第4章　平行四边形 习题课件 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

第4章　平行四边形 4．2　平行四边形及其性质(3) D B 提升能力 挑战自我 基础夯实 3 5 20 A 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 2 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 学无止境 本课结束 学无止境 1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定成立的是( ) A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AO＝CO 2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( ) A．13 B．17 C．20 D．26 3．若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是( ) A．4和8 B．12和2 C．4和6 D．3和4 4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2，则AB的长为______， BC的长为______． 5．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形 ABCD的周长为_______． 6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE. 求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB. ∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF，∴OE＝OF. 在△BEO和△DFO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝OD，,∠BOE＝∠DOF，,OE＝OF，)) ∴△BEO≌△DFO(SAS)，∴BE＝DF. 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H.若AB＝2，BC＝2 eq \r(3) ，则AH的长为__________． 8．如图，∠AOB＝30°，OB＝4，P为射线OA上任意一点，连结PB.以PO，PB为邻边作平行四边形POQB，连结PQ，则线段PQ的最小值为____． eq \f(2\r(3),3) 9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3. (1)求AC的长． (2)求△AOD的面积． 解：(1)设AC＝2x，BD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝ eq \f(1,2) AC＝x，OB＝ eq \f(1,2) BD＝ eq \f(3,2) x，在Rt△AOB中，OA2＋AB2＝OB2， ∴x2＋22＝( eq \f(3,2) x)2，解得x＝ eq \f(4\r(5),5) ，∴AC＝ eq \f(8,5) eq \r(5) . (2)S△AOD＝S△AOB＝ eq \f(4,5) eq \r(5) . 10．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连结DE. (1)求证：DE⊥BE. (2)设CD与OE相交于点F，若OF2＋FD2＝OE2，CE＝3，DE＝4，求线段CF的长． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. ∵OB＝OE，∴OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE.∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB.∵∠OBE＋∠OEB＋∠ODE＋∠OED＝180°， ∴∠OEB＋∠OED＝90°，∴DE⊥BE. (2)解：由(1)知OE＝OD，又∵OF2＋FD2＝OE2， ∴OF2＋FD2＝OD2，∴△OFD为直角三角形，且∠OFD＝90°.在Rt△CED中， ∵∠CED＝90°，CE＝3，DE＝4， ∴CD2＝CE2＋DE2，∴CD＝5. 又∵ eq \f(1,2) CD·EF＝ eq \f(1,2) CE·DE，∴EF＝ eq \f(12,5) . 在Rt△CEF中，根据勾股定理，得CF＝ eq \f(9,5) . $第4章　平行四边形 4．2　平行四边形及其性质(2) C C 提升能力 挑战自我 基础夯实 7或17 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 A D 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 学无止境 本课结束 学无止境 1．如图，已知直线m∥n，下列线段中，其长度可以表示直线m与n之间的距离的是( ) A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可 2．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，△PCD的面积将( ) A．变大 B．变小 C．不变 D．变大变小要看点P向左还是向右移动 3．如图，在▱ABCD中，P是AB上一点，E，F分别是BC，AD的中点，连结PE，PC，PD，PF.若▱ABCD的面积为1，则S△PCE＋S△PDF＝_______． eq \f(1,4) 4．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，则AB与EF的距离等于________cm. 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC＝21，BE⊥AC于点E，且BC＝14，BE＝6.求AD与BC之间的距离． 解：过点A作AF⊥BC于点F，由S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AF＝ eq \f(1,2) AC·BE得AD，BC之间的距离为9. 6．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是( ) A．2 eq \r(17) B．2 eq \r(5) C．4 eq \r(2) D．7 7．如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF，BF.有下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB.其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE＝4 cm，AF＝6 cm，▱ABCD的周长为40 cm，求▱ABCD的面积． 解：设AB＝x cm，BC＝y cm， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝40，,6x＝4y，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝12，)) ∴S▱ABCD＝4×12＝48(cm2). 9．如图，已知在▱ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2 eq \r(13) . (1)求▱ABCD的面积． (2)求证：DB⊥BC. 解：(1)过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.设BE＝x，CE＝h，在Rt△CEB中，x2＋h2＝9①，在Rt△CEA中，(5＋x)2＋h2＝52②， 联立①②，解得x＝ eq \f(9,5) ，h＝ eq \f(12,5) ，∴▱ABCD的面积＝AB·h＝12. (2)过点D作DF⊥AB于点F，则∠DFA＝∠CEB＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠CBE，∴△ADF≌△BCE(AAS)，∴AF＝BE＝ eq \f(9,5) ，DF＝CE＝ eq \f(12,5) ，∴BF＝AB－AF＝ eq \f(16,5) ，∴在Rt△DFB中，BD＝ eq \r(DF2＋BF2) ＝ eq \r(（\f(12,5)）2＋（\f(16,5)）2) ＝4.又∵BC＝3，DC＝AB＝5，∴CD2＝BD2＋BC2，∴DB⊥BC. $第4章　平行四边形 4．3　图形的旋转(2) A A 能力提升 素养拓展 基础夯实 D C 能力提升 素养拓展 基础夯实 (－1，－3) (1，－3) －1 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 2 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 学无止境 本课结束 学无止境 1．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院(简称“中科院”)成立．下列是中科院部分研究所的图标，是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 2．点M(1，－2)关于原点对称的点的坐标是( ) A．(－1，2) B．(1，2) C．(－1，－2) D．(－2，1) 3．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等．其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．图1和图2中所有的小正方形都相等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( ) A．① B．② C．③ D．④ 5．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图 形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐 标为(1，3)，则点M和点N的坐标分别为M____________，N____________. 6．在平面直角坐标系中，点P(3，1－a)与点Q(b＋2，3)关于原点对称，则a＋b＝____________． 7．如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图． (1)如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上． (2)如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上． (3)如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上． 解：如图： (1)线段AC即为所作(答案不唯一). (2)线段EF即为所作(答案不唯一). (3)四边形ABPQ即为所作(答案不唯一). 8．平面直角坐标系中有A(2，3)，B(－4，1)，C(－2，－3)和D四个点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则平行四边形的对称中心是( ) A．(0，0) B．(－1，2) C．(－3，－1) D．以上都是 9．如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是AB边上的点，且EF＝ eq \f(1,2) AB，G，H是BC边上的点，且GH＝ eq \f(1,3) BC.若S△EOF＝3，则S△OGH＝______． 10．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，4). (1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1. (2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2. (3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标． 解：(1)略．　(2)略． (3)作A点关于x轴的对称点A′，连结A′B与 x轴交于点P，则点P为所求，图略，P(2，0). 11．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋3关于原点对称的直线的函数表达式为______________． (2)在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，已知点C(4，0)，B(6，2)，直线y＝2x＋b将▱OABC的面积平分，求b的值． 解：(1)若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k的值不变．与y轴的交点关于原点对称，即b的值互为相反数，∴直线y＝2x＋3关于原点对称的直线的表达式为y＝2x－3. (2)连结AC，OB交于点E，当直线y＝2x＋b过点E时，直线将▱OABC的面积平分．∵四边形OABC是平行四边形， ∴E为OB的中点，∴点E的坐标为(3，1). 将点E的坐标代入y＝2x＋b，得b＝－5. $第4章　平行四边形 4．1　多边形(1) D B 提升能力 挑战自我 基础夯实 A 提升能力 挑战自我 基础夯实 4π 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 D 80° 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 学无止境 本课结束 学无止境 1．如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是( ) A．154° B．144° C．134° D．124° 2．如图，在△ABC中，已知∠A＝60°，则∠1＋∠2＝( ) A．300° B．240° C．150° D．120° 3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是120°，则∠α的值为( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 4．如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点P，则∠P＝_________． 5．一块四边形的绿化园地，四角都建有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为________． eq \f(1,2) α 6．如图，在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶7∶6. (1)试求∠A，∠B，∠C，∠D的度数． (2)试说明AB∥CD. 解：(1)设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为2x，7x，6x. ∴3x＋2x＋7x＋6x＝360°，解得x＝20°， ∴∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝140°，∠D＝120°. (2)∵∠A＝60°，∠D＝120°，∴∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD. 7．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的度数是( ) A．70° B．110° C．140° D．150° 8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠B与∠ADC互为补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折，得到△DC′E.若AB∥C′E， DC′平分∠ADE，则∠A的度数为_________． 9．如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC.若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC＋∠ADC＝360°－180°＝180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF＋∠EBF＝90°. ∵BE∥DF，∴∠EBF＝∠CFD，∴∠CDF＋∠CFD＝90°， ∴△DCF为直角三角形． 10．我们探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，请解决下面的问题： (1)如图1，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝180°，则∠AOB＋∠COD＝________.(直接写出结果) (2)连结AD，BC，若AO，BO，CO，DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线． ①如图2，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为________；(直接写出结果) ②如图3，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由． 解：(1)180°. (2)①70°； ②AB∥CD，理由如下： ∵AO，BO，CO，DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线， ∴∠OAB＝ eq \f(1,2) ∠DAB，∠OBA＝ eq \f(1,2) ∠CBA，∠OCD＝ eq \f(1,2) ∠BCD， ∠ODC＝ eq \f(1,2) ∠ADC，∴∠OAB＋∠OBA＋∠OCD＋∠ODC＝ eq \f(1,2) ×360°＝180°. 在△OAB中，∠OAB＋∠OBA＝180°－∠AOB， 在△OCD中，∠OCD＋∠ODC＝180°－∠COD， ∴180°－∠AOB＋180°－∠COD＝180°，∴∠AOB＋∠COD＝180°， ∴∠AOD＋∠BOC＝360°－(∠AOB＋∠COD)＝360°－180°＝180°. ∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝∠BOC＝90°. 在△AOD中，∠DAO＋∠ADO＝180°－∠AOD＝90°， ∴ eq \f(1,2) ∠DAB＋ eq \f(1,2) ∠ADC＝90°，∴∠DAB＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD. $第4章　平行四边形 4．6　反证法 C A C 提升能力 挑战自我 基础夯实 C 提升能力 挑战自我 基础夯实 ∠A，∠B都大于45° ＞ ＞ 45° 90° 三角形内角和为180° 假设 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 丙 丁 BE，CD互相平分 平行四边形 BD EC △ABC是三角形 假设 BE，CD不能互相平分 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 学无止境 本课结束 学无止境 1．已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法证明这个结论，可假设( ) A．∠A＝∠B B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C 2．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”为假命题的反例是( ) A．a＝－2 B．a＝－1 C．a＝1 D．a＝2 3．用反证法证明“若实数a，b满足ab＝0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设( ) A．a，b中至多有一个是0 B．a，b中至少有两个是0 C．a，b都不等于0 D．a，b都等于0 4．“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．下面写出了用于证明这个命题过程中的四个推理步骤：①所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应该是( ) A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①② 5．求证：在直角三角形中至少有一个角不大于45°. 已知：△ABC中，∠C＝90°. 求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°. 证明：假设__________________________， 则∠A_______45°，∠B_______45°， ∴∠A＋∠B＋∠C＞45°＋_______＋_______，这与_____________________相矛盾．所以_______不能成立，所以∠A，∠B中至少有一个不大于45°. 6．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC. 证明：设AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB， ∵AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点， ∴BE＝CD，∴△BCD≌△CBE， ∴BD＝CE，与BD≠CE相矛盾，∴AB≠AC. a 7．甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么说实话的小朋友是_______，闯祸的是_______． 8．已知D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连结BE，CD交于点F.用反证法证明：BE，CD不能互相平分． 证明：假设_____________________，连结DE， 则四边形BDEC是______________， ∴_______∥_______，这与_____________________相矛盾， ∴_______不成立，所以______________________． 9．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的中点，DE∥BC交AC于点E. 请你用反证法证明：AE＝CE. 　 证明：假设AE≠CE，即E不是AC的中点． 取AC边的中点F，连结DF. ∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥BC. ∵DE∥BC，与“过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线”矛盾． ∴假设不成立，∴AE＝CE. 10．设a，b，c是不全相等的任意实数，若x＝b2－ac，y＝c2－ab，z＝a2－bc.求证：x，y，z至少有一个大于零． 证明：假设x，y，z都小于等于零，则b2－ac＋c2－ab＋a2－bc≤0， 2b2－2ac＋2c2－2ab＋2a2－2bc≤0， (a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≤0， 若(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0， 则a＝b＝c，这与题目a，b，c不全相等矛盾，若(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＜0，这与偶次方的非负性矛盾， ∴假设不成立，∴x，y，z至少有一个大于零． $第4章　平行四边形 4．1　多边形(2) B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 C C 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 130 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 40° 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 学无止境 1．五边形的内角和为( ) A．360° B．540° C．720° D．900° 2．将一个n边形变成n＋1边形，内角和将( ) A．减少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360° 3．如图，小明从点A出发，沿直线前进8 m后向左转45°，再沿直线前进8 m，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走了( ) A．80 m B．96 m C．64 m D．48 m 　　　 　 4．已知一个多边形的每个内角都是120°，则这个多边形的对角线共有( ) A．5条 B．6条 C．9条 D．14条 5．如图所示，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是( ) A．110° B．108° C．105° D．100° 6．图中x的值为__________． 7．如图，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，垂足为E，∠D＝170°，∠A＝∠B，∠B－∠C＝50°，求∠A的度数． 解：五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°， 设∠A＝x°，则∠B＝x°，则∠C＝x－50°， 根据题意得：90＋x＋x＋(x－50)＋170＝540， 解得x＝110.即：∠A＝110°. 8．小明在计算某多边形的内角和时，由于马虎漏掉了一个角，结果得到970°，则原多边形是一个( ) A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 9．如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O.若图中∠1，∠2，∠3，∠4的补角的和为220°，则∠BOD的度数是______． 10．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和对角线的条数． 解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°(n－2)，依题意，得 180(n－2)＝360×3－180，解得n＝7， 对角线条数： eq \f(（7－3）×7,2) ＝14. 答：这个多边形的边数是7，对角线有14条． 11．看图回答问题： (1)内角和为2 017°，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和． (3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出吗？是多少度呢？ 解：(1)因为2 017°不是180°的整数倍． (2)设小华求的是n边形的内角和，则有(n－2)×180°＜2 017°， 因为小华多加的外角必小于180°，所以解得n＝13. (3)设多加的外角为x°，则有(13－2)×180＋x＝2 017， 解得x＝37，所以多加的外角度数为37°. $第4章　平行四边形 4．3　图形的旋转(1) C B 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 90° 能力提升 素养拓展 基础夯实 3 90 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 学无止境 1．下列运动形式属于旋转的是( ) A．在空中上升的氢气球 　B．飞驰的火车 C．时钟上钟摆的摆动 　 D．运动员掷出的标枪 2.如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转 90°，点A的对应点的坐标是( ) A．(4，6) B．(6，4) C．(－6，－4) D．(－4，－6) 3．如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的．若∠BAP＝60°，则在旋转过程中，旋转中心是点______，旋转的角度为_______． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于______． 5．一个正方形绕着它的中心旋转一定角度后，就能与它自身重合，这个角度至少是_______°. 6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置． (1)如图1，当AB′⊥BC时，求∠BAB′的度数． (2)如图2，连结CC′，当CC′∥AB时，∠C′AB＝130°，求∠ACB的度数． 解：(1)设AB′⊥BC于点F，则∠AFB＝90°， ∵∠B＝30°，∴∠BAB′＝90°－∠B＝90°－30°＝60°. (2)∵CC′∥AB，∠C′AB＝130°，∴∠AC′C＝180°－∠C′AB＝180°－130°＝50°，∠BAC＝∠ACC′.由旋转得AC′＝AC，∴∠ACC′＝∠AC′C＝50°，∴∠BAC＝∠ACC′＝50°，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠B＝180°－50°－30°＝100°. 7．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连结BD，则下列结论一定正确的是( ) A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD 8．请按以下要求用无刻度直尺作图： (1)如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1. (2)如图2，设∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转α得△A′B′C，画出△A′B′C. 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． (2)如图所示，△A′B′C即为所求． 9.在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°＜α＜45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE. (1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点． (2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF＝DC，连结AE，AF，EF，请写出∠AEF的大小，并证明． (1)证明：由旋转的性质得： DM＝DE，∠MDE＝2α.∵∠C＝α，∴∠DEC＝∠MDE－∠C＝α， ∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DM＝DC，即D是MC的中点． (2)解：∠AEF＝90°； 证明：如图2，延长FE到点H使FE＝EH，连结CH，AH. ∵DF＝DC，∴DE是△FCH的中位线， ∴DE∥CH，CH＝2DE，∴∠FCH＝∠MDE＝2α. ∵∠B＝∠C＝α，∴∠ACH＝α，∴∠B＝∠ACH. 设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，BM＝CM＝m＋n， ∴DF＝CD＝n，∴FM＝DF－DM＝n－m， ∴BF＝BM－FM＝m＋n－(n－m)＝2m，∴CH＝BF. ∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACH(SAS)，∴AF＝AH，∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°. $第4章　平行四边形 4．2　平行四边形及其性质(1) C B 提升能力 挑战自我 基础夯实 2 提升能力 挑战自我 基础夯实 ①②④ 提升能力 挑战自我 基础夯实 26° 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 D C 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 学无止境 本课结束 学无止境 1．已知在▱ABCD中，∠B＋∠D＝160°，则∠B的度数为( ) A．160° B．100° C．80° D．60° 2．如图，在平行四边形ABCD中，若∠B＝60°，AB＝5 cm，则下列结论中，正确的是( ) A．BC＝5 cm，∠D＝60° B．∠C＝120°，CD＝5 cm C．AD＝5 cm，∠A＝60° D．∠A＝120°，AD＝5 cm 3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝____． 4．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个长方形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架．给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②BD的长度增大；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．其中正确的序号是__________． 5．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是________． 6．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连结BE，DF. 求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF.∵E，F是对角线AC的三等分点，∴AE＝CF.在△ABE和△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,∠BAE＝∠DCF，,AE＝CF，)) ∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE＝DF. 7．如图，在▱ABCD中，AE，AC分别是BC，CD的垂线，∠EAC＝60°.若AE＝ eq \r(3) ，则▱ABCD的周长为( ) A．4 eq \r(3) B．10 C．6 eq \r(3) D．12 8．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是( ) A．22 B．20 C．22或20 D．18 9．如图，在▱ABCD中，∠B＝80°，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，∠ACE＝2∠ECD. (1)求∠BAC的度数． (2)若FC＝4，FD＝2，求▱ABCD的周长． 解：(1)在▱ABCD中，∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°－∠B＝100°. ∵BCA＝∠ACE，∠ACE＝2∠ECD，∴∠BCD＝∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝5∠ECD＝100°，∴∠ECD＝20°，∴∠BCA＝2∠ECD＝40°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠BCA＝180°－80°－40°＝60°. (2)在△EFA与△DFC中，∠E＝∠B＝∠D，AE＝AB＝DC，∠EFA＝∠DFC，∴△EFA≌△DFC(AAS)，∴EF＝DF＝2，AF＝CF＝4，∴AD＝BC＝6，由(1)得∠CFD＝∠D＝80°，∴AB＝CD＝CF＝4，∴▱ABCD的周长＝AD＋BC＋CD＋AB＝6＋6＋4＋4＝20. 10．如图，在▱ABCD中，过点C作CH⊥AB于点H，过点B作AC的垂线，分别交CH，AC，AD于点E，F，G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC. (1)若BE＝10，BC＝25，求DG的长． (2)连结HF，求证：HA＝ eq \r(2) HF－HE. 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝25，∠ABC＋∠BAG＝180°. ∵∠ABC＝∠BEH，∴∠CEB＋∠ABC＝180°，∴∠BAG＝∠CEB. ∵∠ABG＋∠BEH＝90°，∠ECB＋∠ABC＝90°，∴∠ABG＝∠ECB. ∵BG＝BC，∴△BAG≌△CEB(AAS).∴GA＝BE＝10，∴DG＝AD－GA＝15. (2)如图，过点F作FN⊥HF，交BA的延长线于点N.∵△BAG≌△CEB，∴AB＝EC. ∵∠ABG＋∠BAC＝∠ECB＋∠ABC＝90°，∠ABG＝∠ECB，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC.又∵CH⊥AB，∴∠ACH＝∠ECB＝∠ABG.∴△ABF≌△ECF(AAS)，∴AF＝EF.∵∠HFN＝∠EFA＝90°，∴∠AFN＝∠EFH.∵∠BAC＝∠ABC＝∠BEH，∴∠NAF＝∠HEF.∴△ANF≌△EHF(ASA)，∴NA＝HE，NF＝HF，∴△HFN是等腰直角三角形，∴HN＝ eq \r(2) HF，∴HA＝ eq \r(2) HF－NA＝ eq \r(2) HF－HE. $第4章　平行四边形 4．5　三角形的中位线 D B 提升能力 挑战自我 基础夯实 C 2 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 B 1 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 PM＝PN PM ⊥ PN 提升能力 基础夯实 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 学无止境 本课结束 学无止境 1．如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点．若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B的度数为( ) A．20° B．45° C．65° D．70° 2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，FD得△DEF.如果△ABC的周长是24 cm，那么△DEF的周长是( ) A．6 cm B．12 cm C．18 cm D．24 cm 3．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝130°，则∠PFE的度数是( ) A．15° B．20° C．25° D．30° 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．若CD＝2，则线段EF的长是______． 5．如图所示，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连结BH，点G，F分别为BH，CH的中点． (1)求证：四边形DEFG为平行四边形． (2)DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度． (1)证明：∵DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，∴DE∥BC，DE＝ eq \f(1,2) BC，GF∥BC，GF＝ eq \f(1,2) BC，∴DE∥GF，DE＝GF，∴四边形DEFG为平行四边形． (2)解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2.∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°， ∴BG＝ eq \r(BD2－DG2) ＝ eq \r(32－22) ＝ eq \r(5) . 6．如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD＝ eq \f(1,2) BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF＝BC，连结DF.若AB＝4，则DF的长为( ) A．3 B．2 C．2 eq \r(2) D． eq \r(3) 7．如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E，F，G分别为AB，AC，BC的中点．若DE＝1，则FG＝____． 8．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3. (1)求证：BN＝DN. (2)求△ABC的周长． 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2.∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN. (2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10.∵DN＝BN，点M是BC的中点， ∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6， ∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41. 9．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连结DC，M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是___________． (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，连结MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由． (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值． 解：(2)△PMN是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转可知∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.易得PN＝ eq \f(1,2) BD，PM＝ eq \f(1,2) CE，∴PM＝PN. 易得PM∥CE，PN∥BD，∴∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC. ∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC＝90°. ∴△PMN是等腰直角三角形． (3)如图，连结AM，AN，可得AN＝5 eq \r(2) ，AM＝2 eq \r(2) . ∵△PMN是等腰直角三角形，∴MN取最大值时，△PMN的面积最大， ∴当DE∥BC且DE与BC在点A的异侧时，MN最大＝AM＋AN＝7 eq \r(2) ， ∴S△PMN最大＝ eq \f(1,2) PM2＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) MN2＝ eq \f(1,4) ×(7 eq \r(2) )2＝ eq \f(49,2) . $第4章　平行四边形 4．4　平行四边形的判定定理(2) C 提升能力 挑战自我 基础夯实 C 提升能力 挑战自我 基础夯实 (0，3) 提升能力 挑战自我 基础夯实 OA＝OC(答案不唯一) 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 B 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 学无止境 本课结束 学无止境 1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD 2．综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．(1)～(3)是其作图过程．(1)作BD的垂直平分线交BD于点O；(2)连结AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；(3)连结DC，BC，则四边形ABCD即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，－3)，C(2，0)，要使四边形ABCD成为平行四边形，则点D的坐标为__________． 4．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上，AC，EF相交于点O，请你添加一个条件(只添一个即可)，使四边形AECF是平行四边形：________________________． 5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连结AE，EC，CF，FA. (1)求证：四边形AECF是平行四边形． (2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO.∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形． (2)解：∵BE＝EF，∴S△ABE＝S△AEF＝2， ∵四边形AECF是平行四边形，∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，∴S△CFO＝1. 6．某人设计装饰地面图案，拟以长为22 cm，16 cm，18 cm的三条线段中的两条为对角线，另一条为边，画出不同形状的平行四边形．他可以画出形状不同的平行四边形的个数为( ) A.1 B．2 C．3 D．4 7．如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE，交AD于点F，且AE＝EF. 求证：BF＝AC. 　 证明：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连结BG，CG. ∵D是BC的中点，∴四边形ABGC为平行四边形， ∴BG∥AC，BG＝AC，∴∠AGB＝∠EAF. 又∵AE＝EF，∴∠EFA＝∠EAF. 又∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠AGB＝∠BFG，∴BG＝BF，∴BF＝AC. 8．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线上的两个动点(点E，F始终在▱ABCD的外面)，且DE＝ eq \f(1,2) OD，BF＝ eq \f(1,2) OB，连结AE，CE，CF，AF. (1)求证：四边形AFCE为平行四边形． (2)若DE＝ eq \f(1,3) OD，BF＝ eq \f(1,3) OB，上述结论还成立吗？若DE＝ eq \f(1,n) OD，BF＝ eq \f(1,n) OB呢？ (3)若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AECF的周长． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵DE＝ eq \f(1,2) OD，BF＝ eq \f(1,2) OB，∴DE＝BF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形． (2)解：成立．∵DE＝ eq \f(1,3) OD，BF＝ eq \f(1,3) OB，∴DE＝BF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴若DE＝ eq \f(1,n) OD，BF＝ eq \f(1,n) OB，则四边形AFCE为平行四边形． (3)解：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD.∵OA＝OC，∴OE⊥AC，∴OE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE.∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm，∴C四边形AECF＝2(AE＋CE)＝40 cm. $第4章　平行四边形 4．4　平行四边形的判定定理(1) C D 提升能力 挑战自我 基础夯实 B 提升能力 挑战自我 基础夯实 16 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 (4，2)或(－4，2)或(2，－2) 基础夯实 提升能力 挑战自我 1 基础夯实 提升能力 挑战自我 基础夯实 提升能力 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 提升能力 基础夯实 挑战自我 学无止境 本课结束 学无止境 1．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C 2．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是( ) A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 3．如图，▱ABCD中，点E，F分别为边AB，DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE.小宇测得长边CD＝8，则四边形A′EBC的周长为____． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连结CC′，则四边形AB′C′C的周长为________________cm. (8＋2 eq \r(3) ) 6．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，CD＝2AB，E是CD的中点． (1)求证：四边形ABCE是平行四边形． (2)若AC＝6，AD＝10，求▱ABCE的面积． (1)证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥CE.∵点E是CD的中点，∴CD＝2CE.∵CD＝2AB，∴AB＝EC，∴四边形ABCE是平行四边形． (2)解：∵∠ACD＝90°，AC＝6，AD＝10，∴CD＝ eq \r(AD2－AC2) ＝8.∵CD＝2AB， ∴AB＝4，∴S平行四边形ABCE＝AB·AC＝4×6＝24. 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，2)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为____________________________． 8．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC的延长线于点F，EF＝ eq \r(3) ，则AB的长是____． 9．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧作等边△ABP，等边△ACQ，等边△BCR，那么四边形AQRP是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． 解：四边形AQRP是平行四边形． 证明：由SAS可证△ABC≌△PBR， 得AC＝PR， 又∵AC＝AQ，∴AQ＝PR. 同理可证△CAB≌△CQR(SAS)，得PA＝RQ， ∴四边形AQRP是平行四边形． 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝ eq \f(1,2) BC＝8. ①当点Q运动到点E和点B之间时，设运动时间为t，则3t－8＝6－t，解得t＝3.5. ②当点Q运动到点E和点C之间时，设运动时间为t，则8－3t＝6－t，解得t＝1. ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． $