专题13.8 平面与平面垂直（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

专题13.8 平面与平面垂直 教学目标 1.通过对生活中实例的观察和猜想，理解二面角及其平面角的概念，会在一些比较特殊的问题情境下识别二面角的平面角，会求一些简单的二面角的大小 2.掌握平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的性质定理，并能运用定理解决一些简单问题． 3.在对性质定理的探索过程中，了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系． 4. 在求二面角的过程中，发展直观想象和数学运算素养，在证明面面垂直的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 二面角及其平面角的概念的理解；两个平面垂直的判定定理的掌握和应用；面面垂直性质定理的探索与应用． 2.难点 二面角的求解；面面垂直判定定理、性质定理的应用. 知识点01 二面角 1.二面角的定义： （1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2.二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3.二面角的平面角 （1）自然语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. （2）图形语言 （3）符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4.二面角大小的度量 （1）二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. （2）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 注：二面角与二面角的平面角间的区别与联系： 区别：二面角是空间角，而二面角的平面角是平面角． 联系：二面角的大小与二面角的平面角的大小是一致的，即二面角的平面角是多少度，则二面角就是多少度．因此求二面角的大小，只需求它的平面角的大小． 【即学即练】 1．已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（  ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 2．如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 知识点02 面面垂直的定义及判定定理 1.平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β. 2.两个平面互相垂直的画法： 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理： （1）自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. （2）图形语言 （3）符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 【即学即练】 1．下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 2．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面. 知识点03 平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理： （1）自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. （2）图形语言 （3）符号语言 . 注：性质定理的作用： ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 【即学即练】 1．设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或        ②若，则或 ③若且，则         ④且，则 其中所有真命题的编号是（  ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 2．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． 求证：；    题型01 求二面角 【典例1】如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 几何法求二面角： 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 【变式1】在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（  ） A． B． C． D．2 【变式2】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    【变式3】如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小． 【变式4】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 题型02 利用二面角大小求线段长度或距离 【典例1】如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（  ） A． B． C． D．2 常见二面角的求法： （1）定义法 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. （2）射影面积法 方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （3）补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助前述的定义法与三垂线法解题． 【变式1】如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（  ）      A． B． C．4 D．8 【变式2】将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（  ） A．1 B． C． D． 【变式3】如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（  ）    A．22 B．44 C． D． 【变式4】在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时， . 【变式5】如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 题型03 利用二面角大小求其他角 【典例1】已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（  ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图是由边长为2的正与正方形拼接成的平面图形，现将沿折起，当二面角为时，直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面，若，二面角的大小为，则与底面所成角的正弦值为___________．    【变式4】如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是平行四边形，且，，. (1)证明：平面平面； (2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线与平面所成的角. 题型04 面面垂直的判定与证明 【典例1】如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式1】（多选）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中正确的是（  ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【变式2】（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论正确的是（  ）    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【变式3】如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式4】如图1，已知正方形的中心为，边长为分别为的中点，从中截去小正方形，将梯形沿折起，使平面平面，得到图2．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 题型05 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直 【典例1】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    性质定理的作用： ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 【变式1】如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.      【变式2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【变式3】如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 题型06 平行关系与垂直关系的综合应用 【典例1】如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 平行关系与垂直关系的相互转化： 【变式1】设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【变式2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【变式3】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式4】如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 题型07 立体几何中的面面垂直探索性问题 【典例1】在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 面面垂直类问题： （1）动点在面上使面面垂直：在目标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为线面垂直问题） （2）动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条件约束） 【变式1】如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在三棱台中，平面平面，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【变式3】在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【变式4】在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．    (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； (3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 1．已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 2．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知四棱锥，平面平面，四边形是正方形，为中点，则（  ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D． 4．如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（  ）    A． B． C． D． 5．如图A，B，C，D为空间四点,在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时，CD=（  ） A． B．2 C． D．1 6．如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折．在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（  ）． A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 8．（多选）在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（  ） A．在棱上存在点，使平面 B．异面直线与所成的角为90° C．二面角的大小为45° D．平面 9.（多选）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论正确的是（  ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 10．在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为_______ 11．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 12．在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为 . 13．如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 14．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.8 平面与平面垂直 教学目标 1.通过对生活中实例的观察和猜想，理解二面角及其平面角的概念，会在一些比较特殊的问题情境下识别二面角的平面角，会求一些简单的二面角的大小 2.掌握平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的性质定理，并能运用定理解决一些简单问题． 3.在对性质定理的探索过程中，了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系． 4. 在求二面角的过程中，发展直观想象和数学运算素养，在证明面面垂直的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 二面角及其平面角的概念的理解；两个平面垂直的判定定理的掌握和应用；面面垂直性质定理的探索与应用． 2.难点 二面角的求解；面面垂直判定定理、性质定理的应用. 知识点01 二面角 1.二面角的定义： （1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2.二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3.二面角的平面角 （1）自然语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. （2）图形语言 （3）符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4.二面角大小的度量 （1）二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. （2）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 注：二面角与二面角的平面角间的区别与联系： 区别：二面角是空间角，而二面角的平面角是平面角． 联系：二面角的大小与二面角的平面角的大小是一致的，即二面角的平面角是多少度，则二面角就是多少度．因此求二面角的大小，只需求它的平面角的大小． 【即学即练】 1．已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（  ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】作出二面角的平面角，再利用平面几何知识计算即可. 【解析】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B.    2．如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【解析】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 知识点02 面面垂直的定义及判定定理 1.平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β. 2.两个平面互相垂直的画法： 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理： （1）自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. （2）图形语言 （3）符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 【即学即练】 1．下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案. 【解析】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确; 一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直， 由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确. 故选：C. 2．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面. 【解析】因为底面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 知识点03 平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理： （1）自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. （2）图形语言 （3）符号语言 . 注：性质定理的作用： ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 【即学即练】 1．设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或        ②若，则或 ③若且，则         ④且，则 其中所有真命题的编号是（  ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定定理可判断①，利用线面垂直的判定定理可判断②，利用线面平行的性质定理可判断③，利用面面垂直的性质定理可判断④. 【解析】对于①，由于，，所以或或且， 则有或或且，故①正确； 对于②，由于，只有一条线线垂直，不能确定或，故②错误； 对于③，由，则在内必存在直线，且 又由，则在内必存在直线，且，根据平行的传递性有， 由于，，则，又因为， 所以，又因为，所以，故③正确； 对于④， 由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 同理由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 因为，由图可知相交，且，所以有，故④正确； 故选：D. 2．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． 求证：；    【答案】证明见解析 【分析】根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； 【解析】因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 题型01 求二面角 【典例1】如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）在上取一点，使得，得到四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理即可证平面； （2）取的中点，的中点，由面面垂直得到⊥平面，⊥，⊥，设，由余弦定理和勾股定理逆定理得到⊥平面，即为二面角的平面角，解三角形即可求出. 【解析】（1）在上取一点，使得，连接， 因为，所以且， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接. 因为是正三角形，所以⊥ 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面. 因为平面，所以⊥. 设，则，， 又，由勾股定理得， ，故， 因为，所以，. 在三角形中，由余弦定理得 ， 故，故，则， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，， 由勾股定理得， 所以，即二面角的余弦值为. 几何法求二面角： 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 【变式1】在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设，若分别为的中点，连接，根据已知及线面垂直的判定、性质定理证明、，结合二面角的定义找到其平面角，进而求其正切值. 【解析】设，易知为等腰梯形，故， 所以，故， 若分别为的中点，连接，则，即， 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则， 综上，二面角的平面角为，且为直角三角形， 由，，所以. 故选：D. 【变式2】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    【答案】45° 【分析】由题意可证得CD⊥平面PAD，从而∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，求解即可. 【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD， 又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD， 因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD， 又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD， 于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角， 因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD， 又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°， 于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°． 故答案为：45°． 【变式3】如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据E，F分别是棱、的中点得到，从而可证直线平面； （2）利用线面角与二面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得所需线面角与二面角，从而得解. 【解析】（1） ∵E，F分别是棱、的中点，∴在中，， ∵平面，平面，∴直线平面； （2） ∵平面平面，平面平面， 平面，，∴平面， ∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为， ∴，∴，∵平面，，⊂平面， ∴，，∵，，，平面， ∴平面，∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为，∴， ∴，，设， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，，∴是二面角的平面角， ∴二面角的大小为． 【变式4】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证； （2）取的中点F，连接EF，CF，且CF交BD于点O，连接OE，即可得到是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【解析】（1）如图，取的中点，连接，， 因为M是EB的中点，所以MN是的中位线， 所以且， 又，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面ADE，平面ADE， 所以平面ADE.    （2）如图，取的中点F，连接EF，CF，且CF交BD于点O，连接OE， 由，，，得四边形CDFB是正方形，所以， 因为，所以， 因为平面平面ABE，平面平面，平面ABE， 所以平面，又平面ABCD， 所以，. 又因为，EF，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，易知，， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为. 题型02 利用二面角大小求线段长度或距离 【典例1】如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作点在平面的投影，作，得是二面角的平面角，然后根据垂直进行计算可得． 【解析】如图，作点在平面的投影，作，垂足为，连接， 平面，则，同理， 又，平面，， 所以平面，又平面，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 所以， 又是矩形，所以，， 从而，所以. 故选：A． 常见二面角的求法： （1）定义法 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. （2）射影面积法 方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （3）补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助前述的定义法与三垂线法解题． 【变式1】如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（  ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果. 【解析】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 【变式2】将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的几何定义可得为二面角的平面角，进而根据三角形的边角关系求解. 【解析】取中点，连接, 则有， 则为二面角的平面角， 即，则为等边三角形， 故, 过作， 由于，故, 因此， 故, 故选：B. 【变式3】如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（  ）    A．22 B．44 C． D． 【答案】C 【分析】根据二面角的定义得到，然后结合余弦定理得到，根据线面垂直的判定定理和性质得到，最后利用勾股定理求长度即可. 【解析】    如图，过点作，过点作交于点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为，，所以， 因为，，二面角为，所以， 在中，， 解得， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式4】在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时， . 【答案】 【分析】利用余弦定理表示所求，后再求最值即可. 【解析】作于点，连接， 设，则，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 因为为直二面角，所以面，所以， 则， 当最短时，，所以，即此时为的角平分线， 由角平分线定理可得，. 故答案为：. 【变式5】如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由勾股定理证明线线平行，从而证明线面平行. （2）根据空间中点线面的位置关系，做出二面角的平面角，设出边长，由勾股定理和三角函数值，求出等式方程，解出边长. 【解析】（1）因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，故， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，    因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又，所以平面． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，代入得， 又，而，所以，得， 故，解得，即． 题型03 利用二面角大小求其他角 【典例1】已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【解析】取的中点，连接， 因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则， 从而为二面角的平面角，即， 显然平面，于是平面， 又平面，因此平面平面， 因为平面平面，直线平面， 则直线在平面内的射影在直线上， 从而为直线与平面所成的角， 不妨设，则， 在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为. 故选：C. 【变式1】如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【解析】连接，，取中点，连接， 四边形为矩形，，， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式2】如图是由边长为2的正与正方形拼接成的平面图形，现将沿折起，当二面角为时，直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先构造二面角的平面角，并计算边长，并将异面直线所成角转化为相交直线所成角，利用余弦定理计算求值. 【解析】如图，取中点，中点，连接，，，.由，， 得为二面角的平面角，∴，且， 所以平面,，所以平面, 平面,所以, 因为，， 由余弦定理得， 所以. 因为，所以（或补角）为直线与所成的角. 在中，. 故选:C. 【变式3】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面，若，二面角的大小为，则与底面所成角的正弦值为___________．    【答案】 【分析】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； （2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到； （3）由二面角的定义知是二面角的平面角，由此可设再由面面垂直的判定定理可知平面，所以即为与底面所成角，求解即可. 【解析】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，又， 是二面角的平面角，所以， 设则，连接，， 因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，所以即为与底面所成角， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以在直角三角形中，. 所以与底面所成角的正弦值为.    故答案为： 【变式4】如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是平行四边形，且，，. (1)证明：平面平面； (2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得，借助三角形全等得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得； （2）取PA中点，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判断性质求出线面角的正弦即得答案. 【解析】（1）在中，由余弦定理，， 因，则，即， 由，，，得， 则，即， 又，平面，于是平面， 又平面，所以平面平面. （2）取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，， 即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则， 又，则，解得， 而，则，， 因，可得， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面， 则，而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为， 在中，，故，而为锐角，故. 即直线BD与平面所成的角为. 题型04 面面垂直的判定与证明 【典例1】如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【解析】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 【变式1】（多选）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中正确的是（  ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理对选项逐一判断可得答案. 【解析】对于A中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确； 对于B中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确； 对于C中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面， 所以C正确； 对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面， 平面，所以平面，因为为平面与平面的交线， 所以，又，所以，因为平面，平面， 所以，所以，又底面，所以，所以， 所以为平面与平面的二面角，若平面平面， 则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误. 故选：ABC. 【变式2】（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论正确的是（  ）    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】（1）由线面垂直的判定定理、面面垂直判定定理可判断选项 【解析】对于A选项，因为为圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面平面，B对； 对于C选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为过点作平面的垂线有且只有一条，故与平面不垂直， C错； 对于D选项，因为平面，平面，所以平面平面，D对. 故选：ABD 【变式3】如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取的中点，连接，证明∥，根据线面平行的判定即可证得∥平面PAD； （2）由平面，根据线面垂直的性质及判定得到 .结合及是的中点，得到，再根据，∥，可得到,，证得平面，从而平面平面PCD得证. 【解析】（1）取的中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥, 又平面，平面， 平面PAD. （2）∵平面，平面，∴ . ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴ . ∵，∴ . ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【变式4】如图1，已知正方形的中心为，边长为分别为的中点，从中截去小正方形，将梯形沿折起，使平面平面，得到图2．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理和判定定理可证； （2）先证平面，则为二面角的平面角，利用余弦定理求解. 【解析】（1）在图1中，连接，由于为正方形对角线， 所以，平面， 由于平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为为的中点，所以，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）在图2中，设，连接， 由于点分别为中点，为正方形的中心， 所以四边形为边长为2的正方形，则， 又平面，所以，， 平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面平面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，， 在中，，又， 在中，， 所以， 故二面角的平面角的正弦值为. 题型05 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直 【典例1】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质证明线面垂直，然后根据线面垂直的判定定理可得平面CDP． 【解析】因为侧面ADP为正三角形，且M是DP的中点，所以， 又底面ABCD为正方形，所以． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面ADP， 又平面ADP，所以， 因为，且CD，平面CDP， 所以平面CDP． 性质定理的作用： ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 【变式1】如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.    【答案】证明见解析. 【分析】根据已知有，结合面面垂直的性质有平面，进而有，取的中点M，连接，易得，最后由线面、面面垂直的判定证结论. 【解析】如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点， 所以，又平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 又平面， 所以， 取的中点M，连接， 则四边形是边长为2的菱形， 所以， 又， 所以， 因为且都在面内， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面.    【变式2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 【解析】因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 【变式3】如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）由及面面垂直的性质可得平面，，结合即可证明. 【解析】（1）因为四边形为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）若，则为等边三角形，如图， 因为为中点，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，平面， 所以平面. 又平面， 所以. 题型06 平行关系与垂直关系的综合应用 【典例1】如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合题给条件，证明线线平行，进一步得出线面平行； （2）根据已知几何体的性质，结合题给条件，证明线面垂直，进一步推出面面垂直； （3）根据已知几何体的性质，借助辅助线构造并证明与平面所成角的三角形为直角三角形，结合题给条件，求出相应边长，从而得到角的正切值. 【解析】（1）证明：连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 （2）证明： 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. （3）取的中点F，连接，，则. 已知三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴. 又因为，，平面，平面， ∴平面. 又因为，∴平面， ∴为直线与平面所成的角. ∵，∴，中，. 在中，. ∵平面，平面，∴. 在中，， ∴直线与平面所成角的正切值为. 平行关系与垂直关系的相互转化： 【变式1】设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行、垂直的判定定理可判断A、B；根据面面垂直的性质定理可判断C；根据面面平行的性质定理可判断D. 【解析】利用正方体确定线面之间的位置关系，如图所示， 对于A选项，设AD为m，BC为n，面为， 则满足，，，故A错误； 对于B选项，设AD为m，BC为n，AB为l，面为， 满足，，，，，故B错误； 对于C选项，面为，面为，AD为l, 满足，，，故C错误； 对于D选项，由面面平行性质定理： 两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行， 所以，，，可得. 故D正确. 故选：D. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； 【解析】（1）由题意， 连接，易知，， ∴点为的中点，∵为为的中点， 在中，，， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由题意证明如下， 取棱的中点，连接， 在等边三角形中，， ∵平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面,所以平面． 【变式3】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线定理可得，进而可证结论； （2）由面面垂直的判定定理可得平面底面，进而利用面面垂直的性质可得平面，进而可证结论. 【解析】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面， 所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【变式4】如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）证明出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出结论； （3）由二面角的定义可知为二面角的平面角，则，利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，分析出为的中点，即可得出的长. 【解析】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为，为的中点，所以， 因为，，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （3）因为，，所以为二面角的平面角，则， 由题意知，，， 在中，由余弦定理得， 所以，可得， 在直角中，， 又因为，，，所以，所以， 即，因为为的中点，所以． 题型07 立体几何中的面面垂直探索性问题 【典例1】在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点， 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【解析】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 面面垂直类问题： （1）动点在面上使面面垂直：在目标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为线面垂直问题） （2）动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条件约束） 【变式1】如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得关于的表达式，根据的取值范围求得的取值范围. 【解析】如图，在平面ADF内过点D作，垂足为，连接． 过点作，交于点． 设，，所以．    设，则． 因为平面平面ABC，平面平面， ，平面ABD，所以平面ABC， 又平面，所以． 又因为，，，平面DKH，所以平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，， 所以，． 因为，， 所以，得． 因为，所以，所以． 故选：C 【变式2】如图，在三棱台中，平面平面，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在， 【分析】（1）根据余弦定理求得，要证明线线垂直，则需证明线面垂直，即证明平面. （2）先证明平面， 然后确定直线与平面所成的角，进而确定其角的大小即可. （3）先确定为二面角的平面角，然后求其正切值，看是否存在. 【解析】（1）证明：在三棱台中，， 在等腰梯形中， ，则, 由余弦定理得， 则， 即， 而平面平面，平面平面 平面，则平面， 又平面，所以. （2）过作，垂足为， 因为，又平面， 所以平面， 平面，则 ， 又平面，则平面， 则为与平面所成的角， 则， 又平面平面，所以与平面所成的角为. （3）三棱台侧棱延长线交于点， 由（1）得为正三角形， 由平面平面，则平面平面， 取中点，连接，则，且， 而平面平面平面，则平面， 过作交于，则平面， 而平面，则， 过作于，连接，则为在平面内的射影， 又平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 若存在使得二面角的平面角正切值为 ，即 ， 设，则 因为，则， 即，解得， ， 所以 ，即 ，， 所以线段上存在满足题意的点，且. 【变式3】在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，利用线面平行的判定定理即可得证； 方法二：取的中点为，连接，利用面面平行的性质定理即可得证； （2）利用面面垂直的判定定理即可得证. 【解析】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【变式4】在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．    (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； (3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 【答案】(1)点G为棱上靠近点的三等分点，理由见解析； (2)； (3) 【分析】（1）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置； （2）利用几何方法找到截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值； （3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围． 【解析】（1）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． （2）在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面， 在平面内作于点M，则平面ABC， 又平面，所以， 在平面内作于点N，连接， 又平面，，所以平面， 平面，所以， 所以为截面与底面所成锐二面角的平面角． 在中，作于点H，，，，， ，， 由余弦定理，则， ，可得，所以， 又，所以， 故截面与底面所成锐二面角的正切值为. （3）设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． 1．已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【答案】B 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【解析】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B. 2．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【解析】充分性：若，因为，，，所以， 因为，所以，则充分性成立. 必要性：当时，与不一定垂直，则必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知四棱锥，平面平面，四边形是正方形，为中点，则（  ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D． 【答案】C 【分析】由线面平行的性质判断A错误；举反例判断B错误；先证明，再由线面垂直得到平面，进而得到平面平面，判断C正确；由已知条件判断D错误. 【解析】A：易知平面， 因为，且两条直线都在平面内， 所以不可能平行平面，故A错误； B：举反例，如图垂直平面时，由于，所以不垂直，故B错误； C：作于点， 因为平面平面，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，且都在平面内， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 故C正确； D：没有任何条件可以证明，故D错误； 故选：C. 4．如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案. 【解析】如图所示：为中点，连接，，则，， 平面平面，且平面，平面， 故为二面角的平面角，    在中，，， 在中，. 故选：A 5．如图A，B，C，D为空间四点,在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时，CD=（  ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】取AB的中点E，连接DE，CE，求出DE，CE，证明是直角三角形，则CD可求． 【解析】解： 取AB的中点E，连接DE，CE， 因为是等边三角形，所以DE⊥AB． 当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB ∩平面ABC=AB，平面ADB 所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE. 由已知可得，， AB=2，AC=BC= 所以，所以， ， 在中，CD= 故选：B. 6．如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折．在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作的垂线，垂足为，交于，交于，设在平面内的时影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，则为二面角的平面角，通过辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式可得所求正切值的最大值，进一步即可求解． 【解析】 在图1中，过作的垂线，垂足为，交于，交于. 在图2中，设在平面内的射影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角. 设．， 由，可得． 即有， 令，可得， 其中， 解得，则，等号成立当且仅当． 当二面角的平面角最大时，其正切值为，此时它的正弦值为． 故选：B． 7．（多选）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（  ）． A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 【答案】ABD 【分析】 由已知可证明平面，由线面垂直可推出面面垂直，判断选项；在选项的基础上可判断选项，D不一定垂直；对于选项可考察动态变化情况，知其不一定垂直.. 【解析】 因为，且是的中点，所以，同理，， 由于，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面，所以平面平面， 故正确； 由于平面平面，若平面平面，而平面平面， 则平面,但已知条件不能保证平面,所以平面与平面不一定垂直，故错误；同理平面与平面不一定垂直，故错误； 由于，所以当时平面，当长度趋于0时，二面角接近，故平面与平面不一定垂直，故错误； 故选：. 8．（多选）在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（  ） A．在棱上存在点，使平面 B．异面直线与所成的角为90° C．二面角的大小为45° D．平面 【答案】ABC 【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明. 【解析】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，， 又底面是菱形，，是等边三角形， 又为的中点， 又，，在平面内，且相交于点， 平面，故选项A正确； B选项：由选项A知，平面，又平面，， 即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确； C选项：∵平面， ， 平面，，， 又平面平面，是二面角的平面角， 设，则，， 在直角中，，即， 故二面角的大小为，故选项C正确； D选项：因为平面平面，， 所以平面，又平面，所以. 假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点， 所以平面，又平面，所以， 而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误. 故选：ABC. 9.（多选）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论正确的是（  ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】ABC 【分析】连接，，根据线面平行的判定定理判断A，利用三角形的中位线和平行关系判断B，根据线面垂直的判断定理和性质定理判断C，根据面面垂直的性质定理判断D. 【解析】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以， 又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且， 所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，平面，所以 平面，A正确； 由和为中点可知， 假设平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：ABC. 10．在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为_______ 【答案】 【分析】连接BM，由面面垂直的判定证明平面平面，再利用面面垂直的性质即可推理计算作答. 【解析】在正方体中，平面，而平面，则平面平面， 在平面内过点B作于E，连接BM，如图， 因平面平面，于是得平面，则BE长即为点B到平面的距离， 点M为棱的中点，在中，， ，即，解得， 所以点B到平面的距离为. 故答案为： 11．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果. 【解析】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影，                                                                        设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为. 故答案为： 12．在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为 . 【答案】 【分析】先由球的表面积求得其半径，再利用球的截面性质求得的外接圆的半径，从而求得的取值范围，进而求得二面角正切值的取值范围，由此得解. 【解析】依题意，设的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为， 则，则（负值舍去）， 因为平面，，所以，即，则（负值舍去）， 因为，所以为的外接圆的直径，即， 过作交于，连接，如图，    设，则由，得， 故，得，当且仅当时，等号成立， 故由三角形面积相等得， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 则，即二面角正切值的最小值为. 故答案为：. 13．如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，从而得，再由是正三角形，且是的中点，可得，最后由线面垂直的判断定理即可得证. （2）由二面角的定义，找出二面角的平面角，在直角三角形中求解即可. （3）当时，按面面垂直的判断定理进行证明即可. 【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，， 则平面， 又因为平面，所以， 因为是正三角形，且是的中点， 则， 又因为，平面， 所以平面； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．    因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面． 所以平面． 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角． 设，则，， 故， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）解：存在点Q，当时，平面平面． 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接，    因为是正三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为， 所以， 所以平面． 因为平面，所以． 因为底面是正方形，所以． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上存在点，当时，平面平面． 14．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）若平面，则，由，得，所以与平面不垂直． （2）取、的中点、，由，，得为直角梯形的中位线，故，又，所以平面，由此能够证明平面平面． （3）由二面角的定义知为二面角的平面角，作于，连，由三垂线定理得，故为二面角的平面角，由此能求出二面角的大小． 【解析】（1） 若平面， 则， 由已知， 得， 这与矛盾，所以与平面不垂直． （2） 取、的中点、，连接、、， 由，，得， ， 为直角梯形的中位线， ，又， 平面， 由平面，得，又且梯形两腰、必交， 平面, 又平面， 平面平面, （3） 由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角, 作于，连， 由于平面,平面,故, ,平面,故平面 平面,所以 故为二面角的平面角, 即， 由已知，得， 又． ， ． ， 故二面角的大小为．    2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $