第四章平行四边形（习题课件）2025-2026学年数学浙教版八年级下册

第四章　平行四边形 4.3　图形的旋转(第1课时) 1. 旋转的定义：在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动一个角度，这样的图形运动叫作图形的 。 2．旋转的三要素： ， ， 。 旋转 旋转中心 旋转方向 旋转角度 1. 下列选项中的运动，属于旋转变换的是(　　) B A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 2.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是(　　) C 3.如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是(　　) B A．72° B．108° C．144° D．216° 4.如图，在△AOB中，AO＝3。将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连结AA′。则线段AA′的长为(　　) A A．3 B．5 C．3 D．5 5.如图，在△ABC中，∠CAB＝76°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则∠BAB′＝ 。 6．在平面直角坐标系中，点P(2，－1)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点A，再把点A绕原点旋转180°得到点B，那么点B的坐标是 。 28° (－4，－2) 7.如图，若M是等边三角形ABC的边BC上一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，连结MN，则下列结论： ①∠BMN＝30°；②MN＝AM； ③BN∥AM。其中正确的 是 (填序号)。 ② 8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE＝ 。 2 －2 9.已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)。(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度) (1)作出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1。 (2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2。 【答案】(1)如图，三角形A1B1C1即为所求作。 (2)如图，三角形A2B2C2即为所求作。 10.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且点A，B，E在同一条直线上。 (1)求证：DA平分∠BDE。 (2)若AC⊥DE，求旋转角α的度数。 【答案】(1)证明：如图1，由旋转得∠1＝∠B，AD＝AB，所以∠2＝∠B，所以 ∠1＝∠2，所以DA平分∠EDB。 (2)如图2，设AC与DE交于点O，由旋转 得AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E， 因为AC⊥DE，所以∠AOE＝90°， 所以∠C＝∠E＝90°－∠4＝90°－α。 因为AB＝AD，所以∠2＝∠B＝ ＝ ＝90°－ α。因为∠4＋∠OAD＋∠3＝180°，∠OAD＋∠3＋∠B＋∠C＝180°，所以∠4＝∠B＋∠C，所以α＝90°－ α＋90°－α，解得α＝72°，所以旋转角α的度数为72°。 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为点E，点A的对应点D落在线段AB上，连结BE。 下列结论：①DC平分∠ADE；②∠BDE＝∠BCE； ③BD⊥BE；④BC＝DE。其中所有正确结论的 序号是 。 ①②③ 12.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为 。 －1或1 13. 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点E。 (1)求证：AE＝BC。 (2)如图2，过点E作EF∥BC交AB于点F， 将△AEF绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜ 144°)得到△AE′F′，连结CE′，BF′， 求证：CE′＝BF′。 (3)在图2的旋转过程中，当旋转角α＝ 时，CE′∥AB。 【答案】(1)证明：因为∠A＝36°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝ (180°－36°)＝72°。因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE＝ ×72°＝36°，所以∠BEC＝∠A＋∠ABE＝36°＋36°＝72°，所以∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，所以AE＝BE，BE＝BC，所以AE＝BC。 (2)证明：因为AB＝AC，EF∥BC，所以AE＝AF，由旋转的性质得，∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，在△CAE′和△BAF′中， 所以△CAE′≌△BAF′(SAS)，所以CE′＝BF′。 (3)在图2的旋转过程中，当旋转角α＝ 时，CE′∥AB。 THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.5　三角形的中位线 1. 定义：连结三角形 　两边中点　的线段叫做三角形的中位线. 2. 中位线性质：三角形的中位线 　平行于　第三边，并且等于第三边的 　一半　. 两边中点　 平行于　 一半　 1. （沈阳中考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D，E分别是直角边AC，BC的中点，连结DE，则∠CED的度数是（　B　） A. 70° B. 60° C. 30° D. 20° 第1题图 C 2. 三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为(　　) C A．6.5cm B．34cm C．26cm D．52cm 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AE⊥BC，垂足为E，D是AC上一点，连结BD，F是BD的中点，当EF＝1时，AD的长为(　　) A． B．2 C．1 D． 第3题图 C 4. （绥化中考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则 的值是 （　B　） A. 1 B. C. D. 第4题图 B 5. （南京中考）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是 　6　. 第5题图 6　 6. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D，E分别为AC，AB的中点，连结DE，则△ADE的面积是 　6　. 第6题图 6　 7. 如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连结OE. 若OE＝3，则CD的长度为 　6　. 第7题图 6　 8. 如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的一动点，R是边CD上的一固定点，E，F分别是AP，RP的中点.当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长 　不变　（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”）. 第8题图 不变　 9. 如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，求证：AD与EF互相平分. 第9题图 【答案】证明：连结ED，FD，∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴ED，DF是△ABC的中位线，∴ED∥AC，DF∥AB，∴四边形EDFA是平行四边形，∴AD与EF互相平分. 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点.若AD＝4，CD＝6，求EO的长. 第10题图 【答案】1 11. 如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝6cm，∠BAC＝45°.在平面内将△ABC平移3 cm得到△DEF，其中点A和点B的对应点分别为点D和点E. 若P，Q分别是AC，DE的中点，则PQ的最大值是 　4 cm. 第11题图 4 　 12. 在△ABC中，M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N. 若AB＝4，DM＝1，则AC的长为 　6　. 第12题图 6　 13. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点.若AB＝ BC＝3DE＝6，求四边形DEFG的周长. 第13题图 【答案】∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴GF＝ BC，EF＝ AB. ∵AB＝ BC＝3DE＝6，∴AB＝6，BC＝9，DE＝2，∴GF＝ ，EF＝3.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴DG＝ AB＝3. ∴四边形DEFG的周长为3＋3＋2＋ ＝12.5. 14. 【问题初探】 （1）如下图1所示，四边形ABCD，M和N分别是边DC和边AB上的中点，P是对角线BD的中点，AD＝BC. 求证：∠PMN＝∠PNM. 结合图1，写出完整的证明过程. 【答案】（1）证明：∵P，N分别是BD，AB的中点，∴PN是△ABD的中位线，∴PN＝ AD，∵P，M分别是BD，CD的中点，∴PM是△BCD的中位线，∴PM＝ BC，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM. 【问题再探】 （2）如下图2所示，如果在一个四边形ABCD中，P和Q分别为边AB和边CD的中点，且∠A＋∠ABC＝90°，BC＝8，AD＝10，求PQ两点的距离. 【答案】（2）如图2，连结BD，取BD的中点G，连结PG，QG，∵P，G分别是AB，BD的中点，∴PG是△ABD的中位线，∴PG＝ AD＝ ×10＝5，同理：QG是△BCD的中位线，∴QG＝ BC＝ ×8＝4，∵PG是△ABD的中位线，∴PG∥AD，∴∠BPG＝∠A，∵QG是△BCD的中位线，∴QG∥BC，∴∠DGQ＝∠DBC，∴∠PGQ＝ ∠PGD＋∠DGQ＝∠BPG＋∠ABD＋∠DBC＝ ∠BPG＋∠ABC＝∠A＋∠ABC， ∵∠A＋∠ABC＝90°， ∴∠PGQ＝90°，根据勾股定理得，PQ＝ ＝ . THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.2　平行四边形及其性质（第3课时） 平行四边形的性质：平行四边形的 　对角线　互相平分. 对角线　 1. ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是 （　C　） A. AO＝OD B. AO⊥OD C. AO＝OC D. AO⊥AB C 2. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O. 若OB＝5，则BD的长是（　C　）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第2题图　　 C 3. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝8，AC＋BD＝30，那么△OCD的周长是（　A　） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 第3题图 A 4. 平行四边形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为16和12，则边AB的取值范围是（　B　） A. 1＜AB＜7 B. 2＜AB＜14 C. 6＜AB＜8 D. 3＜AB＜4 5.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AC⊥BC，AC＝2，BD＝4，则AB＝ 　 . B 　 第5题图 6. 如图，以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若点A坐标为（－1，2），则点C坐标是 　（1，－2）　. 第6题图 （1，－ 2） 　 7. 如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20.今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片.若将甲、丙拼成一个轴对称图形（AD，CB重合），如图2所示，则拼成的图形中两对角线长度和是 　26　. 第7题图 26　 8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△BOC的周长比△BOA的周长大2，若BC＝10，则AB的长是 　8　. 第8题图 8　 9.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4。 (1)求∠BAC的度数。 (2)求▱ABCD的面积。 【答案】(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝CO，BO＝DO。因为AC＝6，BD＝10，所以AO＝3，BO＝5。因为AB＝4，所以AB2＋AO2＝OB2，所以∠BAC＝90°。 (2)▱ABCD的面积＝AB×AC＝4×6＝24。 10. 在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，  　　　　（填序号）. 第10题图 求证：BE＝DF. 【答案】若选①，即AE＝CF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AE＝CF，∴OE＝OF，又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE＝DF. 若选②，即OE＝OF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵OE＝OF，∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE＝DF. 若选③，即BE∥DF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵BE∥DF，∴∠BEO＝∠DFO，又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴BE＝DF. 第10题图 11. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD⊥BD，DE⊥AC于点E，若AD＝3，CD＝ ，则DE＝ 　 　. 第11题图 　 12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值是 　2 . 第12题图 2 　 13. 在▱ABCD中，O是对角线BD，AC的交点，P是边AD上一点，连结PO并延长交BC于点Q. 第13题图 （1）求证：OP＝OQ. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠PAO＝∠QCO，∠APO＝∠CQO，在△AOP和△COQ中， ∵ ∴△APO≌△CQO（AAS），∴OP＝OQ. （2）已知▱ABCD的面积是12，AP＝1，PD＝4，求四边形ODCQ的面积. 【答案】（2）∵O是平行四边形ABCD的对角线BD，AC的交点，∴S△AOD＝S△COD＝ ×12＝3，∵AP＝1，PD＝4，∴S△AOP＝ S△AOD＝ ×3＝0.6，又∵△APO≌△CQO，∴S△APO＝S△CQO＝0.6，∴四边形ODCQ的面积＝3＋0.6＝3.6. 第13题图 14. 在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，连结OE，OF. （1）如图1，若直线l恰好经过点O，试判断线段OE与OF的数量关系并证明. 【答案】（1）OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，∵AE⊥EF，CF⊥EF， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°，在△AEO和△CFO中， ∵ ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE＝OF. 　 （2）若直线l不经过点O，请结合图2判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 【答案】（2）OE＝OF仍然成立.证明：如图，延长FO与AE相交于点G，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴AE∥CF，∴∠GAO＝∠FCO. 在▱ABCD中， OA＝OC. 在△AGO和△CFO中，∵ ∴△AGO≌△CFO（ASA），∴OG＝OF，又∵∠AEF＝90°，∴OE是Rt△GFE斜边的中线，∴EO＝ GF＝OF. THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.6　反证法 1. 反证法：先假设命题不成立，从假设出发，经过推理得出和 　已知条件　矛盾，或者与 　定义　、 　基本事实　、 　定理　等矛盾，从而得出假设命题不成立，是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做 　反证法　. 2. 平行线判定：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 　互相平行　. 已知条 件　 定义　 基本事实　 定理　 反证 法　 互相平行　 1. 用反证法证明“a＞0”时，应当先假设（　B　） A. a＜0 B. a≤0 C. a≠0 D. a≥0 2. 用反证法证明“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”时，应假设（　D　） A. a⊥c B. b⊥c C. a与c相交 D. b与c相交 B D 3. 下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是(　　) A A．a＝－2 B．a＝－1 C．a＝1 D．a＝2 4. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设 （　B　） A. 三角形的两个内角小于60° B. 三角形的三个内角都小于60° C. 三角形的两个内角大于60° D. 三角形的三个内角都大于60° B 5. 已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾. ②因此假设不成立.∴∠B＜90°. ③假设在△ABC中，∠B≥90°. ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是（　D　） D A. ④③①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ③④①② 6.如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点.证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O'，那么过O，O'两点就有 　两　条直线，这与“过两点 　有且只有一条直线　”矛盾，所以假设不成立，则原命题成立. 第6题图　　 两　 有且只有一条直线　 7. 求证：在直角三角形中至少有一个角不大于45°. 已知：如图所示，△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°. 第7题图 证明：假设 　∠A，∠B都大于45°　， 则∠A 　＞　45°，∠B 　＞　45°. ∴∠A＋∠B＋∠C＞45°＋ 　45°　＋ 　90°　， 这与 　三角形内角和为180°　相矛盾. 所以 　假设　不成立，所以∠A，∠B中至少有一个角不大于45°. ∠A，∠B都大于45°　 ＞　 ＞　 45°　 90°　 三角形内角和为180° 　 假设　 8. 用反证法证明“已知a＜｜a｜，求证：a必为负数”. 证明：假设a不是负数，那么a是 　0　或a是 　正数　. （1）如果a是零，那么a＝｜a｜，这与题设矛盾，所以a不可能是零. （2）如果a是 　正数　，那么a＝｜a｜，这与 　题设　矛盾，所以a不可能是 　正数　. 综合（1）和（2），知a不可能是 　0　，也不可能是 　正数　. 所以a必为负数. 0　 正数　 正数　 题设　 正数　 0　 正数　 9. 用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。求证：BD和CE不可能互相平分。 【答案】证明：连结DE，假设BD和CE互相平分，所以四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥CD，因为在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，所以AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立，即BD和CE不可能互相平分。 10. 某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能说真话，也可能不说真话，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1人不说真话；②其中任何2人中，至少有1人说真话.则这次会议活动中，说真话的人数是 　99　. 99　 【答案】证明：假设点M与点D重合，延长AM到点N，使AM＝MN，连结BN. 在△AMC和△NMB中，∵AM是BC边上的中线，∴BM＝CM，∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN，∴△AMC≌△NMB（SAS），∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC. ∵AM（AD）是∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC，∴∠MNB＝∠BAM，则BN＝AB， 即AC＝AB，与AB＞AC相矛盾.因而点M与 点D重合是错误的，所以点M与点D不重合. 11. 如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线.用反证法说明点M与点D不重合.a 12. 设a，b，c是不全相等的任意实数，若x＝b2－ac，y＝c2－ab，z＝a2－bc。求证：x，y，z至少有一个大于零。 【答案】假设x，y，z都小于零，则b2－ac＋c2－ab＋a2－bc＜0，2b2－2ac＋2c2－2ab＋2a2－2bc＜0，(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＜0，这与偶次方的非负性相矛盾，所以假设不成立，所以x，y，z至少有一个大于零。 THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.2　平行四边形及其性质（第2课时） 1. 平行线性质：夹在两条平行线间的 　平行线段　相等，夹在 　两条平行线　间的垂线段相等. 2. 定义：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离，叫做这两条 　平行线之间的距离　. 平行线段　 两条平 行线　 平行线之间的距离　 1. 如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（　A　） 　第1题图 A A. S四边形ABCD＝S四边形ECDF B. S四边形ABCD＜S四边形ECDF C. S四边形ABCD＝S四边形ECDF＋1 D. S四边形ABCD＝S四边形ECDF＋2 2. 如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是(　　) A．线段AB的长度 B．线段CD的长度 C．线段EF的长度 D．线段GH的长度 B 3.如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n。则下列说法正确的是(　　) D A．AC＝BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长 C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积 4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个平行四边形，点B在EF边上，若平行四边形ABCD和平行四边形AEFC的面积分别是S1，S2，则它们的大小关系是（　D　） A. S1＞S2 B. 2S1＜S2 C. S1＜S2 D. S1＝S2 第4题图 D 5. 平行四边形两邻边的长分别为16和20，若两条长边间的距离为8，则两条短边间的距离为 　10　. 6. 如图，▱ABCD中，AB＝6，BC＝4，若∠B＝45°，则▱ABCD的面积为 　12 . 第6题图　　 10　 12 　 7. 如图，m∥n，AD∥BC，CD∶CF＝2∶1.如果△CEF的面积为10，那么四边形ABCD的面积为 　40　. 第7题图 8. 已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 　2　个. 40　 2　 9. 如图，在▱ABCD中，对角线AC＝21，BE⊥AC于点E，且BC＝14，BE＝6，求AD，BC之间的距离. 第9题图 【答案】AD，BC之间的距离为9. 10. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长为（　A　） A. 2 B. 5 C. 5 D. 10 第10题图 A 第11题图 11.如图1，E是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ABE的面积是y，图2是点E运动时y随x变化的关系图象，则AD与BC间的距离是 　 　. 　 12. （荆门中考）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2 . （1）求平行四边形ABCD的面积. 【答案】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图，设BE＝x，CE＝h，在Rt△CEB中：x2＋h2＝9①，在Rt△CEA中：（5＋x）2＋h2＝ 52 ②，联立①②解得x＝ ，h＝ ， ∴平行四边形ABCD的面积＝AB·h＝12. （2）求证：BD⊥BC. 【答案】（2）作DF⊥AB，垂足为F，∴∠DFA＝∠CEB＝90°，∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠CBE，又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC，∴△ADF≌△BCE（AAS），∴AF＝BE＝ ，BF＝5－ ＝ ，DF＝CE＝ ，在Rt△DFB中：BD2＝DF2＋BF2＝（ ）2＋（ ）2＝16，∴BD＝4， ∵BC＝3，DC＝5，∴CD2＝DB2＋BC2， ∴BD⊥BC. 13. 根据题意解答。 (1)观察发现 如图1，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有 与△ABC的面积相等。 (2)实践应用 ①如图2，在△ABC中，已知BC＝6，且BC边上的高为5，若过点C作CE∥AB，连结AE，BE，则△BAE的面积＝ ； ②如图3，A，B，E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB＝5，AC＝4，求△ACF的面积。 (3)拓展延伸 如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD的面积(简单介绍作法，不必说明理由)。 【答案】 (2)②如图3，过点B作BH⊥AC于点H，连结BF。因为AB＝BC， 所以AH＝ AC＝2。在Rt△AHB中，BH＝－ ＝52－22 ＝ 。所以S△ABC＝ ×4× ＝2 。因为四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，易得AC∥BF，所以S△ACF＝S△ABC＝2 。 (3)如图4，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连结AE，CE。因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有 S△ABC＝S△AEC，所以S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED。因为S△ACD＞S△ABC，所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则 直线AF即为所要求作的四边形ABCD的面积等分线。 THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.1　多边形（第2课时） 1. 多边形的内角和、外角和：n边形的内角和为 　（n－2）×180　，外角和为 　360°　. 2. 解决多边形问题的方法： （1）多边形问题一般通过连对角线将其转化为三角形或四边形来解决. （2）多边形的内角和与边数有关，每增加一条边，内角和就增加180°，已知多边形边数可以求出该多边形的内角和，反之，已知多边形的内角和也可以确定多边形的边数. （n－2） ×180°　 360°　 1. （北京中考）十二边形的外．角．和．是（　C　） A. 30° B. 150° C. 360° D. 1800° 2. 若一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（　A　） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 C C 4. 当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（　B　） A. 都不变 B. 内角和增加180°，外角和不变 C. 内角和增加180°，外角和减少180° D. 都增加180° B 3. 过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是（　B　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 B 5. （重庆中考）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和是 　800°　. 6.若两个多边形的边数之比是1∶2，内角和度数之比为1∶3，则这两个多边形的边数分别是 。 7. （上海中考）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 　540　°. 8. （广西中考）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是 　7　. 800°　 4，8 540　 7　 【答案】 ∵∠DEA＝90°，∴∠AEN＝90°.又∵∠AEN＋∠EAF＋∠GBC＋∠DCH＋∠MDE＝90°＋∠EAF＋65°＋50°＋100°＝360°，∴∠EAF＝55°.又∵∠EAF＋∠EAB＝180°，∴∠EAB＝180°－∠EAF＝125°. 9. 如图，∠DEA＝90°，∠MDE＝100°，∠GBC＝65°，∠DCH＝50°，求∠EAB的度数. 10. 若把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，则这个多边形原来的边数为(　　) 11.如图，在四边形纸片ABCD中，∠A＋∠B＝150°， 将纸片折叠，使点C，D落在边AB上的点C′，D′处， 折痕为MN，则∠AMD′＋∠BNC′＝ 。 D 60° A．9 B．10 C．11 D．以上都有可能 12. 下图是一张被损坏（右边不规则处）的长方形纸片，将长方形的一角沿AC翻折，点B翻折至点B'处，CD是∠ECB'的平分线. 第12题图 （1）求证：AC⊥CD. 【答案】（1）证明：∵△AB'C是由△ABC沿AC翻折所得，∴∠ACB＝∠ACB'，∴AC是∠BCB'的角平分线，又∵CD是∠ECB'的平分线，∠ECB'＋∠BCB'＝180°，∴∠ACD＝∠ACB'＋∠B'CD＝ （∠BCB'＋∠B'CE）＝90°，∴AC⊥CD. （2）若∠BAC＝20°，∠K＝67°，∠H＝85°，求∠CDH的度数. 【答案】（2）延长AK，CD交于点M，如图，∵∠AKH＝67°，∴∠MKH＝180°－∠AKH＝180°－67°＝113°，∵图是长方形纸片，∴∠B＝90°，AM∥BE，∵△AB'C是由△ABC沿AC翻折所得，∠BAC＝20°，∴∠B'CA＝∠BCA，∠B'AC＝∠BAC＝20°，∴∠BCA＝70°，∴∠B'CA＝∠BCA＝70°，∴∠BCB'＝∠B'CA＋∠BCA＝140°，∴∠ECB'＝180°－∠BCB'＝180°－140°＝40°，∵CD是∠ECB'的平分线，∴∠ECM＝1/2 ∠ECB'＝1/2 ×40°＝20°，∵AM∥BE，∴∠M＝∠ECM＝20°，在四边形MKHD中， ∵∠H＝85°，∴∠MDH＝360°－∠MKH－∠M－∠H ＝360°－113°－20°－85°＝142°，∴∠CDH ＝180°－∠MDH＝180°－142°＝38°. 第12题图 13. （1）如图1，在四边形ABCD中，延长BA，CD交于点E，延长AD，BC交于点F. 当∠E＝∠F＝α时，我们就称四边形ABCD是“完美四边形”.已知在完美四边形ABCD中，∠B＝80°. ①若α＝30°，则∠ADC＝ 　140　°； ②若10°≤α≤35°，则∠ADC的取值范 围是 　100°≤∠ADC≤150°　. 140　 100°≤∠ADC≤150°　 （2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”.如图3，在五边形ABCDE中，∠BCD＝100°，AB∥CD，该五边形是否为“完美五边形”？请说明理由. 【答案】（2）五边形ABCDE不是“完美五边形”；理由如下：延长CB，EA交于点F，延长BA，DE交于点G，延长CD，AE交于点H，延长BC，ED交于点K，如图3，∵AB∥CD，∴延长五边形ABCDE任意不相邻的两边，只能得出4个角，∴假设五边形ABCDE为“完美五边形”，∴∠F＝∠G＝∠H＝∠K，∴∠F＋∠H＝∠G＋∠K，∵∠BCD＝100°，AB∥CD，∴∠GBK＝180°－∠BCD＝80°，∴在△FCH中，∠F＋∠H＝180°－100°＝80°，在△BGK中，∠G＋∠K＝180°－80°＝100°，∴∠F＋∠H≠∠G＋∠K，这与∠F＋∠H＝ ∠G＋∠K矛盾，∴∠F，∠H，∠G，∠K不可 能相等，假设不成立，∴五边形ABCDE不是“完美五边形”. THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.2　平行四边形及其性质（第1课时） 1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做 　平行四边形　. 2. 性质：平行四边形的对边 　相等　.平行四边形的对角 　相等　. 平行四边形　 相等　 相等　 1. ▱ABCD的四个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是（　A　） A. 2∶5∶2∶5 B. 3∶4∶4∶3 C. 4∶4∶2∶2 D. 2∶3∶4∶5 2. 用长分别为5，5，7，a的四根木棍，恰好能钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不计），则a的值是（　B　） A. 5 B. 7 C. 2 D. 12 A B 3. （四川内江中考）如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长是（　B　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 第3题图　 B 4. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点F，若AB＝8，BF＝5，则△BCF的周长是（　C　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 第4题图 C 5. 已知平行四边形的周长为20cm，两邻边之比为3∶2，则较长边的长是 　6　cm. 6. 在▱ABCD中，若∠A＝∠B＋50°，则∠B的度数为 。 7. 图中是能伸缩的校门，它利用了四边形的一个性质是 　四边形的不稳定性　. 第7题图　 6　 65° 四边形的不稳定 性　 8. （凉山中考）如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，2），则顶点B的坐标是 　（4，2）　. 第8题图 （4，2）　 9. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE＝DF，求证：AE＝CF. 第9题图 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABD＝∠CDB. ∵点E，B，D，F在同一直线上，∴∠EBA＋∠ABD＝180°，∠CDB＋∠CDF＝180°，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中， ∵ ∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF. 10. （扬州中考）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED， 50　 若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积是 　50　. 第10题图 【答案】　(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，所以∠E＝∠DCF。因为 F是AD的中点，所以AF＝DF，在△AFE和△DFC中，因为所以△AFE≌△DFC(AAS)，所以CD＝AE，所以AB＝AE。 11. 如图，在▱ABCD中，F是AD中点，连结CF并延长，交BA的延长线于点E。 (1)求证：AB＝AE。 (2)若BC＝2AE，∠E＝34°，求∠DAB的度数。 【答案】 (2)由(1)可得AF＝DF，BC＝AD，所以BC＝2AF。 因为BC＝2AE，所以AE＝AF，因为∠E＝34°，所以 ∠AFE＝∠E＝34°，所以∠DAB＝2∠E＝68°。 12. （湖南中考）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F. 第12题图 （1）求证：AD＝AF. 【答案】（1）证明：在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠CDE＝∠F，∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF. （2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积. 【答案】（2）∵AD＝AF＝6，AB＝3，∴BF＝AF－AB＝3，如图，过点D作DH⊥AF交FA的延长线于点H，∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AH＝ AD＝3，∴DH＝ ＝3 ，∴△ADF的面积＝ AF·DH＝ ×6×3 ＝9 . 13. 已知，如图1，在▱ABCD中，∠B＝60°，将△ABC沿AC翻折至△AEC，连结DE. 第13题图 （1）求证：AD＝CE. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是 平行四边形，∴AD＝BC，又∵△ABC 沿AC翻折至△AEC，∴BC＝CE， ∴AD＝CE. （2）若点E在直线AD下方，如图2，AB＝2，AE⊥CD，求BC的长. 【答案】（2）如图2，设AE与CD的交点为F，∵四边形ABCD是 平行四边形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC，∵△ABC沿AC翻折至 △AEC，∴AB＝AE＝2，BC＝CE，∠B＝∠AEC＝60°， ∴AE＝CD，AD＝CE，又∵DE＝ED，∴△ADE≌△CED（SSS），∴∠CDE＝∠AED，∴DF＝EF， ∵AE⊥CD，∠AEC＝60°， ∴∠DCE＝30°，∴CE＝2EF， 又∵CF＝ ＝ EF， ∵CD＝CF＋DF， ∴2＝ EF＋EF，解得EF＝ －1， ∴BC＝CE＝2EF＝2（ －1）＝2 －2. THANK YOU！ $第四章　平行四边形 专题提升五　以平行四边形为背景的计算和证明 　平行四边形的分类讨论问题 原题1　已知：如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点E，∠ABC的平分线BG交CE于点F，交AD于点G. （1）求证：AE＝DG. 【答案】 （1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠AGB＝∠GBC，又∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG，∴∠ABG＝∠AGB，则AB＝AG，同理可得CD＝DE，∵AB＝CD， ∴AB＝AG＝CD＝DE，∴AE＝DG. 【答案】 【答案】（2）假设AG∶GD＝3∶2，∵AD＝10，∴AB＝AG＝ AD＝6，∴平行四边形的周长为2×（10＋6）＝32；当AG∶GD＝2∶3时，则AB＝AG＝ AD＝4，∴平行四边形的周长为2×（10＋4）＝28.所以平行四边形ABCD的周长为32或28. （2）若BG将AD分成3∶2的两部分，且AD＝10，求▱ABCD的周长. 变式　如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，若CD＝3cm，△BOC的周长与△AOB的周长相差2cm，求四边形ABCD的周长. 【答案】16cm或8cm 　与平行四边形有关的最值问题 原题2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D，E分别是边AB，AC上的动点，F，G分别是ED，EC的中点，则FG的最小值是 。 1.2 变式　如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，△ABC的面积等于35，点P在AB上，点Q在AC上，BP＝AQ，BC上有一动点M. 若要使PM＋MQ最小，则该最小值是 　 　. 　 　平行四边形的构造问题 原题3　如图，在平面直角坐标系中，点A（－3，0），B（3，0），C（3，2），如果以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，且点D在第三象限，那么点D的坐标是 　（－3 ，－2）　. (－3，－2)或(－3，2)或(9，2)。 变式　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm.点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动.运动时间为t（s），当t的值为 　3s或6s　时，点P，Q，C，D构成平行四边形. 3s或6s　 　平行四边形的图形变换问题 原题4　如图，将平行四边形ABCD折叠，使得点C落在点A处，点D落在点D'处，折痕为EF，连结CE. （1）求证：四边形AFCE是平行四边形. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC，∵将平行四边形ABCD折叠，使得点C落在点A处，点D落在点D'处，折痕为EF，∴∠AFE＝∠EFC，AF＝CF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AE＝CF，∵AD∥BC，∴四边形AFCE是平行四边形. （2）若AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，求平行四边形AFCE的面积. 【答案】（2）如图，作AH⊥BC于点H，∵∠B＝60°，AB＝4，∴∠BAH＝30°，∴BH＝ AB＝2，AH＝2 ，∵BC＝6，∴CH＝4，设AF＝CF＝x，则FH＝4－x，在Rt△AHF中，由勾股定理得x2＝ ＋（4－x）2，解得x＝ ，∴CF＝ ， ∴平行四边形AFCE的面积为CF·AH＝ ×2 ＝7 . 变式　（1）如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F. 求证：AE＝CF. 【答案】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AO＝OC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠AOE＝∠COF. 在△AOE和△COF中， ∵ ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF. （2）如图2，将▱ABCD（纸片）沿直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，M. ①求证：ME＝FG； 【答案】（2）①由（1）得AE＝CF，由折叠得AE＝A1E，∠A＝∠A1，∠AEF＝∠A1EF，∠BFE＝∠B1FE，∵∠AEF＝∠EFC，∠BFE＝∠DEF，∴∠DEF＝∠EFB1，∠A1EF＝∠CFE，∴∠A1ED＝∠CFG，易证△A1EM≌△CFG，∴EM＝ FG； ②如图3，连结MG，求证：MG∥EF. 【答案】 ②过点G作GK∥EM，交EF于点K，如图3，∴∠MEF＝∠GKF，∵∠MEF＝∠GFE，∴∠GFK＝∠GKF，∴GK＝GF，∵GF＝ME，∴GK＝ME，∴四边形EKGM是平行四边形，∴MG∥EF. THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.1　多边形（第1课时） 1. 定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3） 　首尾顺次相接　形成的图形叫做多边形. 2. 定义：边数为4的多边形叫做 　四边形　，四边形的内角和等于 　360°　. 首尾顺次相接　 四边形　 360°　 1.下列多边形中，内角和等于360°的是(　　) 2. 四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B－∠D＝20°，则∠B的度数是（　C　） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° B C 3. 四边形ABCD中，AD∥BC，那么它的四个内角之比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是（　C　） A. 1∶2∶4∶5 B. 2∶1∶5∶4 C. 4∶2∶1∶5 D. 5∶2∶4∶1 C 4.已知四边形ABCD中，∠A－∠C＝∠D－∠B，下列说法正确的是(　　) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB∥CD 且AD∥CB D．AB，CD与BC，AD都不平行 5.如图，在△ABC中，∠A＝56°，若剪去△ADE得 到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝ 　236°　. B 236°　 第5题图　　 6. 各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a＋ b－1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”.如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝ 　6　. 第6题图 6　 7. 如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 　360°　. 第7题图　　　 360°　 8. 一块四边形绿化园地，四角都作有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池所占的绿化园地的面积为 　4π　. 第8题图 4π　 9.如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，E是BC边上一点，EF⊥AE，交CD于点F。 (1)若∠EAD＝60°，求∠DFE的度数。 (2)若∠AEB＝∠CEF，AE平分∠BAD，求证：∠B＝∠C。 【答案】 (1)因为EF⊥AE，所以∠AEF＝90°。因为四边形AEFD的内角和是360°，∠D＝90°，∠EAD＝60°，所以∠DFE＝360°－∠D－∠EAD－∠AEF＝120°。　(2)因为四边形AEFD的内角和是360°，∠AEF＝90°，∠D＝90°，所以∠EAD＋∠DFE＝180°。因为∠DFE＋∠CFE＝180°， 所以∠EAD＝∠CFE。因为AE平分∠BAD，所以∠BAE＝∠EAD， 所以∠BAE＝∠CFE。因为∠B＋∠BAE＋∠AEB＝180°， ∠C＋∠CFE＋∠CEF＝180°，∠AEB＝∠CEF， 所以∠B＝∠C。 10. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，∠P＝115°，则∠A＋∠D＝ 　230°　. 第10题图 230°　 11.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝36°，在边AB，BC上分别找一点E，F，使△DEF周长最小，此时∠EDF＝ 。 108° 12. 定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”.例如：四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”. 第12题图 【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”. ①若∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠D＝ 　90°　； ②若∠B＝90°.且AB＝3，AD＝2时，则CD2－CB2＝ 　5　. 90°　 5　 【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC. 求证：四边形ABCD是“对补四边形”. 【答案】（2）证明：如图2，在CD上截取DE＝DA，连结BE，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠EDB，在△ADB和△EDB中， ∵ ∴△ADB≌△EDB（SAS）， ∴AB＝EB，∠A＝∠BED，∵AB＝CB，∴CB＝EB， ∴∠C＝∠BEC， ∵∠BEC＋∠BED＝180°，∴∠A＋∠C＝180°， ∴四边形ABCD是“对补四边形”. 13. 如图，四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与 外角∠ABE的平分线相交于点F. 第13题图 （1）若BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠BCD的度数. 【答案】（1）∵∠ABC＝80°， ∴∠ABE＝180°－80°＝100°，∵BF平分∠ABE， ∴∠ABF＝∠EBF＝50°，∵BF∥CD，∴∠DCB＝∠EBF＝50°. （2）已知四边形ABCD中，∠A＝110°，∠D＝120°，求∠F的度数. 【答案】（2）∵CF平分∠BCD，BF平分∠ABE，∴∠BCF＝∠DCF＝ ∠BCD，∠EBF＝∠ABF，∵∠A＋∠D＋∠ABC＋∠BCD＝360°，∠A＝110°，∠D＝120°，∴∠ABC＋∠BCD＝360°－110°－120°＝130°，即180°－∠ABE＋2∠BCF＝130°，∵∠ABE＝2∠EBF，∠EBF＝∠F＋∠BCF，∴180°－2（∠F＋∠BCF）＋2∠BCF＝130°，∴2∠F＝50°，∴∠F＝25°. （3）猜想∠F，∠A，∠D之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（3）∠F＝ （∠A＋∠D－180°），理由如下：∵∠A＋∠D＋∠ABC＋∠BCD＝360°，∠ABC＝180°－∠ABE，∠ABE＝2∠EBF，∠BCD＝2∠BCF，∠EBF＝∠F＋∠BCF，∴∠A＋∠D＋180°－∠ABE＋2∠BCF＝360°，∴∠A＋∠D－2∠EBF＋2∠BCF＝180°，∴∠A＋∠D－2（∠F＋∠BCF）＋2∠BCF＝180°，即2∠F＝∠A＋∠D－180°，∴∠F＝ （∠A＋∠D－180°）. THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.4　平行四边形的判定定理（第1课时） 平行四边形的判定： （1）一组对边 　平行并且相等　的四边形是平行四边形. （2）两组对边 　分别相等　的四边形是平行四边形. 平行并且相等　 分别相等　 1. 如图，下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　A　） A. ∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC B. AB∥AD，AO＝CO C. AB＝AD，BC＝CD D. AB∥AD，AD＝BC 第1题图　 A 2. 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF与GH相交于点O，其中平行四边形有（　D　） A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 9个 D 第2题图 3. 在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，2），B（4，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　B　） A. （－3，2） B. （－2，2） C. （5，2） D. （3，－2） B 4. 下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是(　　) A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形 D 5. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是 　AB＝CD（答案不唯一）　. 第5题图 AB＝CD（答案不唯一）　 6. 如图，在四边形ABCD中，BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11－x，BC＝x－5.当x＝ 　8　时，四边形ABCD是平行四边形. 第6题图　　 8　 7. 如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上任意一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，图中与线段AF相等的线段是 　DE，BE　. 第7题图 DE，BE　 8. 在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F. 第8题图 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形. 【答案】（1）证明略　 （2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长. 【答案】（2）3 第8题图 9. 如图，点A，B，C，D在网格中小正方形的格点处，AD与BC相交于点O. 若小正方形的边长为1，则AO的长是（　D　） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 第9题图　　 D 10. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动.如果点E，F同时出发，当四边形AEFC是平行四边形时，运动时间t的值是（　B　） A. 2s B. 6s C. 8s D. 2s或6s 第10题图 B 11. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE. 第11题图 （1）求证：四边形AFCD是平行四边形. 【答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF，在△ECD和△EAF中， ∵ ∴△ECD≌△EAF（AAS）， ∴CD＝AF，∵CD∥AF，CD＝AF， ∴四边形AFCD是平行四边形. 第11题图 （2）若CD＝2 ，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长. 【答案】（2）∵BC＝6CE＝12，∴CE＝2，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AE＝CE＝2，AF＝CD＝2 ，∴AC＝2AE＝4，∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝ ＝ ＝4 ， ∴BF＝AB－AF＝4 －2 ＝2 ， ∴BF的长是2 . 第11题图 12. （1）小刚遇到一个这样的问题：如图1，两条相等的线段AB，CD交于点O，∠AOC＝60°，连结AC，BD，求证：AC＋BD≥CD. 通过尝试，他发现通过平移可以解决这个问题. 第12题图 证明：过点C作AB∥CE且使AB＝CE，连结BE， ∴四边形ABEC为平行四边形，AC＝ 　BE　， ∵AB∥CE，∴∠DCE＝∠ 　AOC　＝60°， 又∵CD＝AB＝CE， ∴△DCE为等边三角形，∴CD＝ 　DE　， ∴AC＋BD＝BE＋BD≥DE＝CD，即AC＋BD≥CD. 请完成证明中的三个填空，并参考小刚思考的方法，解决下列问题. BE　 AOC　 DE　 第12题图 （2）如图2，AB与CD相交于点O，AC＝3，BD＝4，AB＝5，∠AOC＝45°，∠ACD＋∠ABD＝225°，求线段CD的长. 【答案】（2）过点A作AF∥CD，过点D作DF∥AC，两直线交于点F，连结BF，则四边形ACDF是平行四边形，∴∠FAB＝∠AOC＝45°，∠C＝∠AFD，AC＝DF＝3，∵∠ABD＋∠C＝225°，∴∠ABD＋∠DFA＝225°，∴∠FDB＝360°－225°－45°＝90°，∴△FDB是直角三角形，∵DF＝3，BD＝4 ，∴由勾股定理得FB＝ ＝5，∴AB＝FB，∴∠BAF＝∠AFB＝45°，∴∠ABF＝90°， ∴由勾股定理可得AF＝ ＝5 ， ∵四边形ACDF是平行四边形， ∴CD＝AF＝5 . THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.4　平行四边形的判定定理（第2课时） 平行四边形的判定：对角线 　互相平分　的四边形是平行四边形. 互相平分　 1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AO＝CO，添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　A　） A. BO＝DO B. ∠ABD＝∠ADB C. AC⊥BD D. AB＝CD A 2. 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，－5），（－2，－2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在 （　A　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A 4.如图，在四边形ABCD中，AO＝CO＝5，BO＝DO＝3，AD⊥BD，则此四边形的面积是（　C　） A. 14 B. 18 C. 24 D. 16 A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等 3. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是(　　) D C 第4题图　　 5. 如图，木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是平行四边形，判断的依据是 　对角线互相平分的四边形是平行四边形　. 　 第5题图　　 第6题图　 对角线互相平分的四边形是平行四边形　 6. 如图，AD为△ABC的中线，AB＝9，AC＝12，延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE，则四边形ABEC的周长是 　42　. 42　 7. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE，S△AEF＝7，图中有 　2　个平行四边形，四边形BCFD的面积是 　28　. 第7题图 2　 28　 8. 如图，▱ABCD的对角线交于点O. M，N，P，Q分别是▱ABCD四条边上不重合的点.下列条件能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 　①②　（填序号）. 第8题图 ①AQ＝CN，AM＝CP；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，AQ＝CN. ①②　 9. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连结AE，AF，CE，CF。 (1)求证：四边形AECF是平行四边形。 (2)若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5。求BD的长。 【答案】(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD。因为E是OB的中点，所以OE＝ OB。同理：OF＝ OD，所以OE＝OF，所以四边形AECF是平行四边形。 (2)由(1)可知OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD。因为AB⊥AC，所以∠BAC＝90°。因为AB＝3，BC＝5，根据勾股定理得AC＝＝ ＝4，所以OA＝ AC＝2。在Rt△AOB中，由勾股定理得OB＝ ＝ ＝ ，所以BD＝2OB＝2 。 10. 如图，▱ABCD中，AB＞AD，∠ABC为锐角，O是对角线BD的中点.某数学学习小组要在BD上找两点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案是 　甲、乙、丙　. 甲、乙、丙　 甲：分别取DO，BO的中点E，F. 乙：作AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD. 丙：分别作AE，CF垂直BD于点E，F. 11. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（－1，1），请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是 　（－2，0）或（2，0）或（0，2）　. （－2，0）或（2，0）或（0，2）　 12. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝2EF＝FD，连结AE，EC，CF，FA. 第12题图 （1）求证：四边形AECF是平行四边形. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝FD，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形. （2）若△ABE的面积等于8，求△CFO的面积. 【答案】（2）∵BE＝2EF，∴S△ABE＝2S△AEF＝8，∵四边形AECF是平行四边形，∴S△AEF＝S△CEF＝4，∵OE＝OF，∴S△CFO＝ S△CEF＝2. 13. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”. 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等. 理解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD. 第13题图 应用：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连结CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A'CD. 若△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，请直接写出△ABC的面积. 【答案】分为两种情况：①如图1，∵S△ACD＝S△BCD，∴AD＝BD＝ AB，∵沿CD折叠使点A和点A'重合，∴AD＝A'D＝ AB＝ ×4＝2，∵△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，∴S△DOC＝ S△ABC＝ S△BDC＝ S△ADC＝ S△A'DC，∴DO＝OB，A'O＝CO，∴四边形A'DCB是平行四边形，∴BC＝A'D＝2，过点B作BM⊥AC于点M，∵AB＝4，∠BAC＝30°，∴BM＝ AB＝2＝BC，即点C和点M重合， ∴∠ACB＝90°，由勾股定理得： AC＝ ＝2 ，∴△ABC的面积是 ×BC×AC＝ ×2×2 ＝2 ； ②如图2，∵S△ACD＝S△BCD，∴AD＝BD＝ AB，∵沿CD折叠使点A和点A'重合，∴AD＝A'D＝ AB＝ ×4＝2，∵△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，∴S△DOC＝ S△ABC＝ S△BDC＝ S△ADC＝ S△A'DC，∴DO＝OA'，BO＝CO，∴四边形A'BDC是平行四边形，∴A'C＝BD＝2，过点C作CQ⊥A'D于点Q，∵A'C＝2，∠DA'C＝∠BAC＝30°， ∴CQ＝ A'C＝1，∴S△ABC＝2S△ADC＝2S△A'DC＝ 2× ×A'D×CQ＝2× ×2×1＝2.综上， △ABC的面积是2或2 . THANK YOU！ $第四章　平行四边形 4.3　图形的旋转(第2课时) 1. 定义：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做 　中心对称图形　，这个点叫做 　对称中心　. 2. 中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个 　对称点　的线段.在直角坐标系中，点（x，y）与点 　（－x，－y）　关于原点成中心对称. 3. 平行四边形性质：平行四边形是 　中心　对称图形， 　两条对角线的交点　是它的对称中心. 中心对称图形　 对称中心　 对称点　 （－x，－y）　 中心　 两条对角线的 交点　 1. （盐城中考）下列图形中，属于中心对称图形的是（　B　） A. 　 B. 　 C. 　 D. B 2. 下列说法正确的是（　C　） A. 关于中心对称的两个图形不一定全等 B. 全等的两个三角形必关于一个点对称 C. 一个中心对称图形只有一个对称中心 D. 平行四边形不是中心对称图形 C 3. 如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且OA＝3，△ABC的高OB＝2，则△ABC的面积是（　D　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 第3题图 D 4. 已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a，b的值是(　　) D A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1 C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1 5. 在“线段、圆、等边三角形”中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为 　线段、圆　. 6. 能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有 　无数　条，它们的共同特点是 　均经过两条对角线的交点　. 7. 如图是一个中心对称图形，点A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB'的长为 　4　. 第7题图　 线段、圆　 无数　 均经过两条对角线的交点　 4　 8. 如图，图形是由五个形状、大小都相同的正方形组成的，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 　2　种. 第8题图 2　 9. 如图，在4×4的方格纸中（每个小方格的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上. （1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形. 【答案】（1）如图1，△DEC为所求作.（答案不唯一） （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形. 【答案】（2）如图2，△ADC为所求作.（答案不唯一） （3）在图3中，画出所有格点△BCD，使△BCD为等腰直角三角形，且S△BCD＝4. 【答案】（3）如图3，△BCD和△BCD'为所求作. 10. 已知点P(－1－2a，2a－4)关于原点的对称点在第一象限，则整数a的值是(　　) C A．1 B．0 C．0，1 D．0，1，2 11.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，……如此作下去，则△B2025A2025B2024的顶点A2025的坐标是 　（4049， . （4049， ）　 12. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABC称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（0，1），B（2，0），C（4，4）. （1）画出“基本图形”关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标.A1（ 　0　， 　－1　），B1（ 　－2　， 　0　），C1（ 　－4　，  　－4　）. 【答案】（1）如图所示，△A1B1C1为所求作. 0　 －1　 －2　 0　 －4　 －4　 （2）画出“基本图形”关于x轴对称的△A2B2C2. 【答案】（2）如图所示，△A2B2C2为所求作. （3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABC面积的 ，求点P的坐标. 【答案】（3）设点P坐标为（0，a）.因为S△ABC＝4×4－ ×4×2－ ×4×3－ ×2×1＝5，则S△ABP＝ ×2×｜a－1｜＝5× ，解得a＝－1或3，∴点P的坐标为（0，3）或（0，－1）. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（－7，1），∠AOB＝135°，OB＝5，求点B的坐标. 【答案】过点A作AM⊥BO，与BO的延长线交于点M，过点M作MD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥DM，与DM的延长线交于点E，∴∠AMO＝∠E＝∠ODM＝90°，∵∠AOB＝135°，点A的坐标是（－7，1），∴∠AOM＝180°－∠AOB＝180°－135°＝45°， ∴∠OAM＝90°－∠AOM＝90°－45°＝ 45°＝∠AOM，∴AM＝OM， ∵OA2＝AM2＋OM2＝2OM2，∴OM＝ OA或OM＝－ OA（负值不符合题意，舍去），∴AM＝OM＝ OA＝ × ＝5，∵∠AMO＝∠E＝∠ODM＝ 90°，∴∠AME＋∠OMD＝∠OMD＋∠MOD＝90°，∴∠AME＝∠MOD，在△AEM和△MDO中，∵ ∴△AEM≌△MDO（AAS），∴AE＝MD，ME＝OD，设M（m，n），∴ 解得 ∴M（－4，－3），OM＝ ＝5，∵OB＝5，∴OM＝OB＝5，∴点M，B关于点O对称，∴B（4，3），故答案为（4，3）. THANK YOU！ $