第五章特殊平行四边形（习题课件） 2025-2026学年数学浙教版八年级下册

第五章　特殊平行四边形 5.1　矩形（第2课时） 矩形判定： （1）有 　三　个角是直角的四边形是矩形. 　　（2）对角线相等的 　平行四边形　是矩形. 三　 平行四边形　 1. 下列说法中，错误的是(　　) A A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．四个角都相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2. 四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，使四边形ABCD是矩形.①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC＝BD. 则正确的选法是（　B　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 以上都可以 3. 矩形的三个顶点的坐标分别是（－2，－3），（1，－3），（－2，－4），那么第四个顶点的坐标是（　A　） A. （1，－4） B. （－8，－4） C. （1，－3） D. （3，－4） B A 4. 如下图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线.依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（　D　） A. 　 B. 　 C. 　 D. D 5. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 　4　s后，四边形ABPQ成为矩形. 第5题图 4　 6. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB＝CD，EF＝GH. （2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是 　平行四边　形，根据的数学道理是 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　. 平行四边　 两组对边分别相等的四边形是平行四边形　 （3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是 　矩　形，根据的数学道理是 　有一个角是90°的平行四边形是矩形　. 矩　 有一个角是90°的平行四边形是矩形　 7. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD上一点，过点O作EF∥BC交AB，CD于点E，F，作GH∥DC交AD，BC于点G，H，连结EG. 已知GD＝EB＝4，则△AEG的面积等于 　8　. 8. 如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，且EF截AB，CD所得的两对同旁内角的平分线分别相交于点G，H. 求证：四边形EGFH是矩形. 8　 第8题图 第7题图 【答案】∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°.∵FG，EG分别平分∠CFE和∠AEF，∴∠GEF＝ ∠AEF，∠GFE＝ ∠CFE，∴∠GEF＋∠GFE＝90°，∴∠G＝90°，同理可得∠H＝90°.∵FH平分∠EFD，∴∠EFH＝ ∠EFD，∴∠GFE＋∠EFH＝ ∠CFE＋ ∠EFD＝90°， ∴四边形EGFH是矩形. 9. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点A到边CD的距离为5，则四边形ABCD的面积是 　25　. 第9题图 25　 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AE是∠FAC的平分线，DE∥AB，交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形. 第10题图 【答案】易知2∠FAE＝2∠B，∴∠FAE＝∠B，∴AE∥BC. 又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE＝DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形.又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形. 11. 在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，E是BD上一点，∠AEB＝∠BDC。 (1)如图1，求证：AE＝CD。 (2)如图2，▱AFCE的顶点F在BD上，若OF＝DE。 ①求证：四边形AFCE是矩形； ②求 的值。 【答案】　(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，所以∠ABD＝∠BDC。因为∠AEB＝∠BDC，所以∠ABD＝∠AEB，所以AE＝AB，所以AE＝CD。 (2)①因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB＝OD，AO＝CO。因为▱AFCE，所以AE＝CF，AE∥CF，所以∠AEB＝∠CFE。因为∠AEB＝∠BDC，所以∠CFE＝∠EDC，所以CF＝CD。在△COF和△CED中， 所以△COF≌△CED，所以OC＝CE，∠ACF＝∠DCE。因为AC⊥CD，所以∠ACD＝90°，即∠ACE＋∠ECD＝90°，所以∠ACE＋∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°。因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形AFCE是矩形；②因为四边形AFCE是矩形，所以OE＝OF，OA＝OC，因为OF＝DE，OC＝CE，则OE＝DE＝CE。设CE＝x，则AC＝2x，在Rt△AEC中，AE＝ x，所以CD＝ x，在Rt△ACD中，根据勾股定 理得，AD＝ ＝ x，所以 ＝ ＝ 。 12. 如图，矩形ABCD中，P是AD边上的动点，连结点P与AB边的中点E，将△APE沿PE翻折得到△OPE，延长PO交边BC于点F，作∠PFC的平分线FG，交边AD于点G. 第12题图 （1）若∠AEP＝35°，则∠PFG＝ 　55　°. 55　 （2）若AB＝2，且E，O，G三点共线，则AP＝ 　 . 　 THANK YOU！ $第五章　特殊平行四边形 5.2　菱形（第1课时） 1. 菱形定义：一组 　邻边　相等的平行四边形叫做菱形. 2. 菱形性质： （1）菱形的四条边 　都相等　. （2）菱形的对角线 　互相垂直　，并且每条对角线平分 　一组对角　. （3）菱形既是 　中心　对称图形，又是 　轴　对称图形，它至少有 　两　条对称轴. 邻边　 都相等　 互相垂直　 一组对角　 中心　 轴　 两　 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　D　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 D 2. 如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(　　) D A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm 3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　A　） A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14 4. 已知菱形的边长与一条对角线的长相等，则菱形最大的内角是（　B　） A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° A B 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为（1， ），则点C的坐标为 　（3， ）　. 第5题图 （3， ）　 6. （青岛中考）图1是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图2是一个菱形，将图2截去一个边长为原来一半的菱形得到图3，用图3镶嵌得到图4，将图4着色后，再次镶嵌便得到图1，则图4中∠ABC的度数是 　60°　. 第6题图 60°　 7. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别为AB，AC的中点.若MN＝2，则菱形ABCD的周长为 　16　. 第7题图　　 16　 8. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连结OH，OH＝2.若菱形ABCD的面积为16，则AB的长为 　2 . 第8题图 2 　 9. （西宁中考）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F. 第9题图 （1）求证：△ABE≌△ADF. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD（菱形的四条边相等），∠B＝∠D（菱形的对角相等）.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°（垂直的定义）.在△ABE和△ADF中，∵ ∴△ABE≌△ADF（AAS）. （2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长. 【答案】（2）设菱形的边长为x，∴AB＝CD＝x.∵CF＝2，∴DF＝x－2.∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x－2（全等三角形的对应边相等）.在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∴AE2＋BE2＝AB2（勾股定理），∴42＋（x－2）2＝x2，解得x＝5，∴菱形的边长是5. 第9题图 10. 如图，菱形 ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PB＋PE的最小值为 。 　 11. （铜仁中考）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F. 若DF＝ ，则BD的长为 　2 　（结果保留根号）. 第11题图 2 　 12. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH，求证：∠DHO＝∠DCO. 第12题图 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.又∵DH⊥AB，∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH. ∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC. 在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°，又∵DH⊥AB，∴∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO. 13. 如图1，某小区的大门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱EFGH是宽度为30cm的矩形，伸缩电动门中有20个全等的菱形，每个菱形的边长为30cm，大门的总宽度为10.3m（门框的宽度忽略不计）.（参考数据： ≈1.41） （1）当每个菱形的内角度数为60°（如图2）时，大门打开了多少米？ 【答案】（1）连结BD，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝30cm.∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝30cm，∴30×20＋30＝630（cm）＝6.3（m）.∵大门的总宽度为10.3m，∴大门打开的宽度＝10.3－6.3＝4（m），∴大门打开了4m. （2）当每个菱形的内角度数张开至90°时，大门未完全关闭，有一辆宽1.8m的轿车需进入小区，计算说明该车能否直接通过. 【答案】（2）该车不能直接通过.理由如下：∵AB＝AD＝30cm，∠A＝90°，在等腰直角三角形ABD中，由勾股定理可得BD＝ ＝30 （cm），∴30 ×20＋30＝（600 ＋30）cm≈8.76m.∵大门的总宽度为10.3m，∴大门打开的宽度＝10.3－8.76＝1.54（m）.∵1.54m＜1.8m，∴该车不能直接通过. THANK YOU！ $第五章　特殊平行四边形 5.3　正方形（第1课时） 1. 正方形定义：有一组 　邻边　相等，并且有一个角是 　直角　的平行四边形叫做正方形. 2. 正方形判定： （1）有一组邻边相等的 　矩形　是正方形. （2）有一个角是直角的 　菱形　是正方形. 邻边　 直角　 矩形　 菱形　 1.下列命题正确的是(　　) A A．两条对角线相等的菱形是正方形 B．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形 C．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2. 如图，要使平行四边形ABCD是正方形，需增加条件.在条件①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④∠ABC＝90°中选取两个作为条件，不 B 正确的是（　B　） A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ③和④ A. BC＝AC B. CF⊥BF C. BD＝DF D. AC＝BF 第3题图 3. （威海中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　D　） D 4. 如图，在由六个大小相同的小正方形组成的2×3的矩形网格中，去掉两条线段后，还有四个正方形.以下去掉两条线段的方法正确的是（　C　） A. 去掉MI，KN B. 去掉MB，MI C. 去掉AB，MB D. 去掉MI，NE 第4题图 5. 黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形.老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是 　正方形　. C 正方形　 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连结DE，DF，CD. 如果 　答案不唯一，如AC＝BC　，那么四边形DECF是正方形.（要求：①不再添加辅助线；②只需填一个符合要求的条件） 第6题图 答案不唯一，如AC＝BC　 7. 在平面直角坐标系中，一个四边形各顶点坐标分别为A（－1，－2），B（4，－2），C（4，3），D（－1，3），则四边形ABCD的形状是 　正方形　. 8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为E. 若四边形ABCD的面积为13，则BE＝ 　 . 正方 形　 　 （1）画一个面积是16的正方形. 【答案】（1）如图1中，正方形ABCD即为所求作. （2）画一个面积为10的正方形. 【答案】（2）如图2中，正方形ABCD 即为所求作. 9. 在如图所示的网格纸中，每一个小正方形的边长都为1，以格点为顶点按要求画图： 10.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形CFDE是正方形。 【答案】因为∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，所以∠ACB＝∠DEC＝∠DFC＝90°，所以四边形CFDE是矩形。因为CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，所以DE＝DF。所以四边形CFDE是正方形。 11. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为ts.连结DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝ 　3　s时，四边形DEBF为正方形. 第11题图 3　 12. 如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED. G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F. 求证：四边形ABCD是正方形. 第12题图 【答案】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°.∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BAD－∠BAE＝∠BCD－∠BCE，即∠EAD＝∠ECD. ∵∠AED＝∠CED，ED＝ED，∴△AED≌△CED，∴AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形. 第12题图 13. （玉林中考）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝ AB. 第13题图 （1）求证：四边形ABCD是正方形. 【答案】（1）∵OA＝OB，OC＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形.又∵OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形.又∵在△AOB中，OA＝OB，且三边满足OA2＋OB2＝（ AB）2＋（ AB）2＝AB2，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∵∠CBA＝90°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC， ∴四边形ABCD为正方形. （2）若H是AB上的一点（点H与点A，B不重合），连结DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F，G. 设四边形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形面积为S2，且S1＝S2，当AB＝2时，求AH的长. 【答案】（2）由题可得DH＝HE，∠DHE＝90°，∵∠AHB＝180°，∴∠DHA＋∠EHG＝90°，又∵∠AHD＋∠ADH＝90°，∴∠ADH＝∠EHG. 在△DAH与△HGE中， ∵ ∴△DAH≌△HGE（AAS），∴AH＝GE. 设AH＝x，则BH＝AB－AH＝2－x，BG＝HG－BH＝2－（2－x）＝x，可得S1＝x2，S2＝BH·BC＝2（2－x）＝4－2x，令S1＝S2，可得x2＝4－2x，解得x1＝ －1，x2＝－ －1（舍去）， 即AH＝ －1. THANK YOU！ $第五章　特殊平行四边形 专题提升六 以特殊平行四边形为背景的计算和证明 　特殊平行四边形的计算与证明 原题1　如图，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连结BC，O为AC的中点，过点C作CD∥AB交BO延长线于点D，且AC平分∠BCD，连结AD. （1）求证：四边形ABCD是菱形. 【答案】（1）证明：∵CD∥AB，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC. ∵O为AC的中点，∴OA＝ OC. 在△OBA和△ODC中， ∵ ∴△OBA≌△ODC（AAS），∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形.∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA. ∵AC平分∠DCB，∴∠DCA＝∠BCA，∴∠BCA＝∠BAC， BA＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形. （2）连结OE交BC于点F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数. 【答案】（2）∵CD∥AB，∠AEC＝90°，∴∠DCE＋∠AEC＝180°，∴∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°－∠ACD＝90°－27°＝63°.由（1）可知，四边形ABCD是菱形，∴∠ACB＝∠ACD＝27°，∠BCD＝2∠ACD＝54°，∴∠ECF＝90°－∠BCD＝90°－54°＝36°.∵AEC＝90°，OA＝OC，∴OE＝ AC＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝63°，∴∠CFO＝∠OEC ＋∠ECF＝63°＋36°＝99°，即∠CFO的度数为99°. 变式　如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O. D，B是对角线EF所在直线上的两点，且DE＝BF，连结AD，AB，CD，CB，∠ADO＝45°. （1）求证：四边形ABCD是正方形. 【答案】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF. ∵DE＝BF，∴BO＝DO. 又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.∵∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°.∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形. （2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离. 【答案】（2）∵正方形ABCD的面积为32，∴ AC·BD＝32，∴ ×4BO2＝32，∴BO＝DO＝CO＝AO＝4， ∴AC＝2AO＝8.∵BF＝1，∴OF＝BO－BF＝4－1＝3. ∵四边形AFCE是菱形，∴EF＝2OE＝2OF＝6，AC⊥EF，∴菱形AFCE的面积＝ AC·EF＝ ×8×6＝24. 在Rt△AOE中，AE＝ ＝ ＝5， 设点F到线段AE的距离为h， ∴菱形AFCE的面积＝AE·h＝24，即5h＝24， ∴h＝ ，即点F到线段AE的距离为 . 　特殊平行四边形的分类讨论 原题2　已知矩形ABCD中，AB＝3.E为AD上一个动点，连结CE，将△CDE沿CE折叠，使点D落在点F处，当F为线段AB的三等分点时，AE长为 　 . 变式　如图，已知正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°.E是射线BC上一动点（点E不与点B，C重合）， 在AE右侧作EF⊥AE，且AE＝EF， 连结AF，FC，求∠FCE的度数. 或 　 【答案】过点F作FH⊥BC，交于点H，如图1，∵EF⊥AE，∴∠AEB＋∠HEF＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCB＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠HEF＝∠BAE. 又∵FH⊥BC，∴∠ABE＝∠EHF＝90°.又∵AE＝EF，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴BE＝FH，AB＝EH. ∵AB＝BC，∴BC＝EH，∴BC－CE＝EH－CE， 即BE＝CH，∴CH＝FH. ∵FH⊥BC， ∴∠FCH＝45°，易得∠DCF＝45°.当点E在点C左侧时，∠FCE＝90°＋45°＝135°.当点E在点C右侧时， 如图2，∠FCE＝45°.综合上述，∠FCE＝135°或45°. 图1 　　图2 　特殊平行四边形的最值 原题3　如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连结CF，EF，则CF＋EF的最小值为 　　 . 　 变式1　在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8. （1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点F处（如图1），设DF与BC相交于点G，求证：BG＝DG. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠CBD＝∠ADB，由折叠得∠FDB＝∠ADB，∴∠CBD＝∠FDB，∴BG＝DG. （2）将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD边上（如图2），点A的对应点为A'，连结BB'交EF于点O. 当DB'＝2时，求EF，OF的长. 【答案】（2）如图1，连结BE，B'E，∵AB＝6，BC＝8，DB'＝2，∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，∴DE＝8－AE，CB'＝CD－DB'＝6－2＝4，∴BB'＝ ＝ ＝4 .由折叠得点B'与点B关于直线EF对称，∴EF垂直平分BB'， ∴B'E＝BE，B'F＝BF＝8－CF. 易知∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴DB'2＋DE2＝B'E2＝BE2＝AE2＋AB2，CF2＋CB'2＝B'F2，∴22＋（8－AE）2＝AE2＋62，CF2＋42＝（8－CF）2，解得AE＝2，CF＝3，∴DE＝8－2＝6，BF＝8－3＝5.∵ BB'·EF＝AB·BC－ AB·AE－ DE·DB'－ CB'·CF＝S四边形BEB'F，∴ ×4 EF＝6×8－ ×6×2－ ×6×2－ ×4×3，解得EF＝3 .易得∠BOF＝90°，OB＝OB'＝ BB'＝2 ，∴OF＝ ＝ ＝ ，∴EF的长是3 ，OF的长是 . （3）点M在线段AB上，点N在线段BC上（如图3），若按MN折叠后，点B落在矩形ABCD的AD边上的点H处，求AH的最大值和最小值. 【答案】（3）如图2，当点N与点C重合时，AH的值最小，∵点H与点B关于直线MC对称，∴MC垂直平分BH，∴HC＝BC＝8，∴DH＝ ＝ ＝2 ，∴AH＝AD－DH＝8－2 ；如图3，当点M与点A重合时，AH的值最大，∵MH＝MB，且MH＝AH，MB＝AB，∴AH＝AB＝6，∴AH的最大值为6，最小值为8－2 . 　 　 变式2　如图1，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝8，P为边AD上一动点，将矩形纸片ABCD沿BP折叠，折叠后BC与AP相交于点E，如图2. （1）∠CBP为何值时，点E与点A重合？ 【答案】（1）当点E与点A重合时，如图1，∵四边形ABC'D'为矩形，∴∠ABC'＝90°.由折叠可知，∠CBP＝∠C'BP，∵∠CBP＋∠C'BP＝∠ABC'＝90°，∴∠CBP＝45°，∴∠CBP为45°时，点E与点A重合. 图1 图1 （2）当AP长为何值时，△BEP的面积最大？并求出面积的最大值. 【答案】（2）如图2，由折叠知，∠CBP＝∠C'BP，∵AD'∥BC'，∴∠EPB＝∠C'BP，∴∠EPB＝∠CBP， 即∠EPB＝∠EBP，∴BE＝EP. ∵S△BEP＝ PE·AB， 而AB的长度不变，∴当PE最大时，△BEP的面积最大. 又∵PE＝BE，∴BE最大时，△BEP的面积最大，而在△ABE中，只要当AE最大时，BE就最大， ∴当AE最大时，AP最大＝AD'＝8，设PE＝BE＝x， 则AE＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋（8－x）2＝x2， 解得x＝5，∴PE＝5，∴S△BEP＝ PE·AB＝ ×5×4＝10，∴当AP＝8时，△BEP的面积最大值为10. 图2 图2 THANK YOU！ $第五章　特殊平行四边形 5.3　正方形（第2课时） 正方形性质： （1）正方形的 　四　个角都是直角，四条边 　相等　. （2）正方形的对角线 　相等　，并且 　互相垂直平分　，每条对角线平分一组 　对角　. （3）正方形既是 　中心　对称图形，又是 　轴　对称图形，有 　4　条对称轴. 四　 相等　 相等　 互相垂直平分　 对角　 中心　 轴　 4　 1. （自贡中考）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　C　） A. （3，－3） B. （－3，3） C. （3，3） D. （－3，－3） C 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　B　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 B 3. 如图，E为正方形ABCD内一点，AD＝ED，∠AED＝70°，连结EC，那么∠AEC的度数是（　C　） A. 105° B. 130° C. 135° D. 140° 第3题图 C 4. （嘉兴中考）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离是（　D　） A. 1cm B. 2cm C. （ －1）cm D. （2 －1）cm 第4题图 D 5. （滨州中考）正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB，BC相交于点E，F（如图2），连结EF，那么在点E由点B到点A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（　A　） 第5题图 A A. 线段 B. 圆弧 C. 折线 D. 波浪线 6.如图，正方形ABCD的边长为3，P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE＋PQ的值是 　3　. 第6题图　　　　 3　 7. （湖南中考）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为 　2　dm2. 第7题图 2　 8. 如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B，D作BF⊥直线a于点F，DE⊥直线a于点E. 若DE＝8，BF＝5，则EF的长是 　13　. 第8题图 13　 9. 如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC的延长线上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，交DB的延长线于点F. 求证：OE＝OF. 第9题图 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA，∴∠E＋∠OBE＝90°.又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°.又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E，∴Rt△BOE≌Rt△AOF， ∴OE＝OF. 10. E为正方形ABCD的对角线上一点.连结DE，BE，延长BE交AD于点F，DE⊥EG交BC于点G，下列结论：①△BEC≌△DEC；②∠BED＝120°时，EF平分∠AED；③EG＝ED；④BG＝2AE. 其中正确的有 　①②③　（填序号）. 第10题图 ① ②③　 11. 如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，AG⊥DE于点F，交CD于点G。 (1)求证：AG＝DE。 (2)若E是BC的中点，连结BF，求证：AB＝FB。 【答案】　(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，所以∠DAG＋∠ADF ＝∠EDC＋∠ADF＝90°，所以∠DAG＝∠EDC， 在△ADG和△DCE中，因为 所以△ADG≌△DCE(ASA)，所以AG＝DE。 (2)证明：如图，延长DE交AB的延长线于点H，因为E是BC的中点，所以BE＝CE。因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥DC，所以∠C＝∠HBE＝90°，在△DCE和△HBE中，因为 所以△DCE≌△HBE(ASA)，所以BH＝DC＝AB， 即B是AH的中点，又因为∠AFH＝90°， 所以BF＝ AH＝AB。 12. 如图1，点C在线段AB上，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM，BD。 (1)AM与BD的关系是 。 (2)如果将正方形BCMN绕点C顺时 针旋转锐角α，其他不变(如图2)， (1)中所得的结论是否仍然成立？ 请说明理由。 (3)在(2)的条件下，连结AB，DM，若AC＝4，BC＝2，求 AB2＋DM2 的值。 相等且垂直 【答案】(2)成立。理由如下：因为四边形ACDE为正方形，四边形BCMN为正方形，所以AC＝CD，MC＝BC，∠ACD＝∠BCM＝90°，所以∠ACD＋∠DCM＝∠BCM＋∠DCM，即∠ACM＝∠BCD，在△ACM与△DCB中，因为所以△ACM≌△DCB(SAS)，所以AM＝BD，∠MAC＝∠BDC。记AM与CD交于点H，AM与BD交于点O，所以∠AHC＝∠DHM，所以∠DOH＝∠ACH＝90°，即AM⊥DB，所以AM＝BD且AM⊥DB。 (3)如图，因为AM⊥DB，所以∠DOM＝∠AOB＝∠AOD＝∠BOM＝90°，由勾股定理得OD2＋OM2＝DM2，OD2＋OA2＝AD2，OB2＋OM2＝MB2，OA2＋OB2＝AB2，所以AB2＋DM2＝OA2＋OB2＋OD2＋OM2＝AD2＋BM2，因为AD＝ AC＝4 ，BM＝ BC＝2 ，所以AB2＋DM2＝(4 )2＋(2 )2＝40。 THANK YOU！ $第五章　特殊平行四边形 专题提升七　以特殊平行四边形为背景的图形变换和实践操作 　动点问题 原题1　如图，矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，垂足为O，连结BE，DF. （1）判断四边形EBFD的形状，并说明理由. 【答案】（1）四边形EBFD为菱形.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC，∠DEF＝∠BFE. ∵EF垂直平分BD，垂足为O，∴OD＝OB，EF⊥BD. 在△DOE和△BOF中， ∵ ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴OE＝OF. 又∵OB＝OD，EF⊥BD， ∴四边形EBFD为菱形. （2）若AB＝12cm，BC＝18cm，动点P从点D出发沿折线D→F→B运动至点B停止，同时点Q从点E出发沿折线E→A→B→E运动至点E停止.设P，Q的运动路程分别为a，b（单位：cm，ab≠0），当以E，F，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式. 【答案】（2）设菱形的边长DF＝BF＝xcm，则CF＝（18－x）cm，在Rt△DCF中，DC＝12cm，由勾股定理得122＋（18－x）2＝x2，解得x＝13，∴DF＝13cm.∵四边形EBFD是菱形，∴BE＝DF＝13cm，∴AE＝ ＝ ＝5（cm），∴EA＋AB＋BE＝5＋12＋13＝30（cm），如图1，当点Q在BE上，点P在DF上，四边形EQFP是平行四边形，EQ＝FP，∵EQ＝30－b，PF＝ 13－a，∴30－b＝13－a，∴b－a＝17；如图2，当点Q在AE上，点P在BF上，四边形QPFE是平行四边形，QE＝FP，∵QE＝b，FP＝a－13， ∴b＝a－13，∴a－b＝13； 综上所述，a与b满足的数量 关系式是b－a＝17 或a－b＝13（ab≠0）. 图2 图1 变式　问题情境： 在数学课上，老师让同学们利用长方形纸片ABCD进行折叠研究数学问题：如图1，P是长方形ABCD的边AB上一动点，连结CP，将△BCP沿着CP折叠得到△B'CP. （1）如图1，当点P与点A重合时，PB'与CD交于点E，求证：B'E＝DE. 【答案】（1）∵矩形ABCD，根据题意，得AB＝CD＝AB'，AB∥CD，∠BAC＝∠B'AC，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠B'AC＝∠ACE，∴AE＝CE，∴B'A－AE＝CD－CE，故B'E＝DE. 初步探究： 深入探究： （2）如图2，当P为AB的中点时，延长CB'交AD于点F，连结PF，求证：B'F＝AF. 【答案】（2）根据题意，得PA＝PB＝PB'＝ AB，∠PAF＝∠PBC＝∠PB'C＝90°，∠PB'F＝90°.∵PF＝PF，∴△PAF≌△PB'F（HL），∴B'F＝AF. 拓展延伸： （3）在问题（2）中，若∠BCP＝30°，DF＝4，△PCF的面积为8 ，直接写出长方形ABCD的面积. 【答案】（3）根据题意，得∠BCP＝∠B'CP＝30°，∠BCD＝90°，∴∠FCD＝30°.∵DF＝4，∴CF＝2DF＝8，CD＝ ＝4 ，∴S△DCF＝ DC·DF＝8 ，根据（2）得S△PAF＝S△PB'F， S△PBC＝S△PB'C，∴S△PAF＋S△PBC＝S△PB'F＋S△PB'C＝S△PFC＝ 8 ，∴S矩形ABCD＝S△PAF＋S△PBC＋S△PB'F＋S△PB'C＋ S△DFC＝24 . 　折叠问题 原题2　如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P. 若PA＝PG，AH＝BE，CD＝3，则BC的长为 　4 . 4 　 变式　（西宁中考）折叠问题是我们常见的数学问题，它可以利用图形变化的轴对称性质来解决.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动. 【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D'处， MD'与BC交于点N. 【猜想】MN＝CN. 【验证】请将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠， ∴∠CMD＝ 　∠CMD'　. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC（矩形的对边平行）， ∴∠CMD＝ 　∠MCN　（　 　两直线平行，内错角相等　　）， ∴ 　∠CMD'　＝ 　∠MCN　（等量代换）， ∴MN＝CN（　 　等角对等边　　）. ∠CMD'　 ∠MCN　 两直线平行，内错角相等　 ∠CMD'　 ∠MCN　 等角对等边　 【应用】如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A'处，点B落在点B'处，折痕为ME. （1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由. 【答案】【应用】（1）EC＝2MN. 理由如下：∵由四边形ABEM折叠得到四边形A'B'EM，∴∠AME＝∠A'ME，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC（矩形的对边平行）， ∴∠AME＝∠MEN （两直线平行，内错角相等）， ∴∠A'ME＝∠MEN， ∴MN＝EN（等角对等边），∵MN＝CN， ∴MN＝EN＝NC，即EC＝2MN. 　 （2）若CD＝2，MD＝4，求EC的长. 【答案】（2）∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠，∴∠D＝∠D'＝90°，DC＝D'C＝2，MD＝MD'＝4.设MN＝NC＝x，∴ND'＝MD'－MN＝4－x.在Rt△ND'C中，∠D'＝90°，∴ND'2＋D'C2＝NC2（勾股定理）. ∴（4－x）2＋22＝x2，解得x＝ ，∴EC＝2MN＝5. 原题3　如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中： 图1 探究一：两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由. 　旋转问题 【答案】探究一：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的 .理由如下：∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°，∠AOB＝∠EOG＝90°，∴∠AOM＝∠NOB. 在△OAM与△OBN中， ∵ ∴△OAM≌△OBN（ASA），∴四边形OMBN的面积等于△AOB的面积，即重叠部分面积不变， 总是等于正方形面积的 . 探究二：如图2，若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于点M，N，试判断线段AM和BN的数量关系，请说明理由. 图2 【答案】探究二：线段AM和BN之间的关系相等.理由如下：根据探究一可得△OAM≌△OBN，∴AM＝BN. 探究三：如图3，若正方形OEFG继续旋转，AM与BN之间的关系是否还成立？ 直接写出答案，不用说明理由. 　　 图3 【答案】探究三：AM＝BN. ∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∠AOB＝∠EOG＝90°，∴∠AOM＝∠NOB. 在△OAM与△OBN中，∵ ∴△OAM≌△OBN（ASA），∴AM＝BN. 变式　定义：平面上一点到图形上所有点的最短距离，叫做这点到图形的距离.如图，P为平面上一点，正方形绕其中心O旋转，它边长为1，PO＝1，点P到正方形的距离为d，则d的取值范围是 　1－ . 1－ ≤d≤ 　 THANK YOU！ $第五章　特殊平行四边形 5.1　矩形（第1课时） 1. 矩形定义：有一个角是 　直角　的 　平行四边形　叫做矩形. 2. 矩形性质： （1）矩形的 　四　个角都是直角. （2）矩形的对角线 　相等　. （3）矩形既是 　中心　对称图形，又是 　轴　对称图形，它至少有 　两　条对称轴. 直角　 平行四边形　 四　 相等　 中心　 轴　 两　 1. 已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1∶2，那么这个矩形的面积是（　B　） A. 24cm2 B. 32cm2 C. 48cm2 D. 128cm2 B 2. （襄阳中考）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（　C　） A. AC平分∠BAD B. AB＝BCC. AC＝BD D. AC⊥BD 第2题图　　　 C 3. 如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（　B　） A. 29° B. 32° C. 22° D. 61° 第3题图 B 4. （十堰中考）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化.下列判断错误的是（　C　） A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B. 对角线BD的长度减小 C. 四边形ABCD的面积不变 D. 四边形ABCD的周长不变 第4题图 C 第5题图　　　 5.如图，E是矩形ABCD的边DC上一点，AB＝AE＝4，BC＝2，则∠BEC＝ 　75°　. 75°　 6. （南充中考）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，E是DC的中点，BF＝ BC，则四边形DBFE的面积为 　10　cm2. 第6题图 10　 7. 中国古代数学家刘徽给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG. 若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是 　12　. 第7题图　　　 12　 8. 如图，矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点.若EF＝EC，EF⊥EC，DE＝2，矩形的周长为16，则AE的长为 　3　. 第8题图 3　 9. 如图，E，F是矩形ABCD边BC上的两点，AF＝DE。 (1)若∠DAF∶∠FAB＝5∶7，求∠AFB的度数。 (2)求证：BE＝CF。 【答案】(1)37.5　(2)证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以∠B＝∠C＝90°，AB＝CD。在Rt△ABF和Rt△DCE中， 所以Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，所以BF＝EC，所以BE＝CF。 10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连结OE，则下面结论正确的有 　①②⑤　. 第10题图 ①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC＝2AB；④∠AOE＝105°；⑤S△AOE＝S△COE. ①②⑤　 11. 如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处，若AD＝8，且△AFD的面积为60，求： 第11题图 （1）边AB的长. 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB. ∵△AFD的面积为60，∴ AD·AF＝60，解得AF＝15，∴DF＝ ＝ ＝17，由折叠的性质得CD＝DF＝17，∴AB＝17. （2）△DEC的面积. 【答案】（2）∵AF＝15，AB＝17，∴BF＝AB－AF＝2.设EF＝CE＝x，则BE＝BC－CE＝8－x，在Rt△BEF中，EF2＝BF2＋BE2，即x2＝22＋（8－x）2，解得x＝ ，即CE＝ ，∴△DEC的面积＝ CD·CE＝ ×17× ＝ . 第11题图 12. 12.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点P在边AD上，连结BP，点A关于直线BP的对称点为A1。 (1)若点A1落在BC边上，求AP的长。 (2)若点A1落在线段PC上，求AP的长。 (3)若点A1到直线CD的距离等于A1B的长，求AP的长。 【答案】(1)点A1落在BC边上，如图1。因为点A与点A1关于BP对称，所以∠ABP＝∠A1BP。由AD∥BC得，∠A1BP＝∠APB，所以∠ABP＝∠APB，所以AP＝AB＝2。. (2)点A1落在线段PC上，如图2。根据矩形的对边相等可得AD＝BC＝3，CD＝AB＝2。设AP＝x.则DP＝AD－AP＝3－x。因为点A与点A1关于BP对称，∠BA1P＝∠BAP＝90°，则∠BA1C＝90°。在Rt△BA1C中，A1C＝＝ ＝ 。在Rt△PCD中，由勾股定理得PC2＝PD2＋CD2，即(PA1＋A1C)2＝PD2＋CD2所以(x＋ )2＝(3－x)2＋22，解得x＝3－ 。即AP＝3－ 。 (3)点A1到直线CD的距离等于A1B的长，过点A1作A1H⊥CD，垂足为H，则依题意知，A1H＝A1B。过点A1作BC的垂线交AD于点M，交BC于点N，垂足为N。因为AD∥BC，所以MN⊥BC，垂足为N。因为点A与点A1关于BP对称，所以AB＝A1B＝A1H＝2，并设AP＝A1P＝x。又四边形A1HDM、四边形A1NCH、四边形CDMN均有三个角为直角，故均是矩形。所以MD＝A1H＝NC＝2，DH＝MA1，A1N＝HC，MN＝CD。在Rt△A1BN中，BN＝BC－NC＝BC－A1H＝BC－AB＝3－2＝1，所以A1N＝＝ ＝ ，则A1M＝MN－A1N＝AB－A1N＝2－ ，PM＝AD－AP－MD＝3－x－2＝1－x。 在Rt△A1MP中，A1M＝2－ ，PM＝1－x，A1P＝x，由勾股 定理得x2＝(2－ )2＋(1－x)2。解得x＝4－2 ，即 AP＝4－2 。 THANK YOU！ $第五章　特殊平行四边形 5.2　菱形（第2课时） 菱形判定： （1）四条边相等的四边形是 　菱形　. （2）对角线 　互相垂直　的平行四边形是菱形. 菱形　 互相垂直　 1. 要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（　B　） A. 任选两个角，测量它们的角度 B. 测量四条边的长度 C. 测量两条对角线的长度 D. 测量两条对角线交点到四个顶点的长度 B 2. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（　B　） A. 若OB＝OD，则平行四边形ABCD是菱形 B. 若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形 C. 若OA＝OD，则平行四边形ABCD是菱形 D. 若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是矩形 第2题图　　 B 3. 如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连结EG，FH交于点O，则图中的菱形共有（　B　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 第3题图 B 4. （设一条线段剪一刀）用折纸、剪切的方法得到一个菱形，最少要剪 （　A　） A. 1刀 B. 2刀 C. 3刀 D. 4刀 5.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 　答案不唯一，如：AB＝BC　（只需填一个）. 第5题图　　 A 答案不唯一，如：AB＝ BC 　 6. 如图，①以点A为圆心，2cm长为半径画弧，分别交∠MAN的两边AM，AN于点B，D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连结BC，CD，AC. 若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小是 　30　°. 第6题图 30　 7. 如图，P是菱形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，且PE＝3，则点P到AD的距离是 　3　. 第7题图　　 3　 8. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点B，D之间的距离为5cm，点A，C之间的距离为4cm，则四边形ABCD的面积是 　4 cm2　. 第8题图 10 cm2　 9. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF. 求证：四边形AECF是菱形. 第9题图 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC. ∵DE＝BF，∴AE＝CF. ∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形.∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形. 10. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF. 下列条件可以使四边形BECF成为菱形的是（　D　） A. BE⊥CE B. BF∥CE C. BE＝CF D. AB＝AC 第10题图　　　 D 11. 如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，G是AE的中点，且∠AOG＝30°，则下列结论：①DC＝3OG；②OG＝ BC；③四边形AECF为菱形；④S△AOE＝ S四边形ABCD。其中正确的是 。(填序号) 12. 在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，C是BE的中点，过点D作AD∥BE，且AD＝BC，连结AE交CD于点F。 (1)求证：四边形ABCD是菱形。 (2)若DB＝8，菱形ABCD的面积为40，求BE的长。 【答案】(1)证明：因为AD∥BE，且AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形。因为C是BE边的中点，∠BDE＝90°，所以BC＝CE＝DC，所以平行四边形ABCD是菱形。 (2)因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝AD＝CD＝BC，在△ABD和△CDB中， 所以△ABD≌△CDB(SSS)，所以S△ABD＝S△CDB。因为BC＝CE，所以S△BCD＝S△CDE＝ S菱形ABCD＝ S△BDE， 所以 ×8·DE＝40，所以DE＝10，所以 BE＝＝ ＝2 。 13. 问题提出（1）如图1，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连结BD，CE. 若BD＝4，则CE的长为 　4　. 问题探究 4　 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，E为线段BD延长线上的一点，连结AE，CE，求证：CE＝AE. 问题解决 【答案】（2）如图2，连结AC，∵四边形ABCD是平行四边形， 且AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形， ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∵E为线段BD延长线上的一点， ∴CE＝AE. （3）王叔叔家门前有一块四边形空地ABCD，王叔叔计划用该空地开发一个种植基地，如图3，经测量，AB＝300m，AD＝480m，BC＝140m，CD＝400m，并测得∠ABD＋∠BDC＝90°，请依据相关数据帮王叔叔计算该四边形空地ABCD的面积. 【答案】（3）如图3，作∠ABD＝∠A'DB，AB＝A'D，连结A'C，∵BD＝DB，∴△ABD≌△A'DB，∴A'B＝AD＝480m，S△ABD＝S△A'BD. ∵∠ABD＋∠BDC＝90°，∴∠A'DB＋∠BDC＝90°.∵AB＝300m，CD＝400m，∴A'C＝ ＝500（m）.∵AD＝480m，BC＝140m，∴AD2＋BC2＝250000，∴AD2＋BC2＝A'C2，即A'B2＋BC2＝A'C2，∴△BCA'是直角三角形，且∠CBA'＝90°， ∴S四边形ABCD＝S四边形A'BCD＝ ×300×400＋ ×140×480＝93600（m2）. THANK YOU！ $