专题05 四边形和圆（7大考点）（河南专用）2026年中考数学二模分类汇编

专题05 四边形和圆 7大考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形 考点03特殊的平行四边形 考点04垂径定理 考点05圆周角 考点06点、直线、圆的位置关系 考点07求弧长和扇形面积 多边形及其内角和 考点01 1．（2026·河南周口·二模）如图是物理学中的一幅示意图，其中支撑架与互相垂直，且，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由多边形内角和求出，再结合平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·河南驻马店·二模）如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】先根据正多边形内角公式求得，然后根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为2， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 平行四边形 考点02 3．（2026·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的基本作图方法，作出，确定点的位置，再连接、即可． （2）先利用平行四边形的性质得到，，进而推出；再结合（1）中所作的，通过证明，得到、；接着利用邻补角的性质推出，从而证明；最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：在平行四边形中，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 4．（2026·河南·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，在轴上，是上的一点，，交于点，点的坐标为，若，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】先证，由面积比得到，进而得到即可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是平行四边形， 则，， ， ， ， 又， ，即， 解得，则， ． 5．（2026·河南郑州·二模）综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． [深入探究] (2)如图2，在矩形纸片中，点，分别是，边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] (3)在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)菱形 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由矩形的性质可得，，则，则，因此四边形是菱形； （2）容易证明，则．由折叠的性质可得，，，，则，从而证明，因此，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明结论； （3）分类讨论，当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，容易证明四边形是矩形，．由平行四边形的性质可得，从而证明，则．利用勾股定理可得，容易证明，则，利用，求得；当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点，同理可得，进而证明，则．由折叠的性质可得，，，从而求出，因此． 【详解】（1）解：∵由沿折叠得到， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得； ②当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点， 同理①可得，点为的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 特殊的平行四边形 考点03 6．（2026·河南·二模）【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在深刻而广泛的联系．数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1，长为，宽为的矩形纸片，将其上下对折，使得边和边重合，展开后得到折痕，称为“矩形的二等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的二等分线上，折痕交于点，连接，，，则的面积为___________． (2)【迁移探究】如图2，长为，宽为的矩形纸片，点、、、分别是矩形纸片边和的三等分点，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“矩形的三等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的三等分线上，折痕交于点，连接，，，求的面积． (3)【拓展应用】如图3，四边形是边长为的菱形，且，边和的三等分点分别是、、、，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“菱形的三等分线”，连接对角线，与菱形的三等分线交于点，折叠菱形的，使得点与点重合，折痕为，连接，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用折叠性质得，在中用勾股定理算出，再通过“一线三垂直”证明，用相似比求出，进而得到，最后以为底、为高，用三角形面积公式计算结果； （2）分两种情况讨论点的位置：①在上方三等分线上；②在下方三等分线上．每种情况均先利用勾股定理算出水平距离，再通过“一线三垂直”证三角形相似，求出，进而得到，最后以为底、到底边的垂直距离为高，计算面积； （3）先利用菱形性质判定为等边三角形，再分两种情况讨论点作为三等分点的位置：①靠近，②靠近，每种情况均通过折叠性质证，列方程求出，再用三角函数求出到底边的高，最后用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：如图1，过点作的垂线，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ，点是的中点， ， 根据题意可知，， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ， ，，解得， ， ， 又， 的面积为． （2）解：①如图2，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得，， ， ， ， 的面积为． ②如图3，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得， ， ， 又， 的面积为， 综上所述，的面积为或． （3）解：在菱形中，，设为，则， ， , ∴为等边三角形， ∴， 由折叠知， ， ， ， ， ， ， 如图4，∵点E是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ， 则，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ， 如图5， ∵点I是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，，， ， ，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ． 7．（2026·河南商丘·二模）在矩形中，为上一点，将沿翻折得到，点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到．若落在边的三等分点上．则的长为_____． 【答案】或 【分析】①当点落在边的第一个三等分点上，利用矩形的性质得到，结合翻折变换得到和，则，再结合平移得到，那么；②当点落在边的第二个三等分点上，同理可得，，，，结合求解即可． 【详解】解：①当点落在边的第一个三等分点上，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得到，点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∵将沿射线平移得到．若落在边的三等分点上 ∴， 则； ②当点落在边的第二个三等分点上，如图， 同理可得，，，， 则． 8．（2026·河南商丘·二模）如图，在菱形中，，为对角线上一点，过点分别作于点．于点．若，则菱形的边长为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，连接与交于点，由菱形中，，设，则，，再根据，整理得，结合，解得，即可得菱形的边长为． 【详解】解：如图，连接，连接与交于点， ∵菱形中，， ∴，，，，， ∴中，，， 设，，， ∵，，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得， 即菱形的边长为． 9．（2026·河南开封·二模）如图，和是菱形的对角线．若，，则菱形的面积为（）　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质可得，，，则，然后通过勾股定理求出，所以，最后根据菱形的面积为即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 10．（2026·河南周口·二模）如图，已知四边形是矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规分别在，边上作出点E，F，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，，求出（1）中所作菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交，于点E，F，则四边形为菱形； （2）设菱形的边长为x，在中由勾股定理求出x即可．再根据计算． 【详解】（1）解：点，为所求．如图， （2） 解：设菱形的边长为， 在中，，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴菱形的边长为， ∴． 11．（2026·河南周口·二模）如图，在矩形中，，．E为上的一个定点，．F为上的一个动点，将沿折叠得，折叠后点B的对应点为点G，当是以为底边的等腰三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】根据是以为底边的等腰三角形，得到点落在的中垂线上，作的中垂线，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴点落在的中垂线上， 作的中垂线，则四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴，，， 当点在点下方时，如图，作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点上方时，则， ∴； 综上：或． 12．（2026·河南周口·二模）如图，在正方形中，在的延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再根据三角形的内角和求出，则，即可解答． 【详解】解：正方形中，， ∵， ∴， ∴． 13．（2026·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，是其对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，在边上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意作出的角平分线和线段，连接，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，根据三线合一得出，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图所示，： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ，平分， ， ∴， ∴四边形是矩形． 14．（2026·河南周口·二模）如图，在边长为2的菱形中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接，，，则周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质得到，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，通过证明得到，即可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ∵在边长为 2 的菱形中，， ，， ∵将沿射线的方向平移得到， ∴，点在过点且平行于的定直线上， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 根据轴对称的性质可得：， ， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 则周长的最小值为． 15．（2026·河南周口·二模）如图，正方形中，是边上一点且，是的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交的延长线于点，若、、三点共线，则该正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，过点作交的延长线于点，得矩形，矩形，证明，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，设正方形的边长为 ，， 如图，过点作交的延长线于点，连接， 则四边形，是矩形， ，， 由折叠可知：，， ， 平分， ， ， ， 是边的中点， ， 由折叠可知：，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 或（舍去）． ∴该正方形的边长为． 16．（2026·河南郑州·二模）如图，在矩形中，对角线相交于点，点为边的中点，连接，交于点，连接，若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据矩形的性质得到是的中位线，即可得到，，即可得到，根据对应边成比例求出的长解答即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·河南郑州·二模）在矩形中，，点 P 在边上，且，则点 P 到矩形对角线所在直线的距离是_______ ． 【答案】或 【分析】分两种情况画出图形，利用勾股定理，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，求出结果即可． 【详解】解： 如图1，过点P作于点， 四边形是矩形， ，，，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， ； 如图2，过点P作于点， ，， ， ， ， ； 综上，点到矩形对角线所在直线的距离是或． 18．（2026·河南驻马店·二模）如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【分析】先证明得出，解直角三角形得出，，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，，则四边形是正方形，从而得出，，此时最小；以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，，同理可得四边形是正方形，进而得出，，此时最大． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ①如图1，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，，此时最小． 由勾股定理，得， ∴． ②如图2，以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，， 同理可得：四边形是正方形， ∴，，此时最大． 由勾股定理，得， ∴． 综上所述，的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 19．（2026·河南周口·二模）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足或，则称为线段的点． (1)如图，在中，，，若点是线段的点（），求的长； (2)如图，在中，是边上一点，连接，若点分别是线段、线段的点（）．求证：是线段的点； (3)图，在菱形中，，，点，分别是射线、射线上的动点，且满足．连接，若点是线段的点．请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点是线段的点（），则，设，则，然后通过勾股定理得，然后求出的值即可； （）由题意得，，设，则，，证明，所以，则，从而求证； （）由点是线段的点，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的点（）， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴； （2）证明：∵点分别是线段、线段的点（）， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的点； （3）解：∵点是线段的点， ∴如图，当时，在上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，在延长线上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：线段的长为或． 垂径定理 考点04 20．（2026·河南·二模）如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点．在半圆上存在一点使得与平行． (1)请你用圆规和不带刻度的直尺作出点，连接，（保留作图痕迹，不需要写作法）； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作即可． （2）如图，连接，与交于点，连接，求解，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：如图，连接，与交于点，连接， 为直径， ． ∵， ， ， 点是的中点． 又点是的中点， ． ， ． 在中，． 在中，． 21．（2026·河南商丘·二模）筒车（图1）又称“天车”“水车”，是古代水力灌溉工具．最早的记载见于唐代，宋以后逐渐推广．如图2为其工作模型，筒车近似为圆，点为圆心，筒车支柱与垂直，且与交于点，点到水底的距离米．筒车与水面接触点为两点，在点测得处的俯角为，测得处的俯角为． (1)的度数为_____； (2)求两点间的距离； (3)求筒车最高点到水底的距离．（参考数据： ） 【答案】(1) (2)米 (3)筒车最高点到水底的距离为米 【分析】（1）先推导出，得到，，再根据三角形的内角和求解即可； （2）设，推导出，，根据得到，求出，再根据垂径定理求解即可； （3）连接，得到，，根据勾股定理，得到，即，求出，则，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ∴，， ∴； （2）解：设， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， ， ． 即两点间的距离是米． （3）解：如图，连接， 由题意，得，， ， ， ， ． 筒车最高点到水底的距离为米． 圆周角 考点05 22．（2026·河南·二模）如图，是的直径，，则的度数是（   ） A．10° B． C．30° D．40° 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等弧对等角，直径对的角是直角，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再根据等弧对等角即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 23．（2026·河南周口·二模）如图，，是的半径，点在上，连接，．若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质． 连接，首先证明和是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角得到，继而根据圆周角定理得到． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的半径，点在上， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 24．（2026·河南·二模）如图，与相切于点，连接，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由切线的性质可得，结合圆周角定理可得即可求解． 【详解】解： 与相切于点， ，又， ， ． 25．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，的切线与相交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质定理，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，弧长的计算公式等知识点． 连接，连接，首先证明是的垂直平分线，得到，通过证明是等边三角形，得到，继而根据弧长计算公式得到答案． 【详解】解：如图，连接，连接， ∵是的直径， ∴，即， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的半径， ∴． 点、直线、圆的位置关系 考点06 26．（2026·河南周口·二模）已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 【答案】B 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合点与圆的位置关系判断的长度范围，点不在圆内包含点在圆上和点在圆外两种情况． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径， ∵点不在内， ∴点在上或外， ∴，即的长不小于． 27．（2026·河南商丘·二模）如图，在扇形中，分别与该扇形相切于点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】如图，连接、，根据切线的性质得，，，在中，由勾股定理求出，得，则，同理可得，则，再根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵在扇形中，分别与该扇形相切于点， ∴，，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ， ∴， 同理可得， ∴， 图中阴影部分的面积 ． 28．（2026·河南郑州·二模）日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由直径所得的圆周角为直角可得，，结合可得； （2）连接，由切线的性质可得，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可得，从而证明，因此，代入数值计算即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 29．（2026·河南周口·二模）如图1是中国传统建筑中常见的门饰抱鼓石，某抱鼓石的简化平面图如图2所示，其中与相切于点B，，交于点C，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，过点作，先证明四边形是矩形，可得，得出，再由勾股定理可得，即，求出，根据，得出，再根据求解即可． 【详解】解：连接，过点作，如图， 设， 切于点， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中， ， ， ， 解得：， ∵， ∴， ∴ ． 求弧长和扇形面积 考点07 30．（2026·河南·二模）一同学发现能打出正方形孔洞的钻头（如图1）截面是一个近似于三角形的图形，他查阅了资料后找到了这个图形的精确作法：分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画圆，三个圆的重合部分就是钻头截面的图形（图2中实线围成的图形），如果，那么这个图形的周长是_______．（结果保留） 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 由题意可得，图形的周长是． 31．（2026·河南·二模）半径为4的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分．已知，则阴影部分的面积为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】先求出中间空白部分（弓形）的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， ， ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形和圆 ☆7大考点概脱 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形 考点03特殊的平行四边形 考点04垂径定理 考点05圆周角 考点06点、直线、圆的位置关系 考点07求弧长和扇形面积 考点01 多边形及其内角和 1.(2026河南周口·二模)如图是物理学中的一幅示意图，其中支撑架AD与AB互相垂直，且 ∠ABC=70°，BC⊥CD,CE‖AD,则∠DCE的度数是() A B E A.100 B.110 C.120° D.130° 2.(2026河南驻马店·二模)如图，正五边形0ABCD的边长为2，⊙0经过点A,D,则阴影部分的面积 为 D B 考点02 平行四边形 3.(2026河南周口·二模)如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE D (I)用尺规完成基本作图：作∠BCF=∠EAD,交线段BD于点F,连接AF,CE(不写作法，保留作图痕 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 迹)； (2)在(1)的条件下，求证：四边形AFCE是平行四边形 4.(2026河南二模)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，B在y轴上，E是AB上的 一点，AC,DE交于点F,点A的坐标为(4,3)，若S△4EF:S△cDF=1:4,则点E的坐标为 5.(2026河南郑州二模)综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. M B E B E B 图1 图2 备用图 (I)如图1，折叠矩形纸片ABCD,使点A与点C重合，折痕为BF,将纸片展开，连接AE,CF,则四边形 AECF的形状是 [深入探究] (2)如图2，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别是BC,AD边上的点，且BE=DF,将△ABE沿AE翻折 得到△AME,将△CDF沿CF翻折得到△CNF,连接AN,CM,得到四边形AMCN,请你猜想四边 形AMCN的形状，并给出证明. [拓展应用] (3)在(2)的条件下，若AB=10,BC=12,当直线MN与矩形ABCD的一边平行时，请直接写出BE的 长 考点03 特殊的平行四边形 6.(2026河南·二模)【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在深刻 而广泛的联系.数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 ()【操作发现】如图1，长为8，宽为6的矩形纸片ABCD,将其上下对折，使得边AD和边BC重合，展开 后得到折痕EF,EF称为“矩形ABCD的二等分线”，将矩形纸片的∠B折叠，折痕过点A,且∠B的对应点G 落在矩形ABCD的二等分线EF上，折痕交BC于点H,连接AG,GH,GC,则△GHC的面积为 (②)【迁移探究】如图2，长为8，宽为6的矩形纸片ABCD,点E、I、F、J分别是矩形纸片边AB和DC的 三等分点，沿线段EF、IJ折叠，得到折痕EF和J,EF和IJ称为“矩形ABCD的三等分线”，将矩形纸片的 ∠B折叠，折痕过点A,且∠B的对应点G落在矩形的三等分线上，折痕交BC于点H,连接AG,GH,GC, 求△GHC的面积. (3)【拓展应用】如图3，四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD=120°，边AD和BC的三等分点分 别是E、I、F、J,沿线段EF、IJ折叠，得到折痕EF和J,EF和J称为“菱形ABCD的三等分线”，连接 对角线AC,AC与菱形ABCD的三等分线交于点G,折叠菱形的∠B,使得点B与点G重合，折痕为KH, 连接KG,GH,请直接写出△GHC的面积 7.(2026·河南商丘·二模)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E为CD上一点，将△ADE沿AE翻折得到 △AFE,点F恰好落在对角线AC上，再将△AEF沿射线AC平移得到△AEF.若A落在AC边的三等 分点上.则CF的长为 8.(2026河南商丘·二模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O为对角线BD上一点，过点0分别作 OM⊥AB于点M,ON⊥AD于点N.若OM+ON=2V3,则菱形ABCD的边长为() N M B A.6 B.4 c.25 D.43 9.(2026河南开封二模)如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线.若AC=6,AB=V10,则菱形 ABCD的面积为() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.6 B.8 C.16 D. 2W10 10.(2026河南周口·二模)如图，己知四边形ABCD是矩形. B (I)请用无刻度的直尺和圆规分别在AD,BC边上作出点E,F,使得四边形AECF是菱形（保留作图痕迹， 不写作法). (2)若AB=3,BC=5,求出(1)中所作菱形AECF的面积， 11.(2026河南周口·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，BC=5,E为BC上的一个定点， BE=2.F为AB上的一个动点，将△BEF沿EF折叠得△GEF,折叠后点B的对应点为点G,当 △CDG是以CD为底边的等腰三角形时，BF的长为 D 12.(2026河南周口·二模)如图，在正方形ABCD中，在AB的延长线上取一点E,使AE=AC,连接CE ,则∠BCE的度数为() B A.18.5° B.20° C.22.5 D.25 13.(2026河南周口，二模)如图，在平行四边形ABCD中，BD是其对角线. D B 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)请用无刻度的直尺和圆规作∠ADB的平分线，交AB于点E,在CD边上截取线段CF=AE,连接BF;(保 留作图痕迹，不写作法) (2)若AD=BD,求证：四边形BFDE是矩形. 14.(2026河南周口·二模)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿着射线BD的 方向平移，得到△EFG,连接CE,ED,FC,则△CEF周长的最小值为 15.(2026河南周口二模)如图，正方形ABCD中，P是AD边上一点且AP=1,E是AB的中点，将 △APE沿PE翻折得到△OPE,延长PO交BC边于点F,作∠PFC的平分线FG,交AD的延长线于点G, 若E、O、G三点共线，则该正方形的边长为() D A.2 B.3V2 c.9 D.2V2 16.(2026河南郑州二模)如图，在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点0，点E为边BC的中点，连 接DE,交AC于点F,连接0E,若OF=2cm,则AC的长是() A.12cm B.15cm C.10cm D.9cm 17.(2026河南郑州二模)在矩形ABCD中，BC=2AB=6,点P在AD边上，且DP=2,则点P到 矩形对角线所在直线的距离是 18.(2026河南驻马店二模)如图，在△ADE和△ABC中， ∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB=45°，P为射线BD,CE的交点.若BC=2DE=2W2,把 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ADE绕点A旋转，则BP的最小值为， 最大值为 B 19.(2026河南周口·二模)定义：若一动点P到一条线段AB的两个端点的距离满足PA=4PB或 PB=4PA,则称P为线段AB的KZ点. 图1 图2 图3 (I)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=17,若点C是线段AB的KZ点(AC>BC),求AC的长： (2)如图2，在△ABC中，D是边AB上一点，连接CD,若点A分别是线段CD、线段BC的KZ点 (AB>AC>AD).求证：C是线段BD的KZ点； (3)图3，在菱形ABCD中，AB=8,∠ABC=120°，点E,F分别是射线CB、射线DC上的动点，且满 足∠AEF=120°.连接AF,若点E是线段AF的KZ点.请直接写出线段DF的长. 考点04 垂径定理 20.(2026河南·二模)如图，AB是半圆0的直径，点C是半圆上的一点.在半圆上存在一点D使得0D与 AC平行. (I)请你用圆规和不带刻度的直尺作出点D,连接BD,OD(保留作图痕迹，不需要写作法)： (2)若AC=2,AB=8,求BD的长 21.(2026河南商丘·二模)筒车（图1）又称“天车“水车”，是古代水力灌溉工具.最早的记载见于唐代， 宋以后逐渐推广，如图2为其工作模型，筒车近似为圆，点O为圆心，筒车支柱0C与MN垂直，且与⊙O 交于点A,点A到水底的距离AC=0.6米.筒车与水面接触点为B,D两点，在B点测得C处的俯角为45°， 测得A处的俯角为37。· 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O D 37ò% B M C 图1 图2 (I)∠ODE的度数为 (2)求B,D两点间的距离； (3)求筒车最高点到水底的距离.（参考数据： sin37。≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 考点05 圆周角 22.(2026河南二模)如图， AB是⊙0的直径，∠CBA=70°，则∠BDC的度数是() A.10° B.20° C.30° D.40° 23.(2026河南周口·二模)如图，0B,OC是⊙0的半径，点A在⊙0上，连接AB,AC.若∠B=19· ,∠C=41°，则∠B0C的度数为(). A.110° B.1160 C.118° D.120 24.(2026河南二模)如图，AC与⊙0相切于点A,连接0C,与⊙0交于点D,连接BD.若 ∠C=30°，则∠B的度数为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.30° B.25° C.20° D.15 25.(2026河南周口·二模)如图，在△ABC中，BC=4,以CA为直径的⊙0交AB于点F,⊙0的切 线FE与CB相交于点EB,若AF=BF,LEFB=30°，则AF的长为一· 考点06 点、直线、圆的位置关系 26.(2026河南周口·二模)已知⊙0的直径为2cm,点M不在⊙0内，则0M的长() A.大于1cm B.不小于1cm C.大于2cm D.不小于2cm 27.(2026河南商丘·二模)如图，在扇形A0B中，∠A0B=90°，BCCD分别与该扇形相切于点B,D, 若0B=3,BC=V5,则图中阴影部分的面积为一 28.(2026河南郑州·二模)日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置， 以指定当时的时辰或刻度.小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察.如图，日晷的平 面是以点O为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与⊙O相切于点C,点A ，B,F均在⊙O上，且AB为直径，OA,OB,OF为不同时刻晷针的影长，OF,OB的延长线分别与 DE相交于点E,D,连接AC,BC,已知OE‖BC. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B (I)求证：OF⊥AC: 2)若0E=4,AB=2万，求BC的长. 29.(2026河南周口·二模)如图1是中国传统建筑中常见的门饰抱鼓石，某抱鼓石的简化平面图如图2所 示，其中AB与⊙0相切于点B,AC⊥AB,AC交⊙0于点C,AC=8,AB=83,则阴影部分的面 积为 O B A 图1 图2 考点07 求弧长和扇形面积 30.(2026河南·二模)一同学发现能打出正方形孔洞的钻头（如图1）截面是一个近似于三角形的图形，他 查阅了资料后找到了这个图形的精确作法：分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画圆， 三个圆的重合部分就是钻头截面的图形（图2中实线围成的图形），如果AB=2,那么这个图形的周长是 (结果保留π) 图1 图2 31.(2026河南·二模)半径为4的扇形0AB的圆弧和以AB为直径的半圆围成如图所示的阴影部分.己知 OA⊥OB,则阴影部分的面积为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4π+8 B.8 C.12π+8 D.16π+8 2/6