专题13.3 平面的基本性质（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

专题13.3 平面的基本性质 教学目标 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及其表示法． 2.了解平面的基本性质：基本事实1, 2, 3及3个推论，并能运用它们解决一些简单的问题． 3.经历探索平面基本性质的过程，发展直观想象素养． 4.通过运用基本事实及推论解决相关问题，发展逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 平面的概念及其表示；三种语言相互之间的转化；平面的基本性质及其简单应用．． 2.难点 平面的基本性质及其简单应用. 知识点01 平面的基本性质 1．平面 (1)平面的概念： 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法： ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法： 平面一般用希腊字母α,β,γ,…表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“∈”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“⊂”“⊄”表示. 常见位置关系的符号表示如下表所示： 数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达 A∈l 点A在直线l上 A∉l 点A在直线l外 A∈α 点A在平面α内 A∉α 点A在平面α外 l⊂α 直线l在平面α内 l⊄α 直线l在平面α外 l∩m＝A 直线l, m相交于点A α∩β＝l 平面α， β相交于直线l 【即学即练】 1．若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可. 【解析】因为直线和平面都是由点形成的， 所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为， 根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为. 故选：B 2．用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析 【分析】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【解析】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    知识点02 三个基本事实及其推论 1.三个基本事实及其表示： 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且P ∈β⇒α∩β=l,且P∈l. 2.基本事实1和2的三个推论： 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 【即学即练】 1．下列命题中真命题的为（  ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【答案】C 【分析】由平面的确定定理判断即可. 【解析】对于A，三点共线时不能确定一个平面，故A错误; 对于B，当两直线是异面直线时，不能确定一个平面，故B错误； 对于C，过两点平面可以转动，所以可以作无数个，故C正确； 对于D，当点在直线上时，此时平面有无数个，故D错误； 故选：C. 2．已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【解析】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 3.若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间中直线与平面、点与平面的位置关系即可判断； （2）证明三点分别在平面与平面的交线上即可. 【解析】（1）∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面； （2）∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， 所以三点共线 题型01 平面的概念及其表示 【典例1】如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可． 【解析】A点在直线上，而直线在平面内，点B在内， 表示为：，，． 故选：B. 【变式1】已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【解析】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C. 【变式2】若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间点线面位置关系的符号语言判断即可. 【解析】点与直线的位置关于用表示 直线在平面内或不在平面内用表示 由题意可知 故选:B. 【变式3】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【答案】(1) ； (2) ； (3)平面； (4)平面 【分析】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【解析】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 题型02 空间位置关系的画法 【典例1】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点A在平面外，但点B在平面内； (2)直线既在平面内，又在平面内． 【答案】(1)图形见解析； (2)图形见解析 【分析】按照要求，画出图形即可. 【解析】（1） （2） 【变式1】下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【解析】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 【变式2】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析； (2)详情见解析； (3)详情见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形. 【解析】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 【变式3】用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【分析】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【解析】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    题型03 平面的基本性质及推论 【典例1】（多选）已知为平面，为点，为直线，下列推理中正确的是（  ） A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确； 对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确； 对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确. 故选：ABD 三个基本事实的作用： 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 【变式1】下列说法正确的是（  ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 【答案】C 【分析】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可. 【解析】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误， 四边形存在空间四边形，故选项B错误， 三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确， 当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误. 故选：C. 【变式2】下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可. 【解析】由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错； 平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对. 故选：D. 【变式3】（多选）下列说法正确的是（  ） A.一条直线上有一个点在平面内，则这条直线上所有的点在这平面内； B.一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内； C.若线段，则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内； D.一条射线上有两点在一个平面内，则这条射线上所有的点都在这个平面内． 【答案】BCD 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【解析】若一条直线上有一个点在平面内，则这条直线在平面内或直线与平面相交，故A不正确； 一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，故B正确； 若线段，则，所以直线，则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内，故C正确； 一条射线上有两点在一个平面内，则这条射线在平面上，故射线上所有的点都在这个平面内，故D正确. 故选：BCD. 【变式4】（多选）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（  ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】CD 【分析】根据平面的基本性质判断. 【解析】因为， 所以点A在与的交线上，点B在与的交线上，点C在与的交线上，点D在与的交线上， 故选：CD 【变式5】设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M （用符号表示）． 【答案】 【分析】利用平面的基本性质即得. 【解析】因为，直线，直线， 所以，又平面与平面相交于直线， 所以点在直线上，即. 故答案为：. 题型04 空间中的点共线问题 【典例1】如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（  ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【解析】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 证明点共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. 【变式1】在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（  ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【解析】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 【变式2】如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【解析】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 【变式3】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【解析】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 题型05 空间中的点（线）共面问题 【典例1】如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】通过证明即可证明，，，四点共面. 【解析】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 证明点（线）共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. 【变式1】空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】在正方体中，举例即可. 【解析】如图，在正方体中， 三条直线两两相交，但不共面； ，都在平面中，但不相交. 所以空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的既非充分也非必要条件. 故选：D. 【变式2】在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（  ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】C 【分析】由长方体性质易知，，，四点共面且，是异面直线，再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上，同理判断、，即可判断各选项的正误. 【解析】因为，则，，，四点共面. 因为，则平面，又平面， 则点在平面与平面的交线上， 同理，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面. 由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面. 故选：C. 【变式3】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； 【解析】 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. 【变式4】如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点, 求证：E，F，C1，四点共面； 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图， 连接EF， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴.. 又在三棱柱中，， ∴. 则E，F，，四点共面. 题型06 空间中的线共点问题 【典例1】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点. 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【解析】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【变式1】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（  ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【解析】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B. 【变式2】（多选）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论正确的是（  ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【答案】ACD 【分析】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确. 【解析】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 故选：ACD. 【变式3】（多选）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（  ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】AD 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D. 【解析】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误； ，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确. 故选：AD. 【变式4】如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点， 求证：A1E，F，B交于一点. 【答案】证明见解析 【解析】如图， 连接EF， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴.. 又在三棱柱中，， ∴. 则E，F，，四点共面. 且E，F，，四点共面， 则与必相交. 设. ∵平面，∴P∈平面. ∵⊂平面，∴P∈平面.. 又平面∩平面∴. 则，，交于一点. 题型07 由平面的基本性质作截面图形 【典例1】已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（  ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【解析】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B. 作截面的具体步骤： （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 【变式1】已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，在上取一点，使得，连接，则四边形为平行四边形，即平行四边形为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出，即可求解. 【解析】 如图，在上取一点，使得，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以与相交于且为的中点， 又在上，所以与相交于，且O平分，， 所以四点四点共面且四边形为平行四边形， 所以过三点的截面是平行四边形， ， ， ， 故截面面积为. 故选：A. 【变式2】如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，过，，三点的截面图形的面积为___________-    【答案】. 【分析】画直线，借助平面基本事实确定截面多边形顶点位置即可;利用割补法求出截面面积作答. 【解析】在正方体中，画直线与的延长线分别交于点， 连接，分别与棱交于点，连接，如图1， 抹去和得过三点的正方体的截面五边形，如图2.      在正方体中，，，分别为棱，的中点， ，即，，则， ，等腰底边上的高， 的面积， 由，得，即有，因此， 于是，同理， 所以截面五边形的面积. 故答案为： 【变式3】如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为______________- 【答案】 【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面周长. 【解析】延长，与直线相交于， 连接与分别交于点，连接， 则五边形即为截面， 正方体的棱长为2，点分别是的中点， 所以， 由得， ，， 所以分别为靠近的三等分点，故， 所以由勾股定理得， ， ， 所以的周长为. 故答案为： 【变式4】如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面.（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析；(2)图形见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【解析】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 题型08 与平面基本性质有关的计算 【典例1】在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，做出截面，然后分别计算各边长即可得到结果. 【解析】 连接，过点做交于点，连接，即可得到截面， 因为为中点，，所以， 因为，则，且， ， 所以截面的周长为 故选:D 作截面的几种方法： （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 【变式1】已知为长方体，在空间内到平面、平面、平面、平面距离相等的点的个数为（　　） A．1 B．4 C．5 D．无穷多 【答案】C 【分析】将问题转化为到四面体的四个面距离相等的点有几个，然后根据内切球和旁切球的球心个数来解答. 【解析】在空间内到平面、平面、平面、平面距离相等的点， 根据平面的基本性质画出面与正方体中的交点， 如下图，问题化为确定到四面体的四个面距离相等的点的个数， 满足条件的点是内切球的球心和旁切球的球心， 内切球的球心1个；旁切球的球心4个，共5个． 故选：C． 【变式2】在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出截面，再根据几何关系求边长，即可求解周长. 【解析】如图1，延长与交于点，连结，与交于点， 连结，则四边形为所求截面， 其中，，    如图2，，所以，即，    如图1，若，则，所以， 即点是的中点， 所以， 中，， 所以， 所以四边形的周长为. 故选：B 【变式3】在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于，利用平面的基本性质可得直线即为直线，然后利用正方体的性质可得，即得. 【解析】延长交的延长线于，连接交于， ∵平面，平面，平面平面， ∴，故直线即为直线， 取的中点，连接，又点，分别是棱，的中点， ∴， ∴，， ∴，即. 故选：B. 【变式4】（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【答案】AD 【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离． 【解析】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积为，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时， 故D正确. 故选：AD 【变式5】如图，在长方体中，，截面． (1)求证：B、P、三点共线； (2)若，，，求DP的长． 【答案】(1)见解析；(2). 【分析】（1）证明出点在平面与平面的交线上即可； （2）由（1）推理出点为与交点，利用三角形重心的特点即可得到答案. 【解析】（1）平面， 所以平面，又平面, 平面平面，所以, 即三点共线. （2）连接，再连接，交于点，由（1）及， 则点为与交点， ，四边形为平行四边形， 是中点，又是的中点, 所以点是的重心,所以, 又因为,所以, 所以. 1．能确定一个平面的条件是（  ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 【答案】C 【分析】根据基本事实及其推论进行判断即可. 【解析】对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确； 对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确； 对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确； 对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确 故选：C． 2．如图所示，用符号语言可表述为（  ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】利用图形，表示为点，线，面的符号语言. 【解析】由图形可知，，，或表示为，. 即A正确. 故选：A 3．检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（  ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 【解析】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D. 4．以下四个命题中，正确命题是（  ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】A 【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【解析】A选项，反证法：如果四个点中，有个点共线，第个点不在这条直线上， 根据基本事实的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，所以A选项正确. B选项，如下图，共面，共面，但不共面，所以B选项错误. C选项，如下图，共面，共面，但异面，所以C选项错误. D选项，如下图，四条线段首尾相接，但不共面，所以D选项错误. 故选：A 5．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【解析】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D. 6．在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长． 【解析】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 7．（多选）以下四个命题中，正确的命题是（  ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面 C．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R，则P，Q，R三点共线 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【分析】利用反证法证明选项A判断正确；举特例否定选项B；利用基本事实证明选项C判断正确；举特例否定选项D. 【解析】对于A，用反证法证明：假设四个点中，有三个点共线， 第四个点不在这条直线上，则根据基本事实的推论：一条直线和直线外一点 确定一个平面，可知这四个点共面，与已知矛盾，故A正确； 对于B，如图，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面， 但A，B，C，D，E不共面，故B错误；    对于C，因为，平面ABC，所以P在平面与平面ABC的交线上， 同理，Q，R也在两平面的交线上，故P，Q，R三点共线，故C正确； 对于D，如图，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误.    故选：AC. 8．（多选）下列关于直线，点，与平面的关系推理正确的是（  ） A．，，， B．，，， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】对于选项A，可推出，所以选项A正确； 对于选项B，，两点必定在与交线上，所以可得到，所以选项B正确； 对于选项C，点可以在直线与平面的交点处，即，所以选项C错误； 对于选项D，必定在平面内，所以可得到，所以选项D正确； 【解析】解：由题意可知， 对于选项A，，两点均在直线上，且，两点均在平面内，则可推出，所以选项A正确； 对于选项B，，两点既在内，又在内，则必定在与交线上，所以可得到，所以选项B正确； 对于选项C，点在直线上，但是直线不在平面内，则点可以在直线与平面的交点处，即，所以选项C错误； 对于选项D，点在直线上，直线在平面内，则必定在平面内，所以可得到，所以选项D正确； 故选：ABD． 9.（多选）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论正确的是（  ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】ABD 【分析】 由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误. 【解析】 因为 , 则四点共面. 因为 , 则 平面 , 又 平面 , 则点 在平面 与平面的交线上, 同理, 也在平面 与平面 的交线上, 所以三点共线; 从而 四点共面,都在平面 内， 而点B不在平面 内， 所以四点不共面，故选项B正确； 三点均在平面内， 而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点， 所以点M不在平面内， 即 四点不共面， 故选项C错误； ，且， 所以为平行四边形， 所以共面， 所以四点共面， 故选项D正确. 故选: ABD. 10．直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 【答案】BD 【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置. 【解析】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为： 11．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可. 【解析】因为， 所以直线，直线， 因为直线，直线， 所以平面，平面， 又平面， 所以. 故答案为： 12．在棱长为的正方体中，M是棱的中点，过，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为_________ 【答案】 【分析】首先作出截面，再求截面面积. 【解析】如图，取的中点，连接，，四边形即过，B，M三点的截面，此截面为等腰梯形，上底，下底，腰，所以梯形的高 所以梯形的面积 故答案为： 13．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【解析】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 14．在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②答案见解析 【分析】（1）根据平面的基本事实3即可得证； （2）①先分别延长交于点R，连接，然后利用，得出，再利用，可以得出与的交点为的三等分点，即为点Q，从而得证. ②利用平行直线共平面即可作出截面图. 【解析】（1）证明：如图，连接， 面，且面是面与面的公共点， 面， 面面， 是面与面的公共点， 面面， 又面面， 是面与面的公共点， ，即三点共线．    （2）①证明：如图，分别延长交于点R，连接， 直线面， ， 又， 与的交点为的三等分点，即点Q， 三线共点．      ②解：如图，六边形即为所求作的截面． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 平面的基本性质 教学目标 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及其表示法． 2.了解平面的基本性质：基本事实1, 2, 3及3个推论，并能运用它们解决一些简单的问题． 3.经历探索平面基本性质的过程，发展直观想象素养． 4.通过运用基本事实及推论解决相关问题，发展逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 平面的概念及其表示；三种语言相互之间的转化；平面的基本性质及其简单应用．． 2.难点 平面的基本性质及其简单应用. 知识点01 平面的基本性质 1．平面 (1)平面的概念： 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法： ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法： 平面一般用希腊字母α,β,γ,…表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“∈”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“⊂”“⊄”表示. 常见位置关系的符号表示如下表所示： 数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达 A∈l 点A在直线l上 A∉l 点A在直线l外 A∈α 点A在平面α内 A∉α 点A在平面α外 l⊂α 直线l在平面α内 l⊄α 直线l在平面α外 l∩m＝A 直线l, m相交于点A α∩β＝l 平面α， β相交于直线l 【即学即练】 1．若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 知识点02 三个基本事实及其推论 1.三个基本事实及其表示： 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且P ∈β⇒α∩β=l,且P∈l. 2.基本事实1和2的三个推论： 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 【即学即练】 1．下列命题中真命题的为（  ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 2．已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 3.若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 题型01 平面的概念及其表示 【典例1】如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（  ） A． B． C． D． 【变式3】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 题型02 空间位置关系的画法 【典例1】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点A在平面外，但点B在平面内； (2)直线既在平面内，又在平面内． 【变式1】下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【变式2】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【变式3】用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 题型03 平面的基本性质及推论 【典例1】（多选）已知为平面，为点，为直线，下列推理中正确的是（  ） A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 三个基本事实的作用： 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 【变式1】下列说法正确的是（  ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 【变式2】下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【变式3】（多选）下列说法正确的是（  ） A.一条直线上有一个点在平面内，则这条直线上所有的点在这平面内； B.一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内； C.若线段，则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内； D.一条射线上有两点在一个平面内，则这条射线上所有的点都在这个平面内． 【变式4】（多选）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（  ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式5】设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M （用符号表示）． 题型04 空间中的点共线问题 【典例1】如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（  ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 证明点共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. 【变式1】在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（  ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【变式2】如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【变式3】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 题型05 空间中的点（线）共面问题 【典例1】如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 证明点（线）共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. 【变式1】空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式2】在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（  ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【变式3】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证：、、、四点共面 【变式4】如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点, 求证：E，F，C1，四点共面； 题型06 空间中的线共点问题 【典例1】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点. 证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【变式1】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（  ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【变式2】（多选）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论正确的是（  ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【变式3】（多选）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（  ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【变式4】如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点， 求证：A1E，F，B交于一点. 题型07 由平面的基本性质作截面图形 【典例1】已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（  ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 作截面的具体步骤： （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 【变式1】已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，过，，三点的截面图形的面积为___________-    【变式3】如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为______________- 【变式4】如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面.（写出作图过程并保留作图痕迹） 题型08 与平面基本性质有关的计算 【典例1】在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（  ） A． B． C． D． 作截面的几种方法： （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 【变式1】已知为长方体，在空间内到平面、平面、平面、平面距离相等的点的个数为（　　） A．1 B．4 C．5 D．无穷多 【变式2】在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（  ）    A． B． C． D． 【变式3】在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（  ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【变式5】如图，在长方体中，，截面． (1)求证：B、P、三点共线； (2)若，，，求DP的长． 1．能确定一个平面的条件是（  ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 2．如图所示，用符号语言可表述为（  ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 3．检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（  ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 4．以下四个命题中，正确命题是（  ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 5．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 6．在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）以下四个命题中，正确的命题是（  ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面 C．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R，则P，Q，R三点共线 D．依次首尾相接的四条线段必共面 8．（多选）下列关于直线，点，与平面的关系推理正确的是（  ） A．，，， B．，，， C．， D．， 9.（多选）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论正确的是（  ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 10．直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 11．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ． 12．在棱长为的正方体中，M是棱的中点，过，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为_________ 13．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 14．在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $