21.卷13 第5章 特殊平行四边形 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（浙教版·新教材）浙江专用
2026-05-18
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦八年级下册“特殊平行四边形”，通过2025年各地期中、月考真题导入，系统梳理矩形、菱形、正方形的性质与判定，以“上分技巧”为支架衔接前后知识，帮助学生构建从平行四边形到特殊图形的知识脉络。
其亮点在于真题情境化（如勾股定理传统文化、纸伞菱形结构新情境）与解题方法结构化（中点模型、动点轨迹等技巧总结），体现数学眼光（抽象几何模型）、数学思维（推理与分类讨论）、数学语言（符号表达与方程应用）。学生能提升解题能力与应用意识，教师可直接用于提优训练，提高教学效率。
内容正文：
数 学
八年级下册 ZJ
1
2
卷13
第5章提优验收卷（B卷）
考查内容：特殊平行四边形
3
一、选择题
二、填空题
三、解答题
目 录
鼠标轻轻一点，内容立即呈现
4
时间： 满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题列出的四
个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1.[2025台州玉环期中]矩形的一条对角线与一边的夹角为 ，则两条对角线相交
所成的锐角是( )
D
A. B. C. D.
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【解析】如图， 四边形是矩形， ，
，，， ，
，即两条对角线相交所成的锐角
是 .故选D.
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（第2题图）
2.[2025台州一模]如图，在中，， 为两条对角线.
添加下列一个条件，仍不能判定 是菱形，这个条件是
( )
B
A. B.
C. D.
【解析】A选项, 四边形是平行四边形，， 是菱形，故
不符合题意选项, 四边形是平行四边形，， 是矩形，
故符合题意选项, 四边形是平行四边形，， 是菱形，
故不符合题意选项, 四边形是平行四边形， ，
，，， 是
菱形，故不符合题意.故选B.
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（第3题图）
3.[2025浙江期中]如图，矩形和矩形，点在 边上，
设矩形和矩形的面积分别为,，则与 的大小关
系为( )
A
A. B. C. D.无法确定
【解析】 四边形和四边形都是矩形,点在 边上,
，，, .故选A.
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（第4题图）
4.[2025金华义乌月考]如图，中， ，
，，是上一个动点，过点分别作 于点
，于点，连结，则 的最小值是( )
D
A.5 B.2.5 C.2.4 D.4.8
【解析】连结，， ,
， 四边形是矩形， .当
时，的值最小，即的值最小. ，， ，
，， ，
的最小值是 ，故选D.
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（第5题图）
5.[2025浙江二模]如图，在菱形中，对角线， 相交于
点，是线段上的一点，连结， .若
，的长为，则 的长为( )
A
A. B. C. D.
【解析】， 设，，则 四边形
是菱形，，， ，
，，， ，
， ，故选A.
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上分技巧 在菱形中求线段长度
设出线段的长度并根据题中线段之间的关系表示出其他线段的长度，利用菱形的
对角线互相垂直，找到直角三角形，利用勾股定理列方程,求解即可.
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6.[2025宁波鄞州区期末]如图，在中，点，分别是， 的中点，点
，在对角线上， ，则下列说法正确的是( )
D
（第6题图）
A.若 ，则四边形 是矩形
B.若，则四边形 是矩形
C.若，则四边形 是矩形
D.若，则四边形 是矩形
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【解析】取的中点，连结, 四边形是平行四边形， ，
点，分别是，的中点，是的中位线， 是
的中位线，，，，， ，
，，，三点共线,.又， ，
，即， 四边形是平行四边形 选项，当
时,不能推出四边形是矩形 、C、D选项，只有D选项能由
,，得到 ，根据对角线相等的平行四边形是矩形得到四
边形 是矩形.故选D.
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（第7题图）
7.[2025舟山定海区三模]如图，在正方形中，，，
分别为边，的中点，连结，，点，分别为， 的
中点，连结，则 的长为( )
C
A. B.1 C. D.2
【解析】连结并延长交于，连结 四边形 是正方
形，，， ， ，
为的中点，， ，
，， 点为 的中点，
为的中点，， ，
，故选C.
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上分技巧 与中点相关的常见模型
①中点和平行线，构造 型全等三角形；②两个及以上中点，构造三角形的中位线；
③直角三角形和中点，构造斜边上的中线.
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（第8题图）
8.[2025杭州临平区月考，中]如图，正方形中，点是 中点，
点在边上，点关于的对称点为，连结，， .若
正方形的边长为2，则当四边形是正方形时，
( )
A
A. B. C. D.3
【解析】连结， 四边形 是正方形，
，平分为 边的中点，
四边形是正方形， ，
平分，，，三点共线， ，故选A.
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9.传统文化 [2025浙江期中，中]勾股定理是人类最伟大的发现之一，在我国古算
书《周髀算经》中早有记载.如图（1），以直角三角形的各边为边分别向外作正方
形，再把两个较小的正方形按图（2）的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影
部分的面积，则一定能求出( )
图（1）
图（2）
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A.直角三角形的面积 B.两个较小正方形重叠部分的面积
C.最大正方形的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和
【解析】设直角三角形的斜边长为，较长的直角边长为，较短的直角边长为 .
根据勾股定理得，， 阴影部分的面积为
较小的两个正方形重叠部分
的宽为，长为， 较小的两个正方形重叠部分的面积为
， 若知道题图中阴影部分的面积，则一定能求出
两个较小正方形重叠部分的面积，故选B.
√
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上分技巧 重组图形中的面积关系
处理重组图形面积的方式：①借助特殊关系转化面积；②数形结合：设线段长度，
表示出相关图形的面积，将几何问题代数化，用计算来说明图形面积之间的关系.
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10.[2025杭州富阳区一模，难]如图，在矩形中，， ，菱形
的三个顶点，，分别在矩形的边，，上， .有如下
两个结论：面积的最大值为;②点到 的距离为3.则( )
A
（第10题图）
A.①②都对 B.①②都错 C.①对②错 D.①错②对
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【解析】 四边形为矩形,，， 在
中，，， 当的值最大时，
的值最大，则的面积最大. 四边形是菱形，， 当 的
值最大时，的面积最大.当点与点重合时， 的值最大，此时
，
，
，故结论①正确.过点作 ，交
的延长线于点 四边形为菱形， ，
易得，，， 点到 的距离为
3，故结论②正确.综上所述，结论①②都对，故选A.
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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.[2025浙江期中]已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为____.
24
【解析】 菱形的两条对角线长分别是6和8， 这个菱形的面积为 ，
故答案为24.
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（第12题图）
12.[2025衢州一模]如图，在平面直角坐标系中，正方形 的
对角线交点为坐标原点，点，在轴上，点，在 轴上，
若正方形的边长为2，则点 的坐标为_________.
【解析】 四边形 是正方形，且边长为2，对角线的交点为
坐标原点，，，.在 中，由
勾股定理得 ，
. 点在轴负半轴上， 点 的坐
标为，故答案为 .
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（第13题图）
13.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线, 相
交于点，，，如果轴，那么 的长
为___.
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【解析】，，， .
，， ，
轴， ，
四边形是矩形， ，
，，，是等边三角形， ，
故答案为2.
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14.新情境 [2025杭州期末，中]中国伞博物馆有制作精美的纸伞，如图（1）,图
（2）为其示意图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连接点 固定在伞
柄顶端，伞圈能沿着伞柄 滑动.小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄
的中点到伞骨连接点，的距离都等于的一半，若夹角 ，
则 的度数是______.
图（1）
图（2）
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【解析】 四边形是菱形，, ，
， .由题意知
， ， ，
.故答案为 .
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15.[2025杭州月考，中]如图，正方形边长为4，已知点是边 上的一个动
点（点不与点重合），作交于点,连结.现以， 为邻边构造
平行四边形，连结，则 的最小值为_____.
（第15题图）
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【解析】过点作，交的延长线于点 四边形 是平行四边形，
， 四边形是正方形， ，
， ，
，， ，
，， ，
， .又
，，， ，
，， ，
,即点在的平分线上， 当时, 的
值最小,此时为等腰直角三角形,由勾股定理得的最小值为 ，
故答案为 .
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上分技巧 解决动点问题
通过题中关系构造全等三角形，得到边相等,进而找到与动点关联的另一动点，从
而找到新动点的运动轨迹.若动点的运动轨迹为直线，则利用“垂线段最短”得到线
段的最小值.
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（第16题图）
16.分类讨论思想 [2025杭州西湖区校级期中，难]将一张矩形纸
片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下
的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的部分为如
图所示的四边形纸片，其中 ， ，
， ，则这张矩形纸片的较长边的长度为__________
____________________.
或或6或
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【解析】①如图（1），过点作的垂线，交的延长线于点，过点作 的
垂线,交的延长线于点 ， 四边形 是矩形.
， ， ， ， 为等
腰直角三角形, ,， .
， ，， 是
较长的边, 这张矩形纸片的较长边的长度为如图（2）,过点作 的垂线
交的延长线于点,延长交的垂线于点 , 四
边形为矩形, , ，
， ,
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，, ，
， ， ，
，， 这张矩形纸片的较长边的长度为
.③如图（3）,过点作，过点作,延长, 交于点
， 四边形 是矩形,
， ， ，
, ， ，
，, ，
， 这张矩形纸片的较长边的长度为6.④如图（4）,过点
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作的垂线，交的延长线于点，过点作,交 的延长线于
， 四边形是矩形. ，
， , ，
，， ，
，， 这
张矩形纸片的较长边的长度为.综上,这张矩形纸片的较长边的长度为
或或6或 .
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图（2）
图（3）
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三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.[2025杭州西湖区二模]（6分）老师布置了一道思考题“尺规作图：过直线 外
一点作这条直线的平行线.”小亮的作法如图，在直线上任取一点，以点 为
圆心，的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心， 的长为半径
画弧，两弧交于点，作直线，则 .
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（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由.
【解】正确.…………（1分）
理由：如图,连结.由作图可知， 四边形 是菱
形，…………（2分）
.…………（3分）
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（2）连结，，交点为，若，，求点到直线 的距离.
【解】如图.设点到直线的距离为 .
四边形是菱形， ，
，， ,
，
…………（4分）
.…………（5分）
菱形的面积为，， 点到直线 的距离为
. …………（6分）
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18.[2025嘉兴校级期末]（6分）如图,将矩形沿着对角线
折叠，使点落在处，交于点 .
（1）试判断 的形状，并说明理由；
【解】 是等腰三角形.…………（1分）
理由：由折叠可知， .
四边形是矩形, ，
， ，…………（2分）
， 是等腰三角形.…………（3分）
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（2）若，，求 的长度.
【解】设，则， ,
,
，…………（4分）
解得， .…………（6分）
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19.[2025台州校级月考]（8分）如图,已知菱形中， ，
点，分别在边，上, .
（1）求证： ；
【证明】如图，连结 四边形是菱形， ，
， ， ，
，是等边三角形，，，
.…………（1分）
，， ，
，…………（3分）
.…………（4分）
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（2）若，求四边形 的面积.
【解】如图，过作于点 四边形 是菱形，
是等边三角形，， ，
.…………（5分）
由（1）可知，， ，…………（6分）
.…………（8分）
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20.新定义 [2025杭州月考]（10分）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边
形为垂等四边形.
图（1）
图（2）
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（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是____________________.
为正方形（或矩形）
【解】由题意可知,正方形和矩形为垂等四边形.故答案为正方形
（或矩形）.…………（2分）
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（2）［中］如图（1），在的网格中，，， 为格点，请画出两个符合条
件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点 在格点上.
【解】如图（1）、图（2），四边形 即为所求.
图（1）
图（2）
…………（6
…………（6分）
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（3）［中］如图（2），在正方形中，点，，分别在，， 上，
且，求证：四边形 是垂等四边形.
【证明】在正方形中,，， ,
， ， ，
.…………（7分）
，， ，
，…………（8分）
.…………（9分）
，
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.
，
，
，
，
四边形 是垂等四边形.…………（10分）
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21.[2025台州校级月考]（10分）
图（1）
图（2）
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（1）如图（1），在正方形中，点,分别在边,上，连结,, ,
，将绕点顺时针旋转 ，得到.易证： ，
从而得.若，，求正方形 的边长.
【解】,在中， ，
.
设正方形的边长为 ，
则， ，
，…………（3分）
解得，即正方形 的边长是12.…………（5分）
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（2）［偏难］如图（2），点,分别在边,上，且.点, 分别在
,上， ，连结，猜想线段,, 之间满足的数量关系，
并说明理由.
【解】 .理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转 ，得到，连结 ，
，，， .
，
，
.
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又， ，
,…………（7分）
， ，
四边形 是平行四边形，…………（8分）
，
.
，
，
，
.…………（10分）
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22.[2025台州椒江区校级期中]（12分）已知在矩形中，点在边 上，
与关于直线对称，点的对称点在边 上.
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
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（1）如图（1），若，，求 的长.
【解】 四边形是矩形，，. 与
关于直线对称， ,
， …………（1分）
.…………（2分）
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（2）［中］如图（2），过点作，分别交，于点， .求证：
.
【证明】由题意得， ，
， ，
， .
在和中，
，…………（4分）
.…………（5分）
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（3）［中］如图（3），在（2）的条件下，连结，求证：四边形 是菱形.
【证明】，， ，
，， ,
.
又， 四边形 是平行四边形.…………（7分）
又， 四边形 是菱形.…………（8分）
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（4）［难］如图（4），在（3）的条件下，作平分，交于点 ，请
直接写出线段，， 之间的数量关系.
【解】线段，，之间的数量关系为 .…………（12分）
连结， ,如图所示.
平分，， ，
， .
， ，
， ，
.在和 中，
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，
， .
， ，
， .
，， ，即
， 线段，，之间的数量关系为 .
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