例题4】（23-24八年级上·全国·课后作业）把分式中的，同时扩大为原来的2倍后，分式的值会如何变化? 【答案】分式的值扩大为原来的2倍 【分析】将分子、分母中的分别扩大到原来的２倍，化简后即可求解 【详解】， 因此，分式的值扩大为原来的2倍． 【点睛】本题考查分式的性质．按照题意进行相关操作即可求解． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的x,y代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果. 【详解】解：∵把和都扩大3倍后，得到新分式为， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变. 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【答案】10倍 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可． 【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为， 故新分式的值是原分式的10倍． 故答案为：10倍． 【变式3】（23-24七年级·上海·暑假作业）若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？ (1) (2) (3) 【答案】(1)不变 (2)不变 (3)不变 【分析】（1）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答； （2）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答； （3）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答． 【详解】（1）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变； （2）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变； （3）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质等知识点，灵活运用分式的基本性质是解答本题的关键． 【知识点二】分式的约分、最简分式 把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。约分要约去分子、分母所有的公因式。分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式。 【特别提示】化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。 【题型 5】分式的约分与最简分式 【例题5】（2026·浙江衢州·一模）约分：． 【答案】 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，判断各选项分子分母是否存在公因式，不存在公因式的分式即为最简分式． 【详解】解：A选项：的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； B选项：=，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C选项：的分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D选项：的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． 【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）写出一个分母为a的最简分式，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了最简分式定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义．根据题意写出一个分母为a的最简分式即可． 【详解】解：分母为a的最简分式，可以是． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【题型 6】求使分式值为整数时未知数的整数值 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【答案】或或或 【分析】先根据分式的性质进行化简，结果为，再结合题意判断出是的因数，计算出结果，同时注意需要让原分式有意义． 【详解】解：∵原分式有意义， ∴， ∴， ， ∵分式的值为整数，且为整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或或或． 【变式1】（2026·河北邢台·一模）已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）若分式方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法及参数取值问题。本题关键在于正确处理分式方程的变形与去分母，并在解出含参数的解后结合解的限制条件进行讨论，特别注意这一隐含条件，避免代入导致分母为零的情况。先解含有字母参数的分式方程，求出，再根据分式方程的解为正整数，列出关于的方程，解方程求出，再判断时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并：， 化系数为1：， ∵分式方程的解为正整数， ∴或3， 解得：或1， ∵当时，，分式无意义， ∴， ∴整数的值为． 【题型 7】约分并求分式的值 【例题7】（2026·北京大兴·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对给定的代数式进行化简，再根据已知条件求出化简后代数式的值． 【详解】解：已知，移项可得， ， 将代入可得． 【变式1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】对已知等式利用等式的基本性质变形，整理得到所求分式的值． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级下·北京·月考）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】易得，将分子分母进行因式分解后，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）分式约分后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先变形，再约去分子分母的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，然后代入求解． 【详解】解： ∴设，，， ∴． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 5．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 6．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式， ∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意； B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； C．若分式有意义，则，得， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； D．， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质与分式的变形，可通过比例交叉相乘、分式拆分等方法验证各选项． 【详解】选项A：∵ ， ∴ ，故A错误； 选项B：对交叉相乘得， 展开化简得，与一致， 且，则，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：∵， ， ，故D错误． 故选：B． 8．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的判定，熟练掌握各知识点是解题关键． 根据分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴无论为何值总有意义，故本选项正确，符合题意； B、∵， ∴分式不是最简分式，故本选项错误，不符合题意； C、∵分式值为0， ∴ 解得：，故本选项错误，不符合题意； D∵是常数，分母不含字母 ∴它是整式不是分式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·云南昭通·月考）分式的分子和分母同时乘以2，得到__________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个非零数，分式的值不变，据此进行求解即可． 【详解】解：分子乘以2得，分母乘以2得，因此得到的新分式为； 故答案为． 10．（25-26八年级上·全国·课前预习）把下列分式化为最简分式： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，以及化为最简分式； （1）约去分子分母的公因式即可； （2）约去分子分母的公因式即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 12．（23-24八年级上·北京海淀·月考）若代数式的值为正整数，则整数x的值为______． 【答案】3或7/7或3 【分析】分子为正整数5，若分式值为正整数，且x为整数，则等于1或5，从而问题可解． 【详解】解：的值为正整数， 或， 或， 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了分式求值，根据题意得出等于1或5是解题的关键． 13．（25-26八年级下·四川乐山·月考）已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】通过对已知等式变形得到的值，再利用完全平方公式变形所求分式，即可计算出结果. 【详解】解：，可知，， ∴， 整理，得， 方程两边同时除以得：， ∴， ∴， ∴. 14．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 【详解】解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 16．（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在线段_____处．（请从①②③④中选择正确的答案填在横线上） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了分式的求值，有理数与数轴，化简分式可得原式，再把代入分式中计算求值． 【详解】解： ， 原式， 又， 表示的点落在线段③处． 故答案为：③． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，再把所求式子的分子和分母都分解因式，再约分，最后利用整体法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ， ． 18．（25-26八年级上·云南昭通·月考）已知分式，． (1)化简A； (2)当x为何值时，A与B的值相等？ (3)当x为何值时，A的值为零？ 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查分式的值、约分及分式有意义的条件，熟练掌握分式的值、约分及分式有意义的条件是解题的关键； （1）根据分式的性质可进行求解； （2）由（1）及分式有意义的条件可进行求解； （3）根据分式的值为0的条件可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴恒成立， ∵分式有意义，即， ∴当时，A与B的值相等． （3）解：当时，则且． 解得， ∴当时，A的值为零． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，回答下列问题． (1)若分式无意义，求的取值范围； (2)若分式的值是零，求的值； (3)当，时，分别求分式的值； (4)若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3)；(4) 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式有意义的条件，分式的基本性质，分式值为零、分式值为正，分式所应具备的条件进行解答，即可． （1）根据分式无意义，则分母为； （2）根据分式值为零，分子为零，分母不为零，即可； （3）将的值代入分式计算即可； （4）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得： （2）解：由题意得且， 解得，， ∴ （3）解：当时，； 当时， （4）解：由题意可得①， 此不等式组无解； ②，解得． ∴分式的值是正数，的取值范围是． 20．（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1)(2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $