2026年河北中考数学模拟练习题

2026河北省中考模拟练习题

 

1.如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点 G.若∠ABE=130°,∠CDF=150°,则∠EGF的度数是              (    )

A.60° B.70° C.80° D.90°

2.汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是              (   )

A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9

B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小

C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h

D.若车速从25 km/h增大到60 km/h,则这款轮胎的摩擦系数减小0.04

3.某蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系为 则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而        (填“增大”或“减小”).

4.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m³)的反比例函数.当 V=1.2m³ 时,p=20 000 Pa.则当 V=1.5 m³ 时,p=                  Pa.

5.弹簧测力计是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F=kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为 mg，其中g为常数.如图，一把弹簧测力计在不挂任何物体时弹簧的长度为 6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为 0.5千克时，弹簧长度为 6.5厘米，那么当弹簧长度为 6.8厘米时，所挂物体的质量为        千克.

6.【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于 1261 年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a+b)"展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式如下：

 

【应用体验】已知 则m的值为        .

 

7.勾股树是一个可以无限生长的树形图形(如图(1))，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图(2)是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形……则第5个图形中共有        个正方形.

8.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD 为矩形，边 CD与⊙O 相切于点 E,连接BE,∠ABE=15°,连接OE交AB 于点 F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为        .

9.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41……根据上述规律,写出第⑤组勾股数:          .

 

10.已知整式 其中a₀为自然数,n,a₁,a₂,…, an为正整数,且( 下列说法：

①满足条件的所有整式 M中有且仅有1个单项式；

②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为

③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个.

其中正确的个数是 (    )

A.0 B.1 C.2 D.3

11.对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则 若余数为1，则m=2n；若余数为2，则m=n+1.这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推.例如，正整数n=4，根据4除以3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3=3知，对4进行三次变换得到的数为3.

(1)对正整数15 进行三次变换，得到的数为        ；

(2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为        .

 

12.已知a是常数,函数 记 

(1)若x=-4,a=1,求y的值;

(2)若x=3a+2,y=1,比较T与3的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 P，A均在格点上.

(1)线段 PA 的长为         ;

(2)直线PA与△ABC的外接圆相切于点A,AB=BC.点 M在射线BC上,点 N在线段 BA的延长线上，满足CM=2AN，且MN与射线 BA垂直.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的(不要求证明)：                                                                                                                          

14.如图，在 6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.(保留作图痕迹)

(1)在图(1)中作出BC的中点;

(2)在图(2)中作出△ABC的重心.

 

2026河北省中考模拟练习题

 

1 C   ∵ AB∥PQ,CD∥PQ,∠ABE =130°,∠CDF =150°,∴∠PGB=50°,∠PGD =30°,∴∠BGD =80°,∴ ∠EGF=∠BGD=80°.

2 C

名师教解题

 

3 减小

4 16 000

【解析】当V=1.5m³时,

5 0.8

【解析】当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米,此时 F =mg=0.5g,弹簧伸长为0.5cm .将(0.5,₁0.5g)代入 F = kx,则0.5g=0.5k,∴k=g.对于 F = gx,当x=6.8-6=0.8时,,F=0.8g,即 千克.

68

【解析】将(x+2)⁴套用(a+b)⁴的展开式,可知a=x,b=2，对照两式的展开式，可得

7 31

【解析】题图(2)中，第2个图形比第1个图形多2¹个正方形，第3个图形比第2个图形多2²个正方形……第n(n>1)个图形比第n-1个图形多2ⁿ⁻¹个正方形，故第5个图形中正方形的个数是

名师讲方法

规律探索题的解题策略

规律探索题通常给出一组数字、代数式、等式、不等式或图形，要求考生通过观察、分析、猜想来探索规律，体现了从特殊到一般的数学思想.解题方法为：(1)标序号；(2)分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析；(3)根据各式或图形中的“变”与“不变”写出符合规律的形式，发现各式或图形与对应序号之间的关系是解题的关键.

【解析】∵ CD 与⊙O 相切于点 E,∴OE⊥CD.∵ 四边形ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∴OE⊥AB,∴AF=FB =2.由圆周角定理,得∠AOE =2∠ABE =30°,∴OF = AF=2

9 11,60,61

【解析】观察各组勾股数发现，若最小数为奇数，则最小数的平方等于另外两个连续正整数之和.设最小数为2n+1(其中n为正整数)，则( 两个连续正整数分别为 第⑤组勾股数为11，60,61.

名师敲重点

勾股数的规律

若最小数为奇数，则最小数的平方等于另外两个连续正整数之和.

若最小数为偶数，则最小数的平方等于另外两个正整数之和的2倍.

一题多解 

由题意可知第⑤组勾股数中的第1个数为11.设第2个数为x，则第3个数为x+1，由勾股定理，得 1)²,解得 x =60,则 x +1 =61.故第⑤组勾股数为 11,60,61.

10  C 当n=1时， 若 则整式 M 为4x；若a₀>0，则整式M不可能为单项式.当n>1时，易知整式M 不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有 1个单项式，①正确.当n=3时， 当 时， 则a₁,a₂,a₃中有一个为2,故会有三种情况，对应的整式 M 为 当 时， 则 对应的整式M 为 当a₀>1时， 与a₁,a₂，…，an为正整数矛盾，故不存在，∴满足条件的所有整式M的和为 故②错误.∵多项式为二次三项式，. 且 当 时， 则有 两种， 两种都满足条件；当( 时， 则有 一种，∴ 满足条件；当 a₀>2(时， 与a₁,a₂，…，an为正整数矛盾，故不存在，∴其值一定为非负数的

整式M共有3个，故③正确.

11 (1)2  (2)11

【解析】(1)根据15 除以3 的余数为0,由 知,对15进行一次变换得到的数为5；根据5除以3的余数为2，由5+1=6知，对15 进行二次变换得到的数为6；根据6除以3的余数为0，由 知，对15 进行三次变换得到的数为2.

(2)设对正整数n进行一次变换后得到的数是 a.由题意可知，a是正整数，对a进行一次变换后得到的数是1，结合题意，可知有以下3 种情况：

①当a除以3的余数为0时， 即a=3;

②当a除以3的余数为1时,1=2a,即 不符合题意；

③当a除以3 的余数为2时,1 =a+1,即a=0,不符合题意，

故a=3.对于“n÷3的结果”可分以下 3 种情况：

①当n除以3的余数为0时， 即

②当n除以3的余数为1时,a=2n,即3=2n,∴n= 不符合题意；

③当n除以3的余数为2时,a=n+1,即3=n+1,∴n=2.综上可知，满足条件的n的值为9和2，二者之和为9+2=11.

名师讲方法

本题是代数推理题，涉及代数变换及分类讨论思想，解决本题的关键是读懂题意，理清代数变换的过程，不重不漏地列出所有情况，并结合题意对各种情况进行取舍.

12 (1)把x=-4,a=1代入函数 得

∴y的值为1.

(2)将x=3a+2,y=1代入函数 3)+1,

得(

整理，得

①当a+2=0时,即a=-2,

 

②当 时,a≠0,Δ=16-4=12>0,则关于a的一元二次方程有两个不相等的实数根.

由 可得

综上可知,当a=-2时,T<3;当( (即 a=2+ 时,T>3.

13 (1)   (2)如图，直线PA 与射线 BC 的交点为M；取圆与网格线的交点 D 和E,连接DE;取格点 F,连接AF,与 DE相交于点 O；连接BO并延长，与AC 相交于点 G，与直线PA相交于点 H；连接CH 并延长，与网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点 J；连接GJ，与线段 BA 的延长线相交于点 N,则点 M,N即为所求.

名师教解题

解决本题的关键是确定点 M 的位置，下面是确定点 M位置的思考过程.

第一步:如图(1),在此题中先确定∠BAC=∠QAR

易知∠K+∠BAK =90°,∠PAB +∠BAK=90°,∴ ∠K=∠PAB.∵BA=BC,∴∠BAC=∠C.又∵∠K=∠C,∴∠BAC=∠PAB.又∠PAB=∠QAR,∴∠BAC=∠QAR.

第二步：确定点M的位置

如图(2)，在BC的延长线上取点 M，在BA 的延长线上取点N.由CM=2AN,可想到在点 N右侧取点 M',使得 NM'=AN,则AM'= CM.∵ MN⊥AN,NM'= AN,∴AM = M'M,∴∠M'AM=∠AM'M.易证 AC∥M'M,∴∠BAC =∠AM'M,∴∠BAC =∠M'AM,∴点M在直线PA 上.又∵点M在射线BC上,∴点M是直线 PA与射线BC的交点.

 

14 (1)如图(1),点D 即为所求.

(2)方法一:如图(2),点P 即为所求.

方法二：如图(3)，点P 即为所求.

15(1)30  等角的补角相等

(2)∵∠AFB 是△AEF的外角,∴∠AFB =∠EAF+∠E.

∵∠ACB是△ACD的外角,∴∠ACB=∠CAD+∠D.

∵∠EAF=∠CAD,∠E=∠D,∴∠AFB=∠ACB=60°.

即线段AD 与线段 BE 所在直线形成的夹角中有一个角是60°.

∵AD=BE,∴线段AD 是线段BE 的双关联线段.

(3)答案不唯一，例如：

作法一： 作法二：

如图，线段CD 即为所求.

16 (1)小明的猜想不正确.

反例:3×4=12.

 所以 所以 与(*)矛盾，不合题意；

 所以 又因为 所以1<

由(*)知 所以p=m+n.

(3)当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是m-n+1;当A的数字小于 B的数字时，AB的位数是m-n.

证明如下：

由已知，A，B的位数分别为m，n，

设 A,B,C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C=A.

由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，

此时,m=n+x-1,所以x=m-n+1;

当a<b时,必有a<c,

此时,m=n+x,所以x=m-n.

综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，AB的位数是m-n+1;

当A 的数字小于B的数字时，AB的位数是m-n.

17(1)从上到下依次填写：错误、正确、错误.

(2)证明:如图(1),过点 Q作QG∥PO,且使 QG=PO,连接GO,GS.

∵QG∥PO,且QG=PO,

∴四边形 POGQ 是平行四边形，

∴PQ∥GO,PQ=GO.

又∵PQ∥TS,∴ST∥GO.

∵PO∥QG,PO∥RS,QG=PO,PO=RS,

∴QG∥RS,QG=RS,∴四边形QGSR 是平行四边形,

∴QR∥GS,GS=QR.

又∵QR∥OT,∴GS∥OT,

∴ 四边形 GSTO 是平行四边形，

∴OT=GS=QR,ST=GO=PQ,

∴PQ=QR=RS=ST=OT=PO,

∴平行六边形 OPQRST 是菱六边形.

(3)设边长为3，4，6的三角形纸片的三个顶点分别为H，I，J,菱六边形 KLMNUV 如图(2)所示,HI=3,HJ=4,IJ=6.

设KL=LM=MN=NU=UV=VK=x.

∵KL∥IJ,VU∥HJ,

∴△HKL∽△HIJ,△IUV∽△IJH,

 

即 解得

∴△HKL 的三边长分别为 同理可求得△IVU 的三边长分别为Ⅳ=1,Ⅳ=2,VU= △JMN的三边长分别为