专题03 空间线面、面面平行的核心考点12种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 以12种常考题型系统构建空间线面、面面平行的解题方法体系，通过典例深化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行判定|题型1-2（15题）|构造中位线/平行四边形、线段成比例|从基础几何元素关系到比例转化，夯实判定定理应用| |线面平行性质|题型3-6（17题）|判定与性质融合、比例判断、长度计算|性质定理逆向应用，连接证明与计算，培养逻辑推理| |线面平行综合|题型7（8题）|探索性问题|结合存在性分析，提升空间想象与创新意识| |面面平行判定|题型8（7题）|面面平行判定定理|从线面平行到面面平行，构建层级关系| |面面平行性质|题型9-10（9题）|面面平行证线面平行、性质应用|性质定理正向迁移，强化转化思想| |面面平行综合|题型11（8题）|探索性问题|综合判定与性质，提升复杂问题解决能力| |翻折类问题|题型12（7题）|翻折后平行关系证明|动态几何中保持平行的本质，培养空间观念|

专题03 空间线面、面面平行的核心考点12种常考题型 题型一：构造中位线、平行四边形证线面平行 题型二：利用线段成比例证线面平行 题型三：利用线面平行的判定定理与性质定理的融合证明线线、线面平行 题型四：面面平行证线面平行 题型五：利用线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型六：利用线面平行求线段长度 题型七：立体几何中的线面平行探索性问题 题型八：平面与平面平行的判定与证明 题型九：面面平行证线面平行 题型十：面面平行性质定理证明的应用 题型十一：立体几何中的面面平行探索性问题 题型十二：立体几何中翻折类平行问题 题型一：构造中位线、平行四边形证线面平行 1．四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面. 2.如图，长方体中，，点P为的中点. 求证：直线平面； 3.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，求证：BC1平面MA1C． 4.在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 5.如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.       6.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 7.如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点证明：直线平面， 8.如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 题型二：利用线段成比例证线面平行 9．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 10.如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 11.如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 12.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，分别为棱的中点，为线段的中点.证明：平面.    13.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 14.如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)设平面与棱交于点，证明：． 15.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 题型三：利用线面平行的性质证明线线、线面平行 16．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：．   17.如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 18.在长方体中，点（不与，重合），．求证：平面． 19.如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 20.如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 21.如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； 题型四：面面平行证线面平行 22．如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 23.如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. 求证：平面； 24.如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    25.如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 26.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面. 27.由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    28．如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是弧上的一点，，分别为线段，的中点．证明：平面. 题型五：利用线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 29．在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，，若点E为棱上一点，且平面，求的值． 30.如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（  ） A． B． C． D． 31.如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 32.在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足满足___________时，平面？ 33.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 34.如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 35.如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 36.如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 题型六：利用线面平行求线段长度 37．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 38.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　） A．2 B． C． D．1 39.已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（  ） A． B． C． D． 40.在三棱锥中，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长为（  ） A．5 B．6 C．8 D．9   41.如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（  ） A． B． C． D． 42.如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，则EF的长为__________.    43.如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 44.三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______． 45.如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 题型七：立体几何中的线面平行探索性问题 46．如图，已知四棱柱的底面为菱形，在直线上是否存在点P，使∥平面？ 47.如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 48.如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 49.如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 50.如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 51.如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 题型八：平面与平面平行的判定与证明 52．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（  ） A．   B．   C．   D．   53.设、是平面内的两条不同直线，、是平面内的两条相交直线，则以下能够推出的是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 54.如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 55.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. (1)求证：平面； (2)若为中点，求证平面平面. 56.如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 57.如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 58.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 题型九：面面平行证线面平行 59．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面. 60.如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是弧上的一点，，分别为线段，的中点．证明：平面. 61.如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；    62.由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为. 求证：平面；    题型十：面面平行性质定理证明的应用 63．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（  ） A． B． C． D． 64.如图，在三棱柱中，过的平面（非平面）与平面交于DE，则DE与AB的位置关系是（  ） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 65.（多选）如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（  ） A． B．平面 C． D．平面平面 66.四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则___________    67.已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且，若是上的点，=_________时，能使平面平面. 68.体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为_________ 69.如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    70.如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型十一：立体几何中的面面平行探索性问题 71.在直三棱柱中，，为的中点，在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 72.如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 73.如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 74.如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 75.在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 76.如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 77.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 78.如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型十二：立体几何中翻折类平行问题 79.矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；     80.如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. 证明：平面； 81.在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面. 求证：平面. 82.如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. 证明：平面. 83.在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 84.如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2.证明：平面.    85.如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间线面、面面平行的核心考点12种常考题型 题型一：构造中位线、平行四边形证线面平行 题型二：利用线段成比例证线面平行 题型三：利用线面平行的判定定理与性质定理的融合证明线线、线面平行 题型四：面面平行证线面平行 题型五：利用线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型六：利用线面平行求线段长度 题型七：立体几何中的线面平行探索性问题 题型八：平面与平面平行的判定与证明 题型九：面面平行证线面平行 题型十：面面平行性质定理证明的应用 题型十一：立体几何中的面面平行探索性问题 题型十二：立体几何中翻折类平行问题 题型一：构造中位线、平行四边形证线面平行 1．四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【解析】连接，再连接， 由底面为平行四边形，可得为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 2.如图，长方体中，，点P为的中点. 求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】设，求证，再利用线面平行的判定定理判定即可； 【解析】设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. 3.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，求证：BC1平面MA1C． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理即可证明BC1平面MA1C． 【解析】连接AC1交A1C于点O，连接MO， ∵O为AC1中点，M为AB中点，∴MO为△AC1B的中位线，∴MOBC1， 又∵MO平面MCA1，BC1平面MA1C， ∴BC1平面MA1C． 4.在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【解析】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 5.如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】连接，ME，首先证明四边形是平行四边形，得到，则四边形MNDE是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可证明. 【解析】连接，ME， ∵M，E分别是，BC的中点， ∴，且， ∵N为的中点，∴. ，， 所以， ∴四边形是平行四边形， ∴，∴， ∴四边形MNDE是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面.    6.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理即可证得. 【解析】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 7.如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点证明：直线平面， 【答案】证明见解析； 【分析】连接，令，连接DE，要证直线平面，只要证，根据三角形的中位线容易证得； 【解析】（1）连接，令，连接DE，则E是、的中点， 在△中D是线段BC中点，E是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； 8.如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】构造辅助线，取的中点，通过证明，结合线面平行判定定理即可证得平面 【解析】取的中点为，连接，则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 题型二：利用线段成比例证线面平行 9．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接，交于点，证出，即可根据线面平行的判定定理证出平面． 【解析】连接，交于点，连接， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面． 10.如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. 【解析】连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 11.如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【答案】证明见解析 【分析】根据重心性质以及线段比可知是的重心，再利用线段比例关系以及线面平行判定定理可得结论. 【解析】连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面 12.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，分别为棱的中点，为线段的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】利用平行线段成比例及线面平行的判定定理证明即可. 【解析】在三棱柱中，连接，交于点，连接，如图，    四边形为平行四边形，有，而为的中点，则， 由，得，又分别为的中点，则有， 因此，则，而平面，平面， 所以平面. 13.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【解析】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 14.如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)设平面与棱交于点，证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）连接，交于点，连接，通过证明与相似得即可； （2）先证明平面，再通过线面平行的性质得，得即可. 【解析】（1）连接，交于点，连接 因为，且， 则， 又， 则， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 则有，即． 15.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【解析】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 题型三：利用线面平行的性质证明线线、线面平行 16．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接，先利用三角形中位线性质和线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证. 【解析】连接交于点，连接， 因为ABCD是平行四边形，所以为中点， 又M是PC的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以.   17.如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先利用线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证. 【解析】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 18.在长方体中，点（不与，重合），．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，，则，由线面平行的判定可得平面,再由线面平行的性质得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论. 【解析】证明：如图所示，连接，． 因为多面体是长方体， 所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为平面过与平面交于，所以． 因为平面，平面， 所以平面． 19.如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）由（1）知，直线平面，由线面平行的性质定理证得，再由线面平行的判定定理即可知证明直线平面； 【解析】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 20.如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】作出辅助线，由中位线得到，得到线面平行，由线面平行的性质得到线线平行，从而平面． 【解析】如图所示，连接交于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． 又是的中点，∴． 而平面，平面， ∴平面． 又平面，平面平面， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 21.如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； 【答案】(1),证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. 【解析】（1）.证明如下： 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面.    题型四：面面平行证线面平行 22．如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】将放入一个与平面平行的平面，通过证明“面面平行”来证得“线面平行”． 【解析】如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 23.如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. 求证：平面； 【答案】证明见解析. 【分析】由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； 【解析】∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； 24.如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【答案】证明见解析 【分析】先通过选取辅助点,在上取一点,由线段平行证明线面平行，然后得到面面平行，利用面面平行的性质，即可得到∥平面. 【解析】证明：如图，    在上取一点，使得，连接， 因为是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点， 所以，所以∥，∥， 因为∥，故∥． 因为平面平面， 所以∥平面∥平面， 因为平面，所以平面∥平面． 因为平面，所以∥平面． 25.如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】设是的中点，连接，通过证明平面平面，可得线面平行关系. 【解析】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 26.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意可证平面，平面，可得平面平面，结合面面平行的性质分析证明即可得. 【解析】如图，取的中点，连接， 因为都是所在棱的中点，则，， 所以，且平面，平面，所以平面． 因为分别是和的中点，则，， 可得，，可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面． 27.由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可证得平面平面，再由线面平行的判定定理即可证得. 【解析】连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    28．如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是弧上的一点，，分别为线段，的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而即可得证平面. 【解析】取的中点，连接，． 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 又平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面． 题型五：利用线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 29．在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，，若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】． 【分析】根据线面平行的性质可得，即可由相似求解. 【解答】因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 30.如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由线面平行的性质得，即有，结合已知得，即可得. 【解析】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A. 31.如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 【答案】 【解析】连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC， 则平面NAC即为平面α.因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB，所以＝＝.又SB∥DN，所以＝＝，所以＝. 故答案为： 32.在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足满足___________时，平面？ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定，结合棱柱的几何特征求解. 【解析】 如图，当时，平面，理由如下： 在长方体中，由，得， 由，得四边形是平行四边形， 则，即，而平面，平面， 因此平面，所以当时，平面. 故答案为：（答案不唯一） 33.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 【答案】答案表述不唯一) 【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论. 【解析】连接交于O，连接OE， 平面平面，平面平面 ， . 又 底面为平行四边形，为对角线与的交点， 故为的中点, 为的中点， 故当满足条件: 时，面. 故答案为: 答案表述不唯一) 34.如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【解析】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 故答案为：在中点与中点连线上 35.如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【解析】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 36.如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【解析】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 题型六：利用线面平行求线段长度 37．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【解析】连接，，则过点，如图所示： ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 38.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，找到包含的平面与平面的交线，即可计算的值. 【解析】连结，交于点，连结和，， 因为平面，又平面，且平面平面， 所以，又点是的中点，所以是的中点， 所以 故选：D 39.已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作交于，利用线面平行的性质可得 ，进而可得四边形为平行四边形，，即得. 【解析】过作交于，连接， 因为，∴，故共面, 因为平面，平面平面，平面， 所以，又, ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， 所以. 故选：B． 40.在三棱锥中，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长为（  ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】作且，证得平面和平面，得到截面为平行四边形，结合题意，即可求解. 【解析】如图所示，在三棱锥中，过作分别作， 再分别过点作，可得四点共面， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面，所以截面即为平行四边形， 又由为线段上更靠近的三等分点，且， 所以， 所以平行四边形的周长为：. 故选：B.    41.如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【解析】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，， ，，，分别为所在棱的中点，则，， ，又平面，平面， 平面. ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 又， 平面平面. 是侧面内一点，且平面， 点必在线段上. 在中，. 同理，在中，可得， 为等腰三角形. 当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长. ，. 线段长度的取值范围是. 故选：C. 42.如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，则EF的长为__________.    【答案】 【分析】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解. 【解析】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，， 如图所示，连接与交于点，连接， 在棱上取，连接，，则，且， 因为平面PBD，且平面，平面平面， 所以，所以， 又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以， 在直角中，，，所以， 所以.    故答案为： 43.如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9 【分析】利用线面平行的性质定理即可求解 【解析】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 故答案为： 9 44.三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______． 【答案】 【分析】利用线面平行的性质定理即可求解 【解析】延长CM交AB于点I，因为平面ABD， 由线面平行性质定理可知，设， 因为三棱锥的所有棱长均为2， 所以，且E为线段BC的中点， 所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知， 所以， 因为F为线段AD的中点，所以， 由余弦定理可知， 所以， 令，，化简可得， 因为，所以， 则在时取得最小值， 所以， 综上当，即时MN取得最小值． 故答案为：． 45.如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析；(2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【解析】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 题型七：立体几何中的线面平行探索性问题 46．如图，已知四棱柱的底面为菱形，在直线上是否存在点P，使∥平面？ 【答案】存在 【分析】延长线段构造平行四边形，再通过线面平行的判定定理即可证明. 【解析】在直线上存在这样的点P，使∥平面． ∥∥且，∴四边形为平行四边形， ∥．在的延长线上取点P，使，连接， ∥且，∥且， ∴四边形是平行四边形，∥， ∥，平面，平面， ∥平面． 47.如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【解析】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 48.如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【解析】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 49.如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析；(2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【解析】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 50.如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在侧棱上满足．(2)存在，． 【分析】（1）直线在平面内运动，将平面转化成平面内的限制条件，就可以限制点的位置． （2）构造平面平面，利用面面平行的判定定理可说明点的位置. 【解析】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点．    若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结．    由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 51.如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在， 【分析】（1）由为中位线知，即可证明线面平行. （2）证明平面SDC，再利用线面平行的性质证明. （3）建立空间直角坐标系，设从而写出E点的坐标，求出平面PAC的法向量，若平面PAC则，列方程求出即可. 【解析】（1）连接BD交AC于点O，连接OP， 因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，又P为QD的中点， 所以，因为平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. （2）因为CD，平面SCD，平面SCD，所以平面SDC， 又因为平面SAB，平面平面， 所以. （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 题型八：平面与平面平行的判定与证明 52．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【解析】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 53.设、是平面内的两条不同直线，、是平面内的两条相交直线，则以下能够推出的是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可得出结论. 【解析】A中，当且时，、可相交（如、同时平行于、的交线）； B中，当且时，，，又、是平面内的两条相交直线，所以； C中，当且时，、可相交（如、同时平行于、的交线）； D中，当且时，、可相交（如、同时平行于、的交线）. 故选：B. 54.如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 【答案】证明见解析 【分析】由，所以平面，由四边形为平行四边形，所以，可得平面，进而可得结果. 【解析】证明  ：因为，分别为，的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 又由已知得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以．而平面，平面， 所以平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 55.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. (1)求证：平面； (2)若为中点，求证平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，中点且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，证得平面， 由（1）可得平面，结合面面平行的判定定理，即可得证. 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 因为底面是正方形，底面，且分别是的中点， 所以，且，， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）解：因为为的中点，连接，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 由（1）可得平面，且平面， 所以平面平面. 56.如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． 【解析】（1）在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 （2）在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 57.如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形证明，即可证明四点共面； （2）由梯形可知，再根据两平面的交线，证明过点即可； （3）根据平面平行的判定定理证明即可. 【解析】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. （3）因为ABCD是矩形，所以. 又不在平面DAF内，所以平面DAF. 同理可证平面DAF. 因为平面GBH， 所以平面平面DAF. 58.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【解析】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 题型九：面面平行证线面平行 59．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意可证平面，平面，可得平面平面，结合面面平行的性质分析证明即可得. 【解析】如图，取的中点，连接， 因为都是所在棱的中点，则，， 所以，且平面，平面，所以平面． 因为分别是和的中点，则，， 可得，，可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面． 60.如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是弧上的一点，，分别为线段，的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而即可得证平面. 【解析】取的中点，连接，． 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 又平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面． 61.如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；    【答案】证明见解析 【分析】连接，利用三棱柱性质和面面平行的判定定理可证明平面平面，由面面平行的性质可得平面； 【解析】证明：连接，如下图所示：    因为，且，分别是棱的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面， 所以平面. 62.由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为. 求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可证得平面平面，再由线面平行的判定定理即可证得. 【解析】连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    题型十：面面平行性质定理证明的应用 63．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面平行的性质定理可得，即可得，即可得解. 【解析】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 64.如图，在三棱柱中，过的平面（非平面）与平面交于DE，则DE与AB的位置关系是（  ） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质推理判断. 【解析】在三棱柱中，平面平面，而平面平面， 平面平面，则，在平行四边形中，， 所以. 故选：B 65.（多选）如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（  ） A． B．平面 C． D．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据面面平行的性质，结合三角形中位线、线面平行的判定定理即可逐项判断. 【解析】由三棱柱性质可知平面平面，又平面平面，平面平面， 由面面平行的性质可知； 又点，分别是，的中点，可知，即可得，所以A正确； 由，平面，平面，所以平面，即B正确； 又经过的重心，所以，且，， 所以，可知C正确； 因为四点共面，且易知与相交，所以平面与平面相交，因此D错误； 故选：ABC 66.四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则___________    【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【解析】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面，则， 所以. 故答案为：   67.已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且，若是上的点，=_________时，能使平面平面. 【答案】 【分析】（连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； 根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明. 【解析】连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. 当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 故答案为： 68.体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为_________ 【答案】 【分析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【解析】依题意得，N是的中点，， 则， 延长直线MN于P，延长交直线MN于Q， 连接AP交于E，连接AQ交于F， 作出截面AFNME如下图所示， 则中， ， 故的面积 =， 四边形MNFE的面积 ， 故所求截面面积为. 故答案为： 69.如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【答案】证明见解析 【分析】连接，即可证明平面，从而得到平面平面，由面面平行的性质即可得证. 【解析】连接，如图，    ∵、分别是、中点， ∴为中位线，. 平面，平面，∴平面. 又∵平面，，，平面， ∴平面平面. 又∵平面平面，平面平面，∴. 70.如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； （2）由题设，再由线面平行的判定和性质即可证明结论. 【解析】（1）∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD，又平面PBC，平面平面， ∴. 题型十一：立体几何中的面面平行探索性问题 71.在直三棱柱中，，为的中点，在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】存在点， 【分析】取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【解析】当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 72.如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析; (2)当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点N在棱AD上的位置. 【解析】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 73.如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【解析】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 74.如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线与直线是异面直线，直线与平面相交； (2)证明见解析 (3)存在，点为棱的中点，证明见解析 【分析】（1）由空间中的线面位置关系，即可判断； （2）取的中点为，连接，即可证明为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【解析】（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交. 理由如下：因平面,平面, 平面, 故直线与直线是异面直线； 又因平面，因点是的中点，, 故相交，设交点为,则点平面， 又点平面，故直线与平面相交. （2） 取的中点为，连接 ∵是棱的中点， ∴且 ∵点是棱的中点，                                                                                                                ∴且                                                                                                                  ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴. 且平面，平面， 所以平面. （3） 当点为棱的中点时，平面平面，                                                                证明：∵分别是棱的中点， ∴，∵ ，∴ ， ∵平面，平面，∴平面， ∵分别是棱的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面， ∴平面平面. 75.在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判断、性质推理得证. （2）取PE的中点M，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理得解. 【解析】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 76.如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，． 【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明； （2）分析可得在侧棱上是否存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【解析】（1） 如图，连接交于点，连接，，，则为的中点， 当为的中点时，， 又平面，平面，所以平面； （2）在侧棱上存在点，使得平面，满足， 理由如下：取的中点，由，得， 过作的平行线交于，连接，，中，有， 又平面，平面，所以平面， 由，得， 又，又平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面， 即在侧棱上存在点，使得平面，满足． 77.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析; (2)点为棱BC的中点时，平面平面， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置. 【解析】（1）因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； （2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 78.如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)1 【分析】（1）取PB的中点Q，连接QF，EQ，由题意可证得四边形DEQF为平行四边形，可证得，进而可证得结论； （2）由（1）及线面平行的性质定理，可证得结论； （3）取AB的中点N，由中位线的性质可得，再由线面平行的判断定理可得平面DBF，并可得． 【解析】（1）取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2）设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3）在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 题型十二：立体几何中翻折类平行问题 79.矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；     【答案】)存在，是线段上靠近点的三等分点 【分析】设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面. 【解析】存在．如图所示： 连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 80.如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. 证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接.然后利用三角形相似的性质，得到，进而利用线面平行的判定定理证明； 【解析】证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故. 且平面，平面， 故平面. 81.在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由条件根据线面平行判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，结合面面平行性质证明结论. 【解析】证明：因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，故平面平面， 而平面，故平面. 82.如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，通过证明进而证平面. 【解析】 取的中点，连接，， 由题意得，. 所以四边形为平行四边形，所以，. 又因为，将四边形沿翻折至四边形，故， ，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为在平面外，平面， 所以平面. 83.在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）根据梯形中位线的性质得到且，即可证明； （2）依题意折叠前，，即可得到折叠后，，根据空间等角定理即可证明. 【解析】（1）因为在梯形中，，，分别为，的中点， 所以且， 又，，所以． 因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形． （2）折叠前，且，， 折叠后，， 所以与的对应边平行且方向相同， 所以． 84.如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】确定为正三角形，，证明，得到证明. 【解析】，，为正三角形， ，则为中点， 设，，，故，故为的三等分点，    ，为的三等分点，即F为的中点，故， 平面，平面，故平面. 85.如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 【分析】（1）根据折叠前后的图形几何性质以及异面直线夹角的求法即可得到答案； （2）平面公理与线面平行性质定理可得为中点，从而可得结论. 【解析】（1）因为，是的中点，所以，， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，， 又因为，所以四边形为平行四边形，则， 则，则直线与所成的角的大小为. （2）存在，理由如下： 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连接，，如下图， 所以，所以，，，四点共面， 又因为平面，平面平面，平面，所以， 综上，四边形为平行四边形，故， 所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $