三角恒等变换章节易错练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

2025年江苏省镇江市丹阳市正则高级中学数学考前恒等变换章节易错练习 一、单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．求值：（    ） A．0 B． C．2 D． 3．的值是（    ） A． B． C．1 D． 4．函数的图像的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 5．已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 6．若角满足，则（    ） A． B． C． D． 7．如图有三个正方形相连，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．设，若，则等于（    ） A． B． C． D． 9．五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中、、等都是黄金分割比，已知五角星的顶角是36°，则利用上面信息可求得（    ）    A． B． C． D． 10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．若，则（    ） A．3或 B．3或 C．3 D． 11．我国唐代僧人一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的一个对称中心为，则函数的对称轴为（    ） A． B． C． D． 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 14．已知为第一象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．军事上通常用密位制来度量角．狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙击枪上的角度单位为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如1个平角，1个周角．已知函数，将图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值用密位制可以表示为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 16．已知,则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增 17．关于函数，下列命题是真命题的是（    ） A．函数的周期为 B．直线是的一条对称轴 C．点是的图像的一个对称中心 D．函数的最大值为2 18．下列各式中值为1的是（　　） A． B． C． D． 19．已知， ，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 20．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 21．证明：． 22．化简： (1) (2). 23．已知，，求的值. 24．由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x，我们有cos3x＝cos(2x＋x) ＝cos2xcosx－sin2xsinx ＝(2cos2x－1)cosx－2(sinxcosx)sinx ＝2cos3x－cosx－2(1－cos2x)cosx ＝4cos3x－3cosx 可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式． (1)求证：sin3x＝3sinx－4sin3x； (2)请求出P4(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x； (3)利用结论cos3x＝4cos3x－3cosx，求出sin18°的值． 25．已知函数（其中常数）的最小正周期为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025年江苏省镇江市丹阳市正则高级中学数学考前恒等变换章节易错练习参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A A C B A C A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C A B C A ABC AC BCD BCD ABD 1．C 【知识点】求15°等特殊角的余弦 【分析】根据及两角差的余弦公式直接求解. 【详解】 . 故选:C. 2．B 【知识点】辅助角公式 【分析】利用辅助角公式计算即可. 【详解】 ， 故选： 3．A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由，结合两角差的正弦展开化简即可. 【详解】原式. 故选：A 4．A 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，然后求对称中心即可. 【详解】， 令，，解得，，当时，，，所以是一个对称中心. 故选：A. 5．A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由都是锐角，利用平方关系求的值，再由，结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以， 又， 所以， ， 又， 所以. 故选：A. 6．C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式 【分析】借助二倍角公式与同角三角函数基本关系，将弦化为切后计算即可得. 【详解】. 故选：C. 7．B 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由题可得所以， 因为所以所以， 故选:B. 8．A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用同角公式及和角的余弦公式计算即得. 【详解】由，，得， 所以. 故选：A 9．C 【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 【分析】由图形可知，则可求出，再利用二倍角公式可求出，然后利用诱导公式可求得结果. 【详解】由图形可知，则， 所以， 所以， 故选：C 10．A 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】先应用诱导公式结合两角和差公式化简，再应用二倍角公式正弦分类化简得值即可. 【详解】由，得，即． 当时，，由于，所以，所以． 当时，，所以． 综上所述，或． 故选：A． 11．C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】由题意可知，则利用正切的二倍角公式求出，再利用两角差的正切公式求出的值，再求出的范围，从而可求出的值. 【详解】由题意可知，则， 故. 因为，且，所以，所以. 因为，且，所以， 所以，则. 因为，所以. 故选：C 12．A 【知识点】辅助角公式、利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用辅助角公式将函数化简，结合函数的对称中心求出，即可求出，再化简，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，其中， 因为函数的对称中心为，令，，代入得， 所以，， 所以，则， 令，，解得， 即函数的对称轴方程为. 故选：A 13．B 【知识点】单位圆与周期性、三角恒等变换的化简问题 【分析】由倍角公式可得，即，分和两种情况，求的值，运算求解即可. 【详解】因为， 由可得， 又因为， 若，则， 可得， 所以； 若，则， 可得， 所以； 综上所述：. 故选：B. 14．C 【知识点】给值求值型问题、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据为第一象限角得出为第一或第三象限角，然后利用同角三角函数的基本关系求出，利用半角公式再分情况进行求解. 【详解】因为为第一象限角，则，所以 故为第一或第三象限角．且，则． 当为第一象限角时，； 当为第三象限角时，． 故选：C． 15．A 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据平移得到的解析式，利用的图象关于轴对称可得的最小值，根据密位制的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，， 则， 因为的图象关于轴对称，所以， 则， 因为，所以当时，， 故的最小值用密位制可以表示为25-00． 故选：A. 16．ABC 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求含cosx的函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式 【分析】因为,根据偶函数的定义判断A;根据最小正周期公式判断B;将代入验证C的正误;求解函数的单调递增区间即可判断D. 【详解】因为,定义域为, ,所以是偶函数,故A正确; 的最小正周期为,故B正确; ,所以是图象的一个对称中心,故C正确; 令, 解得, 即的单调递增区间为,故D错误. 故选:ABC. 17．AC 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式 【分析】根据题意，结合辅助角公式可得，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】， ，则，故A正确； 当时，不是最值， 故直线不是的一条对称轴，故B错误； 当时，，终边落在x轴上， 故点是的图像的一个对称中心，故C正确； 函数的最大值为，故D错误. 故选：AC 18．BCD 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可． 【详解】解：对于A：，选项A错误； 对于B：，选项B正确； 对于C：，选项C正确； 对于D：，选项D正确． 故选：BCD． 19．BCD 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、特殊角的三角函数值 【分析】由同角关系可求，，再由结合两角差余弦公式求解即可. 【详解】因为均为锐角，所以， 所以， 又， 所以，故A错误，B正确； 又，所以，所以C正确； 因为, 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 20．ABD 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】ABCD选项正用或逆用两角和差的正弦公式可得. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确． 故选：ABD． 21．见解析. 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】把用角的和差公式展开. 【详解】 22．(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用两角和（差）的正弦公式计算可得； （2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系及诱导公式计算可得. 【详解】（1） . （2） . 23． 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和与差的余弦函数公式化简可求进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解． 【详解】， ． 24．(1)见解析 (2) (3) 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由倍角公式化简证明即可； （2）由倍角公式求解即可； （3）由倍角公式结合cos3x＝4cos3x－3cosx，得出sin18°的值． 【详解】（1） （2） （3） （小于-1的值舍去）. 25． 【知识点】三角恒等变换的化简问题、辅助角公式、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用三角恒等变换与辅助角公式将已知函数化为正弦型函数，在通过正弦函数最小正周期得出结论. 【详解】 ， ， ， ， 函数（其中常数）的最小正周期为， ， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$