第5章 特殊平行四边形（知识清单）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了“特殊平行四边形”单元内容，涵盖矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定及应用，搭建从基础概念认知到性质探究再到判定推理的递进式学习支架。 清单按“定义-性质-判定-应用”分层呈现知识体系，例题分类标注如“矩形折叠问题”“菱形对角线求面积”，培养几何直观与推理意识。融入七巧板、赵爽弦图等传统文化素材，设计“性质对比表”，帮助学生构建知识网络，教师可利用分层例题设计教学，提升学生自主学习效率。

第5章 特殊平行四边形 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。在平行四边形 ABCD 中，若∠A= ，则四边形 ABCD 是矩形。 2.矩形的性质 （1）边的性质：①对边平行且相等（同平行四边形）；②邻边 （独有）。 （2）角的性质：四个角都是 （独有）。 （3）对角线的性质：对角线互相平分且 （独有）。 推论：矩形的对角线将矩形分成两对全等的 。 （4）对称性：既是中心对称图形（对称中心：对角线交点）；也是轴对称图形，有2 条对称轴（每组对边中点连线所在直线）。 3.矩形的判定 （1）定义判定（基础）：有一个角是 的平行四边形是矩形。 （2）角判定：①有三个角是 的四边形是矩形；②四个角都相等的四边形是矩形（四个角均为 90°）。 （3）对角线判定：① 的平行四边形是矩形。②对角线 的四边形是矩形。 4.菱形的定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形 5.菱形的性质 （1）边的性质：①对边平行；②四条边都 （2）角的性质：①对角相等；②邻角 （同平行四边形） （3）对角线的性质：①互相平分；②互相 ；③每条对角线平分 （4）对称性：①中心对称图形；②也是轴对称图形，有 2 条对称轴（对角线所在直线） 6.菱形的判定 （1）定义法：在平行四边形中，一组邻边 →菱形 （2）边判定：四条边 的四边形是菱形 （3）对角线判定：在平行四边形中，对角线 → 菱形 7.菱形的面积公式 （1）底 × 高（同平行四边形）：S=a×h（a为边长，h为该边上的高）。 （2）对角线乘积的一半（菱形专属）： （d1、d2为两条对角线长） 8.正方形的定义：有一组邻边 ，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形。本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的 、特殊的 ，兼具矩形与菱形的所有性质。 9.正方形的性质 （1）边的性质：①四条边都相等；②对边互相平行。 （2）角的性质：四个角都是直角（90∘）。 （3）对角线的性质（核心）：①两条对角线相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；②对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （4）对称性：①轴对称图形：有4 条对称轴（两条对边的垂直平分线、两条对角线）；②中心对称图形：对称中心为对角线的交点。 10.正方形的判定 （1）定义法（从平行四边形出发）：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 （2）矩形法（从先证明是矩形出发）：①有一组邻边 的矩形是正方形；②对角线 的矩形是正方形。 （3）菱形法（从先证明是菱形出发）：①有一个角是 的菱形是正方形；②对角线 的菱形是正方形。 （4）四边形直接判定：①四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 11.正方形与特殊平行四边形的关系 （1）平行四边形 → 有一个角是直角 → 矩形 → 有一组邻边相等 → 正方形 （2）平行四边形 → 有一组邻边相等 → 菱形 → 有一个角是直角 → 正方形 1.矩形的对角线相等。 例1 （25-26八年级下·四川南充·期中）在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 2.矩形的折叠问题。 例2 （25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在矩形纸片中，，，CD边上有一点，，将该纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长是________． 3.用证明内角是直角来证明是矩形。 例3 （北京市海淀区2025-2026学年九年级第二学期期末练习数学试卷（二模））如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 4.用证明对角线相等来证明是矩形。 例4 （25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 5.坐标系上的矩形问题。 例5 （25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）四边形是矩形，点P为矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，当点是矩形的边的中点，此时，易知． ①当P为边上任一位置（如图2）时，这一结论是否还成立？请说明理由． ②如图3，P是矩形内的一点，连接、、、．若，，，求的值． (2)若将矩形放在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，如图4所示，设的面积为，的面积为，求与之间的函数关系式． 6.菱形的对角线互相垂直。 例6 （25-26八年级下·西藏日喀则·期中）如图，菱形的周长为40，对角线． (1)求的长； (2)求菱形的高 7.菱形的四条边长相等。 例7 （25-26八年级下·西藏日喀则·期中）菱形周长为，则菱形边长为___． 8.用邻边相等证明是菱形。 例8 （2026·北京昌平·二模）如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 9.用对角线互相垂直证明是菱形。 例9 （2026·云南曲靖·模拟预测）如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 10.用四条边均相等证明是菱形。 例10 （2026·山东聊城·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是菱形． 11.对角线求菱形的面积。 例11 （25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 12.矩形、菱形的作图问题。 例12 （25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图1，已知，首先以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；然后分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；最后作射线交于点． (1)依据以上作图，若，求的度数； (2)如图2，在图1基础上分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；再作直线，分别交于点．依据以上作图，若，求的面积． 例13 （2026·河北邯郸·二模）【问题背景】如图①，矩形中，，，请利用无刻度直尺和圆规在矩形内作出菱形，要求点E，F，G，H分别在边上． 【实践操作】嘉嘉和淇淇尝试不同的方法解决问题． 如图②，嘉嘉的作法如下： ①分别作线段的垂直平分线依次交于点E，F，G，H； ②连接； 四边形即为所求． 如图③，淇淇的作法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线分别交于点O，F，H； ③连接； 四边形即为所求． 【问题探究】根据以上信息，解决下列问题． (1)图①中，矩形的一条对角线长为________； (2)请选择嘉嘉或淇淇的操作方法证明其结论是否正确； 【拓展探究】通过操作和探究发现满足条件的菱形不唯一，请继续研究下面的问题． (3)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，求出的长并在图④中用尺规作出菱形；若不存在说明理由；（保留作图痕迹，不写作法） (4)若存在满足条件的四边形是菱形时，请直接写出的取值范围． 13.正方形性质的运用。 例14 （2026·山西大同·模拟预测）如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 例15 （25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为___________． 例16 （25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形的边上有一点M，边的延长线上有一点N，且． (1)判断的形状并证明； (2)连接，作的平分线交于E．求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，作于F．则，，之间的数量关系为______． 14.证明是正方形。 例17 （2026·山东青岛·二模）已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 例18 （25-26八年级下·广东江门·期中）如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，证明：四边形是正方形． 例19 （25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 15.七巧板。 例20 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形①的边在边上，则的值为_______． 16.赵爽线图。 例21 （25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图1，这是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成的． （1）若，则的长为_____． （2）如图2，连接，过点作，为垂足．若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则的长为_____． 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则矩形的周长为（） A．7 B．28 C．2 D． 2．（2026·广东肇庆·二模）如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 3．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（2026·河北邯郸·二模）如图，菱形的边长为8，，将其绕点A顺时针旋转得到菱形，已知交于点P，则（    ） A． B． C． D． 5．（北京市燕山教育集团2026年九年级下学期统一测试（二）数学试卷）如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·北京·期中）如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 7．（2026·广西梧州·二模）《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在菱形中，，点E为边的中点，对角线与相交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，运动到点D时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到点O时，的长为（   ） A．3 B．2 C． D．4 9．（2026·广东汕尾·模拟预测）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 10．（16-17八年级下·北京通州·期末）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 11．（2026年河南洛阳市中招模拟试卷（三）数学）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______． 12．（2026·天津·二模）如图，E为正方形的边上一点，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点G．，． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）若H是的中点，连接，则的长为________． 13．（2026·青海西宁·二模）如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 14．（2026·贵州六盘水·二模）矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 15．（25-26八年级下·广东东莞·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 (1)如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．由三角形全等可得，，之间的数量关系 ； (2)如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 (3)在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． (4)如图，正方形中，，，求的面积． 16．（25-26八年级下·广东汕头·期中）四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 特殊平行四边形 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。在平行四边形 ABCD 中，若∠A=90°，则四边形 ABCD 是矩形。 2.矩形的性质 （1）边的性质：①对边平行且相等（同平行四边形）；②邻边互相垂直（独有）。 （2）角的性质：四个角都是直角（90°）（独有）。 （3）对角线的性质：对角线互相平分且相等（独有）。 推论：矩形的对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形。 （4）对称性：既是中心对称图形（对称中心：对角线交点）；也是轴对称图形，有2 条对称轴（每组对边中点连线所在直线）。 3.矩形的判定 （1）定义判定（基础）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）角判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②四个角都相等的四边形是矩形（四个角均为 90°）。 （3）对角线判定：①对角线相等的平行四边形是矩形。②对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 4.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 5.菱形的性质 （1）边的性质：①对边平行；②四条边都相等 （2）角的性质：①对角相等；②邻角互补（同平行四边形） （3）对角线的性质：①互相平分；②互相垂直；③每条对角线平分一组内角 （4）对称性：①中心对称图形；②也是轴对称图形，有 2 条对称轴（对角线所在直线） 6.菱形的判定 （1）定义法：在平行四边形中，一组邻边相等 →菱形 （2）边判定：四条边相等的四边形是菱形 （3）对角线判定：在平行四边形中，对角线互相垂直 → 菱形 7.菱形的面积公式 （1）底 × 高（同平行四边形）：S=a×h（a为边长，h为该边上的高）。 （2）对角线乘积的一半（菱形专属）：S=×d1×d2（d1、d2为两条对角线长） 8.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形与菱形的所有性质。 9.正方形的性质 （1）边的性质：①四条边都相等；②对边互相平行。 （2）角的性质：四个角都是直角（90∘）。 （3）对角线的性质（核心）：①两条对角线相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；②对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （4）对称性：①轴对称图形：有4 条对称轴（两条对边的垂直平分线、两条对角线）；②中心对称图形：对称中心为对角线的交点。 10.正方形的判定 （1）定义法（从平行四边形出发）：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 （2）矩形法（从先证明是矩形出发）：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形。 （3）菱形法（从先证明是菱形出发）：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形。 （4）四边形直接判定：①四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 11.正方形与特殊平行四边形的关系 （1）平行四边形 → 有一个角是直角 → 矩形 → 有一组邻边相等 → 正方形 （2）平行四边形 → 有一组邻边相等 → 菱形 → 有一个角是直角 → 正方形 1.矩形的对角线相等。 例1 （25-26八年级下·四川南充·期中）在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 【答案】 【分析】设与交于点O，连接，首先利用勾股定理求出，得到，然后求出，然后利用求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点O，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与交于点O， ∴，， ∴， ∴． 2.矩形的折叠问题。 例2 （25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在矩形纸片中，，，CD边上有一点，，将该纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长是________． 【答案】10 【分析】过M作于H，连接，根据矩形的性质和判定证明四边形是矩形，得到，，再根据对称性质得，，设，则，，由勾股定理求得；设，则，在中，由勾股定理得，解方程得到，则由勾股定理得． 【详解】解：过M作于H，连接，，则，    ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质得， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 3.用证明内角是直角来证明是矩形。 例3 （北京市海淀区2025-2026学年九年级第二学期期末练习数学试卷（二模））如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接 ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，平分， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：∵， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 4.用证明对角线相等来证明是矩形。 例4 （25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，熟练掌握相关的性质和判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，，再根据推得，即可得证； （2）由可推得，则平行四边形是矩形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形，则，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． 5.坐标系上的矩形问题。 例5 （25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）四边形是矩形，点P为矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，当点是矩形的边的中点，此时，易知． ①当P为边上任一位置（如图2）时，这一结论是否还成立？请说明理由． ②如图3，P是矩形内的一点，连接、、、．若，，，求的值． (2)若将矩形放在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，如图4所示，设的面积为，的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)①成立，理由见详解；② (2)与的函数关系式为或或 【分析】此题主要考查了矩形的性质与勾股定理以及分类讨论思想应用，根据已知得出P点不同位置得出y与x之间的关系是解题关键． （1）①根据矩形的性质和勾股定理进行证明即可； ②利用已知可证得四边形是矩形，进而得出，即可得出答案； （2）结合图形得出当点在直线与之间时，以及当点在直线上方时和当点在直线下方时，分别求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ∵点是矩形的边的中点， ， 在 中，， 在中，， ， 即； ①成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ， 在 中，， 在中，， ， 即； ②过点作，如图（3）： ∵四边形是矩形， ， ， 在中，， 同理，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理， ， ， ． （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， 如图4： ， ， 过点P作直线垂直于点，交于点， 当点在直线与之间时， ， 即， 因而与的函数关系式为， 当点在直线上方时，， 即， 则与的函数关系式为， 当点在直线下方时，， 即， 则与的函数关系式为． 综上，与的函数关系式为或或． 6.菱形的对角线互相垂直。 例6 （25-26八年级下·西藏日喀则·期中）如图，菱形的周长为40，对角线． (1)求的长； (2)求菱形的高 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可知边长，再根据勾股定理即可求解； （2）根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形的周长为40， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设菱形的高为：， 则, ∴， ∴ 则菱形的高为：． 7.菱形的四条边长相等。 例7 （25-26八年级下·西藏日喀则·期中）菱形周长为，则菱形边长为___． 【答案】5 【分析】利用菱形四条边相等的性质，结合周长定义计算边长即可． 【详解】解：由于菱形的四条边长相等，且周长为， 故边长． 8.用邻边相等证明是菱形。 例8 （2026·北京昌平·二模）如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． （2）设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 9.用对角线互相垂直证明是菱形。 例9 （2026·云南曲靖·模拟预测）如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形的性质可得，，，进而可证明，则，，结合，命题得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程，求出的值后，计算面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 10.用四条边均相等证明是菱形。 例10 （2026·山东聊城·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析． 【分析】由三角形中位线定理可得，即可证四边形是菱形． 【详解】解：∵，是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 11.对角线求菱形的面积。 例11 （25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 【答案】24 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 12.矩形、菱形的作图问题。 例12 （25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图1，已知，首先以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；然后分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；最后作射线交于点． (1)依据以上作图，若，求的度数； (2)如图2，在图1基础上分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；再作直线，分别交于点．依据以上作图，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线定义得，由直角三角形两锐角互余得 ． （2）连接，，证明四边形是菱形，得求出，运用三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：由作图可知平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ． （2）解：连接，， 由作图可知垂直平分， ∴ ， ∴， ， ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴ 又 ∴ ， ∴． 例13 （2026·河北邯郸·二模）【问题背景】如图①，矩形中，，，请利用无刻度直尺和圆规在矩形内作出菱形，要求点E，F，G，H分别在边上． 【实践操作】嘉嘉和淇淇尝试不同的方法解决问题． 如图②，嘉嘉的作法如下： ①分别作线段的垂直平分线依次交于点E，F，G，H； ②连接； 四边形即为所求． 如图③，淇淇的作法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线分别交于点O，F，H； ③连接； 四边形即为所求． 【问题探究】根据以上信息，解决下列问题． (1)图①中，矩形的一条对角线长为________； (2)请选择嘉嘉或淇淇的操作方法证明其结论是否正确； 【拓展探究】通过操作和探究发现满足条件的菱形不唯一，请继续研究下面的问题． (3)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，求出的长并在图④中用尺规作出菱形；若不存在说明理由；（保留作图痕迹，不写作法） (4)若存在满足条件的四边形是菱形时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，作图见解析， (4) 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）由菱形的判定定理证明即可； （3）连接交于点，作射线并延长交于点，作的垂直平分线分别交于点，连接即可；再利用勾股定理即可求出； （4）连接，当两点重合时，即，此时，菱形的边长有最大值，此时，有最小值，两点重合，两点重合，利用勾股定理求出有最小值，当两点重合，两点重合时，同理求出的最大值即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵矩形中，，，， ∴，即矩形的一条对角线长为； （2）解：嘉嘉的作法： ∵矩形中，，，， ∴， 由作图得， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，即嘉嘉的作法正确； 淇淇的作法： ∵矩形中，， ∴， 由作图知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形，即淇淇的作法正确； （3）解：存在，菱形如图所示， ∵矩形中，， ∴， 由作图知点是的中点， ∴， ∴， ∴， 由作图知垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 设， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （4）解：如图，连接， ∵， ∴当两点重合时，即，此时，菱形的边长有最大值，最大值为的长， ∵为定值，， ∴此时，有最小值， 如图，此时，两点重合，两点重合， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 如图，当两点重合，两点重合时， 同理，得此时，有最小值，即有最大值； ∴的取值范围为． 13.正方形性质的运用。 例14 （2026·山西大同·模拟预测）如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 【答案】22.5 【分析】由正方形的性质得，，，再根据等边对等角得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ． ∵， ． ． 例15 （25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】连接，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案． 【详解】解：连接，，， 正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点， 直线即为的垂直平分线， ， ， 当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长， 正方形的边长为4，且， ，，， ， 的最小值为5． 例16 （25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形的边上有一点M，边的延长线上有一点N，且． (1)判断的形状并证明； (2)连接，作的平分线交于E．求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，作于F．则，，之间的数量关系为______． 【答案】(1)为等腰直角三角形；证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，得到，再由即可判断； （2）证明出，由等腰三角形的判定可得结论； （3）过点E作于点G，则，由等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形；理由如下： 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ∴是等腰直角三角形． （2）证明：∵为等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ， ， ． （3）解：， 理由：过点E作于点G， ∵作的平分线交于．， ∴， 在等腰直角三角形中， ， 由四边形是正方形，，， 都是等腰直角三角形， ， ， ． 14.证明是正方形。 例17 （2026·山东青岛·二模）已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的形状是正方形，理由见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形为正方形，得到，即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 例18 （25-26八年级下·广东江门·期中）如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，证明：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而由三角形中位线的性质可得，即可求证； （）连接，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，进而证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是、的中点， ∴，， 同理可证，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 （2）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点分别是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由（）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 例19 （25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线，利用平行四边形的定义证明即可； （2）先证明四边形是一个菱形．再证明四边形是一个矩形，即可得到四边形是一个正方形． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，即，， ∴， 同理，可得， ∴四边形是一个平行四边形． （2）证明：∵、分别是边、上的中线，并交于点G， ∴点G是的重心． ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是一个平行四边形， ∴四边形是一个菱形， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形， ∴四边形是一个正方形． 15.七巧板。 例20 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形①的边在边上，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，七巧板，勾股定理，正方形的性质，表示出，的长是解题的关键． 设七巧板正方形的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，的长，即可求解． 【详解】解：设七巧板正方形的边长为， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16.赵爽线图。 例21 （25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图1，这是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成的． （1）若，则的长为_____． （2）如图2，连接，过点作，为垂足．若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则的长为_____． 【答案】 7 【分析】（1）先根据“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，得出，再运用勾股定理得，最后把数值代入计算，即可作答． （2）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，得出，，根据等面积法，大正方形的面积4个直角三角形面积+小正方形的面积，，整理得，故，解得，，运用勾股定理得，连接，运用等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，， 在中，， 则， 故． （2）设直角三角形的长直角边为，短直角边为， ∴， ∵大正方形的面积为5，小正方形的面积为1， ∴， ∴， ∴， ∵大正方形的面积4个直角三角形面积+小正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即 ， 解得，（舍去）， ∴，即， 在中，， 如图，连接， ∵， ∴ ∴． 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则矩形的周长为（） A．7 B．28 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴矩形的周长． 2．（2026·广东肇庆·二模）如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵四边形是边长为4的正方形， ，． 是等边三角形，， ， 在中，， ． 3．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为：． 4．（2026·河北邯郸·二模）如图，菱形的边长为8，，将其绕点A顺时针旋转得到菱形，已知交于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，求得，证明点恰好在线段上，，在，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，与相交于点， ∵菱形的边长为8，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质知， ∴， ∴，即， ∵菱形和菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴点恰好在线段上， ∴， 在，，， ∴， ∴． 5．（北京市燕山教育集团2026年九年级下学期统一测试（二）数学试卷）如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质得出，，由勾股定理求出，根据等腰三角形的判定和性质得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案. 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·北京·期中）如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，，设，则，证明 ，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，， ，， 设，则， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为13． 7．（2026·广西梧州·二模）《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 8．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在菱形中，，点E为边的中点，对角线与相交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，运动到点D时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到点O时，的长为（   ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】观察图2可得，当点运动到点时，的面积达到最大值，为，由菱形的性质可得，，，作交的延长线于点，则，求出，，当点运动到点时，根据，计算得出，当点P运动到点O时，由点为的中点，可得为的中位线，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图2可得，当点运动到点时，的面积达到最大值，为， ∵四边形为菱形，， ∴，，， 如图，作交的延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴当点运动到点时，， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴当点P运动到点O时，由点为的中点，可得为的中位线，即此时． 9．（2026·广东汕尾·模拟预测）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 10．（16-17八年级下·北京通州·期末）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 【答案】5 【分析】先证明是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 11．（2026年河南洛阳市中招模拟试卷（三）数学）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】连接、，过点作轴于点，交于点，根据正方形性质及点坐标得出边长，利用等腰三角形三线合一的性质确定点横坐标，由折叠性质得，在中利用勾股定理求，进而求得及点坐标． 【详解】解：连接、，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是正方形， ， ，轴， ，， ， ， ，， ，， ∵沿折叠正方形，点的对应点为， ， 在中，， ， ． 12．（2026·天津·二模）如图，E为正方形的边上一点，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点G．，． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）若H是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 3 【分析】（Ⅰ）过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形性质解答； （Ⅱ）作，结合第一问结论判定等腰直角三角形，得到、长度；再证四边形为正方形，利用中点求，最后由勾股定理算出． 【详解】解：过点作交延长线于点， ， 四边形是正方形， ，， 绕点逆时针旋转，得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ． 过点F作于点， ， 四边形是正方形， ， 又∵， 四边形是矩形， ∵, ∴四边形是正方形， ， ∵，H是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 13．（2026·青海西宁·二模）如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和，即可得证； （2）证明，得到，即可. 【详解】（1）证明：矩形， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， ， 矩形， ， ， 在和中， ， ， 平分． 14．（2026·贵州六盘水·二模）矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据菱形的判定方法可得结论； （2）先求出菱形的两条对角线的长，即可求出面积． 【详解】（1）证明：小颖同学的作法： ∵四边形是矩形， ∴，即， 又∵ ， ∴四边形是菱形； 小亮同学的作法： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 15．（25-26八年级下·广东东莞·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 (1)如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．由三角形全等可得，，之间的数量关系 ； (2)如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 (3)在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． (4)如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （2）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （3）由（2）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解； （4）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为； （4）解：如图，过作，交延长线于点， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 16．（25-26八年级下·广东汕头·期中）四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （3）解：     理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $