专题04 三角形（5大考点）（河南专用）2026年中考数学二模分类汇编

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形 ☆5大考点概览 考点01与三角形有关的线段和角 考点02等腰三角形 考点03直角三角形与勾股定理 考点04相似三角形 考点05锐角三角函数 考点01 与三角形有关的线段和角 1. (2026河南周口·二模)如图，在正方形ABCD中，在AB的延长线上取一点B,使AE=AC,连接CE 则∠BCE的度数为() D A.18.5° B.20° C.22.5° D.25° 2.(2026河南郑州.二模)如图，直线a‖b,AC⊥AB,AC交直线b于点C,∠1=60°，则∠2的度 数是()、 b A.50° B.45° C.35° D.30° 3.(2026河南周口·二模)下面是某位同学对一道试题的部分解题过程、请你仔细阅读，并完成任务： 试题：如图1，在△ABC中，CM为△ABC的中线，若AC=2,BC=4,求CM的取 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值范围. C CM MD=CM BD M 6 图1 解：如图2，延长 至点D,使得 ，连接， M B CM△ABC .AM=BM 图2 为 的中线， 在△ACM和△BDM中， .'△ACM≌△BDM(① ),∴.BD=AC=2, 在△BCD中，BC-BD<CD<BC+BD,.. ∴.CM的取值范围是② 任务： M 图3 图4 图5 (1)在上述过程中，①处判定的依据是 (用字母表示)，②处应填 (②)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，D、E分别为AC、BC上的点，连接MD、 ME、DE,∠DME=90°，若BE=1,AD=2,求DE的长； (3)如图4，C为线段AB上一点，AC>BC,分别以AC、BC为斜边向上作等腰直角△ACD和等腰直角 △CBE,然后将等腰直角△CBE绕点C逆时针转至图5的位置(A,C,B不在同一条直线上，旋转角小 于45°)，连接AB,M为AB的中点，连接DM,EM.若AD=5,EB=3,直接写出图5中△DAM和 △EBM的面积差， 考点02 等腰三角形 216 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4. (2026河南·二模)一同学发现能打出正方形孔洞的钻头（如图1)截面是一个近似于三角形的图形， 他查阅了资料后找到了这个图形的精确作法：分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画 圆，三个圆的重合部分就是钻头截面的图形（图2中实线围成的图形），如果AB=2,那么这个图形的周 长是 (结果保留π) 图1 图2 5.（2026河南·二模)如图1，在矩形ABCD中，动点P从点D出发，沿DA向点A运动，将PC绕点P顺 时针旋转60°，得到PE,连接EC.设线段DP的长度为X,△PCE的面积为y.当点P在AD上运动的过 程中，y与x的函数关系如图2所示，图象上最高点M的坐标为23,43？则矩形ABCD的面积为 () 71 M 6 D 4 3 2 1 01234x 图1 图2 A.12 B.4V2 c.3V/3 D.4V3 6.(2026河南周口二模)如图，OB,OC是⊙O的半径，点A在⊙O上，连接AB,AC.若∠B=19°， ∠C=41°，则∠BOC的度数为()· A.110° B.116° C.118° D.120° 7.(2026河南郑州二模)综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 3/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FD D B E B E 图1 图2 备用图 (1)如图1，折叠矩形纸片ABCD,使点A与点C重合，折痕为EF,将纸片展开，连接AE,CF,则四边形 AECF的形状是 [深入探究] (2)如图2，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别是BC,AD边上的点，且BE=DF,将△ABE沿AE翻折 得到△AME,将△CDF沿CF翻折得到△CNF,连接AN,CM,得到四边形AMCN,请你猜想四边形 AMCN的形状，并给出证明， [拓展应用] (3)在(2)的条件下，若AB=10,BC=12,当直线MN与矩形ABCD的一边平行时，请直接写出BE的长. 考点03 直角三角形与勾股定理 8. (2026河南商丘二模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O为对角线BD上一点，过点O分别 作OM⊥AB于点M.ON⊥AD于点N.若OM+ON=23,则菱形ABCD的边长为() M A.6 B.4 c.2V/3 D.43 9.(2026河南·二模)我们将筝形定义为：一条对角线被另一条对角线垂直且平分的四边形.如图，在 Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形ABMN 是筝形，则筝形ABMN的对角线AM的长为 10.(2026河南·二模)如图，AC与⊙O相切于点A,连接OC,与⊙O交于点D,连接BD.若 ∠C=30°，则∠B的度数为() 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 D A A.30° B.25° C.20 D.15° 11.(2026河南·二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,点E为直角边AC的中 点，过D、E作直线交AB的延长线于F.若CD=8,AC=10,DF=4,则FB的长度为 D B 12.(2026河南驻马店·二模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D,E分别是AC,AB的中点， 连接CE,DE,点P从点C出发，沿C→E→D→A的方向匀速运动到点A,速度为1Cms.图2是点P 运动时，△AEP的面积S(单位：cm)随时间t(单位：s)变化的图象，则a的值为() E 6 aa+3 图1 B 图2 A.3 B.4 C.5 D.6 13.(2026河南·二模)半径为4的扇形OAB的圆弧和以AB为直径的半圆围成如图所示的阴影部分.已知 OA⊥OB,则阴影部分的面积为() B A.4π+8 B.8 C.12π+8 D.16π+8 5/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04 相似三角形 14. (2026河南·二模)如图，将两个全等的直角三角形纸片△ABC和△乙叠放在一起，其中 ∠C=∠E=90°，BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合，将△就绕点D旋转，在旋 转过程中，DE所在直线与△ABC的直角边交于点M.当两个三角形纸片重叠所形成的三角形与△ABC 相似时，DM的长度为 15.(2026河南·二模)一学习小组想要测量路口路灯AB的高度，但他们只带了卷尺，经过商讨，他们制 定并施行了以下方案：如图，身高1.6米的小亮(CD)站在离路灯一定距离的地方，测得此时小亮的影子 (CE)长度为3.2米：小亮沿影子所在直线，向路灯方向前进6米后站定(GH)，测得此时小亮的影子 (GF)长度为2.4米. D H C FG B (1)路灯AB的高为多少？ (2)学习小组担心自己的测量结果与路灯的真实高度相差太大，请你为该小组提供一条减少误差的建议. 16.(2026河南商丘·二模)综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,O为 △ABC的AB或BC边上一点，D为直线AB右侧一点，且∠ADB=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转C 得到△AMN,B、D对应点分别为M、N,直线ND经过点O. B C(M C(M) 图1 图2 备用图 (1)初步探究 如图1，当Q=90时， 616 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①若点D在BC边上，则∠BCN的度数为 ； ②若点O为边BC的中点，点D为BC下方一点，过点C作CF|BD交DN于点F,则线段FN与线段BD的 数量关系是 (2)类比探究 如图2，当Q=60°，O为BC边的中点，D为△ABC内部一点时，过点C作CF‖BD交直线DN于点F, 写出线段FN与线段BD的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 当a=60°，AD=BD=1,D在三角形ABC内部时，将△AMN绕点A在平面内自由旋转.若以A、B、 C、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出OD的长. 17.(2026河南周口·二模)在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,∠ABC=∠ADE,连接 BD,CE 图1 图2 (1)探索发现：如图1，若∠ABC=60°，求证：BD=CE BD (2)猜想验证：如图2，若∠ABC=90°，将△ADE绕着点A旋转，旋转过程中， 的值是否为定值？ CE B 若是定值，请仅用图2的情形求 C记的值：若不是定值，请说明理由， (3)拓展应用：在(2)的条件下，若BC=12,DE=6,当射线BD⊥AE于点F时，请直接写出线段CE 的长 18.(2026河南周口·二模)某数学兴趣小组在周末利用学过的知识测量某建筑（如图1）的高，他们设计 了如图2所示的测量方案：在地面BC上取E,G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH,两标杆 间隔EG为41.5m,从标杆EF后退2m到D处，此时A,F,D三点恰好在一条直线上；从标杆GH后退 4m到C处，此时A,H,C三点也恰好在一条直线上，且所有的点均在同一平面内，AB⊥BC, EF⊥BC,GH⊥BC.请你根据以上测量的数据，求该建筑AB的高，（结果保留整数） 716 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 19.(2026河南周口·二模)定义：若一动点P到一条线段AB的两个端点的距离满足PA=4PB或 PB=4PA,则称P为线段AB的KZ点 D 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=17,若点C是线段AB的KZ点(AC>BC),求AC的长： (2)如图2，在△ABC中，D是边AB上一点，连接CD,若点A分别是线段CD、线段BC的KZ点( AB>AC>AD).求证：C是线段BD的KZ点： (3)图3，在菱形ABCD中，AB=8,∠ABC=120°，点E,F分别是射线CB、射线DC上的动点，且满 足∠AEF=120°.连接AF,若点E是线段AF的KZ点.请直接写出线段DF的长， 20.(2026河南·二模)【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在 深刻而广泛的联系.数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动 H.I 图1 图2 图3 (1)【操作发现】如图1，长为8，宽为6的矩形纸片ABCD,将其上下对折，使得边AD和边BC重合，展 开后得到折痕EF,EF称为“矩形ABCD的二等分线”，将矩形纸片的∠B折叠，折痕过点A,且∠B的 对应点G落在矩形ABCD的二等分线EF上，折痕交BC于点H,连接AG,GH,GC,则△GHC的面积 为 (2)【迁移探究】如图2，长为8，宽为6的矩形纸片ABCD,点E、I、F、J分别是矩形纸片边AB和DC的 三等分点，沿线段EF、IW折叠，得到折痕EF和J,EF和J称为“矩形ABCD的三等分线”，将矩形纸 片的∠B折叠，折痕过点A,且∠B的对应点G落在矩形的三等分线上，折痕交BC于点H,连接AG, GH,GC,求△GHC的面积. 8/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)【拓展应用】如图3，四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD=120°，边AD和BC的三等分点分 别是E、I、F、J,沿线段EF、IJ折叠，得到折痕EF和IJ,EF和IJ称为“菱形ABCD的三等分线”， 连接对角线AC,AC与菱形ABCD的三等分线交于点G,折叠菱形的∠B,使得点B与点G重合，折痕为 KH,连接KG,GH,请直接写出△GHC的面积. 考点05 锐角三角函数 21. (2026河南·二模)如图，左、右并排有两棵大树，左低右高且底部相距BD为5米.小华眼睛距水平 地面1.6米.当她走到M处时，眼睛在F处，发现此时刚好能看到低树的顶端A,此时∠AFH=30°.当 她到达N处时，眼睛在E处，刚好看不到高树的树顶C,即E、A、C在同一直线上，且∠AEH=45°， 此时小华距离低树10米，点F、E、H、K在同一条水平直线上，图中字母均在同一平面内，请你求出两 棵树的高度，并求出小华从M处至少前进多少米时，就看不到右边高树的顶端C了.(V2≈1.41， V3≈1.73，V6≈2.45，结果保留一位小数) 22.(2026河南商丘二模)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，BC,CD分别与该扇形相切于点B,D, 若OB=3,BC=V3,则图中阴影部分的面积为 23.（2026河南周口·二模)计算和化简： (1)/11 3 n+1°-3tan60 2a-2÷a2-45 a+32a+6a+2 24.(2026河南周口·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2V3,BC=5.E为BC上的一个定点， BE=2.F为AB上的一个动点，将△BEF沿EF折叠得△GEF,折叠后点B的对应点为点G,当△CDG 9/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是以CD为底边的等腰三角形时，BF的长为」 D G B 25. (2026河南周口·二模)新考向某校实践小组开展测量某地下商业街入口玻璃顶高度的活动，记录如 下： 活动主题 用自制工具测量物体高度 实践小组制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度 重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与 自制工具 三角板的斜边平行.测量时，将挂铅锤的细线顶端固定在量角器中心点 O处，将三角板斜边紧贴被测物体表面. 90° B 90° 实物图和测量 A 示意图 B M A 图1 图2 如图1是某地下商业街入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成 的支架杆撑起的，示意图如图2，经过测量，支架的立柱AB与水平地 测量说明 面AM垂直，点A、C、M在同一水平线上，支撑杆DE⊥BC,垂足为 E. 当把自制测角工具的斜边紧贴在斜杆BC上时，铅锤线在量角器上 与0°刻度线对应的夹角为Q. 测量数据 AB=3.24米，CE=2.8米，a=33°，∠DBE=66° 备注 sin33°≈0.54，sin66°≈0.91，cos33°≈0.84，cos66°≈0.40 根据以上信息，解决下列问题： (1)求∠ACB的度数； 10/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求支撑杆顶端D到地面AM的距离（结果精确到1米）， 26.(2026河南郑州·二模)综合与探究如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC,在AC的右侧确定点 D,使得△ACD是以AD为腰的等腰三角形，且AC的对角∠ADC与等腰三角形BAC的顶角相等.我们 将△ADC称为△ABC的“和谐三角形”. D 图1 图2 图3 【问题发现】 (1)如图1，△ADC为等腰三角形ABC的“和谐三角形”，且DA=DC.猜想线段BC,AC,AD之间的 数量关系，并证明， 【类比探究】 (2)如图2，△ADC为等腰三角形ABC的“和谐三角形”，且∠BAC=∠ADC=90°，连接BD交AC 于点O,若AC=2,求线段AO的长， 【拓展延伸】 图3，等腰三角形ABC中，AB=AC,osB=,BC=6.若平面内存在点D,使得A 腰三角形ABC的“和谐三角形”，请直接写出CD的长， 27.（2026河南驻马店·二模)耧(1ou)车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、 播种架等部分组成.工作时，人们将种子倒入耧斗，通过耧腿将种子播撒到土壤中，图2为示意图，已知 耧腿OA=100Cm,耧辕为BD,点B固定在OA上，且∠ABD=120°，耧把在点A的位置.当耧车不工 作时，耧辕顶点D在地面上，此时∠AOC=78°， 大小 籽籽 耧把 耧腿 D 耧腿 A 下籽筒 耧辕 耧辕 耧腿 B 耧辕 漏籽眼 D地面 地面O 图1 图2 图3 (1)当耧车不工作时，求∠ODB的度数. (2)如图3，当耧车工作时，点D被抬起，∠AOC=45°，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度. 11/6 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (结果精确到0.1cm,参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70，√2≈1.414) 12/6 专题04 三角形 5大考点概览 考点01与三角形有关的线段和角 考点02等腰三角形 考点03直角三角形与勾股定理 考点04相似三角形 考点05锐角三角函数 与三角形有关的线段和角 考点01 1．（2026·河南周口·二模）如图，在正方形中，在的延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再根据三角形的内角和求出，则，即可解答． 【详解】解：正方形中，， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·河南郑州·二模）如图，直线，，交直线于点，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂线的性质可得，利用三角形的内角和定理求出，最后根据平行线的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·河南周口·二模）下面是某位同学对一道试题的部分解题过程、请你仔细阅读，并完成任务： 试题：如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围． 解：如图2，延长至点D，使得，连接， ∵为的中线，， 在和中， …… （①________），， 在中，，…… ∴的取值范围是②________． 任务： (1)在上述过程中，①处判定的依据是________（用字母表示），②处应填________； (2)如图3，在中，，M为的中点，D、E分别为、上的点，连接、、，，若，，求的长； (3)如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，然后将等腰直角绕点C逆时针转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上，旋转角小于），连接，M为的中点，连接，．若，，直接写出图5中和的面积差． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， （2）延长至点，使得，由得出，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， （3）延长至点，使得，由，可得，导角得，由，可得，作，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 【详解】（1）解：如图2，延长至点D，使得，连接， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，， 即：， ， ， ， 故答案为：，， （2）解：延长至点，使得，连接， ∵M为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∵， 垂直平分， ； （3）解：∵等腰直角和等腰直角，     ， 如图，延长至点，使得，连接， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 分别过作为垂足， ， ， ∴设， ∵， ， 解得， ． 等腰三角形 考点02 4．（2026·河南·二模）一同学发现能打出正方形孔洞的钻头（如图1）截面是一个近似于三角形的图形，他查阅了资料后找到了这个图形的精确作法：分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画圆，三个圆的重合部分就是钻头截面的图形（图2中实线围成的图形），如果，那么这个图形的周长是_______．（结果保留） 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 由题意可得，图形的周长是． 5．（2026·河南·二模）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到，连接．设线段的长度为，的面积为．当点在上运动的过程中，与的函数关系如图2所示，图象上最高点的坐标为，则矩形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，设，由题意可得，由勾股定理可得，证明为等边三角形，作于点，表示出，结合函数图象计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 设， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， 如图，作于点， ， 则， ∴， ∴的面积为， 由函数图象可得，函数图象是一条开口向上的抛物线，随着的增大而增大， ∵图象上最高点的坐标为， ∴此时点运动到点，即， 将代入可得：， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 6．（2026·河南周口·二模）如图，，是的半径，点在上，连接，．若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质． 连接，首先证明和是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角得到，继而根据圆周角定理得到． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的半径，点在上， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·河南郑州·二模）综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． [深入探究] (2)如图2，在矩形纸片中，点，分别是，边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] (3)在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)菱形 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由矩形的性质可得，，则，则，因此四边形是菱形； （2）容易证明，则．由折叠的性质可得，，，，则，从而证明，因此，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明结论； （3）分类讨论，当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，容易证明四边形是矩形，．由平行四边形的性质可得，从而证明，则．利用勾股定理可得，容易证明，则，利用，求得；当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点，同理可得，进而证明，则．由折叠的性质可得，，，从而求出，因此． 【详解】（1）解：∵由沿折叠得到， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得； ②当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点， 同理①可得，点为的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 直角三角形与勾股定理 考点03 8．（2026·河南商丘·二模）如图，在菱形中，，为对角线上一点，过点分别作于点．于点．若，则菱形的边长为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，连接与交于点，由菱形中，，设，则，，再根据，整理得，结合，解得，即可得菱形的边长为． 【详解】解：如图，连接，连接与交于点， ∵菱形中，， ∴，，，，， ∴中，，， 设，，， ∵，，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得， 即菱形的边长为． 9．（2026·河南·二模）我们将筝形定义为：一条对角线被另一条对角线垂直且平分的四边形．如图，在中，，，分别在边上取点，使四边形是筝形，则筝形的对角线的长为_______． 【答案】3或 【分析】先解，再分垂直平分和垂直平分两种情况进行求解． 【详解】解：在中，，， ， 又四边形是筝形， 如图，当垂直平分时，相交于点， 则垂直平分， ，又， 为等边三角形， ； 如图，当垂直平分时，相交于点，过作， ，， ， ， ， ， ， 综上，的长为3或． 10．（2026·河南·二模）如图，与相切于点，连接，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由切线的性质可得，结合圆周角定理可得即可求解． 【详解】解： 与相切于点， ，又， ， ． 11．（2026·河南·二模）如图，在中，，于，点为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．若，，，则的长度为_______． 【答案】 【分析】先在中求出，再通过相似三角形求出，进而得到，然后利用直角三角形斜边中线性质求出，进而求出，在中算出，最后通过得到． 【详解】解： ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， ， 为中点， ， ， ， ． 12．（2026·河南驻马店·二模）如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，速度为．图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：）变化的图象，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】结合图形得，当点P运动到点E处时，运动路程为，即，当点P运动到点D处时，运动路程为，得，由，求出，再求出，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得a的值． 【详解】解：从图象第一段看出，当点P运动到点E时，点P的运动路程是a， ∴， 从图象第二段看出，当点P运动到点D时，点P的运动路程是， ∴，， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，E是的中点， ∴， ∴． 13．（2026·河南·二模）半径为4的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分．已知，则阴影部分的面积为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】先求出中间空白部分（弓形）的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， ， ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为． 相似三角形 考点04 14．（2026·河南·二模）如图，将两个全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，顶点与边的中点重合，将绕点旋转，在旋转过程中，所在直线与的直角边交于点．当两个三角形纸片重叠所形成的三角形与相似时，的长度为_______． 【答案】或 【分析】分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，此时点在线段上，如图， 重叠部分为，此时， ∴， ∵为的中点， ∴； ②当点与点重合时，如图，此时点与点重合， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图，作， 此时，，， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； 综上：或或． 15．（2026·河南·二模）一学习小组想要测量路口路灯的高度，但他们只带了卷尺，经过商讨，他们制定并施行了以下方案：如图，身高1.6米的小亮（）站在离路灯一定距离的地方，测得此时小亮的影子（）长度为3.2米；小亮沿影子所在直线，向路灯方向前进6米后站定（），测得此时小亮的影子（）长度为2.4米． (1)路灯的高为多少？ (2)学习小组担心自己的测量结果与路灯的真实高度相差太大，请你为该小组提供一条减少误差的建议． 【答案】(1)路灯的高为13.6米 (2)多次测量取平均值 【分析】（1）设长为米，长为米，证明，根据相似的性质可得，再证，得到，联立即可求解； （2）多次测量取平均值（合理即可）． 【详解】（1）设长为米，长为米． ， ． ，即． ， ． ，即． 解得 答：路灯的高为13.6米． （2）多次测量取平均值（合理即可）． 16．（2026·河南商丘·二模）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：在中，，，为的或边上一点，为直线右侧一点，且，将绕点逆时针旋转得到，、对应点分别为、，直线经过点． (1)初步探究 如图1，当时， ①若点在边上，则的度数为_____； ②若点为边的中点，点为下方一点，过点作交于点，则线段与线段的数量关系是_____； (2)类比探究 如图2，当，为边的中点，为内部一点时，过点作交直线于点，写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 当，，在三角形内部时，将绕点在平面内自由旋转．若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)①；②； (2)．见解析 (3)或 【分析】（1）①点在边上，根据旋转的性质有：，即可作答；②结合旋转的性质证明，得出，再证明，即可作答； （2）过点C作于点G，结合旋转的性质，利用“”先证明，再求出，根据的角度，利用三角形函数，即可作答； （3）分情况讨论，第一种情况：此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，连接交于点L，连接交于点T，、交于点J，过点A作于点S，过点D作于点H，先证明平行四边形是菱形，再根据对应边成比例且其夹角相等证明，即可求出，；利用两个对应角相等证明，即可求出、，再利用相似可得，此时问题可结；第二种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，过点O作于点K，先证明是等边三角形，根据，可求出角的度数，结合直角三角形中的特殊角即可求解． 【详解】（1）解：①点在边上，如图， ∵中，，， ∴， 根据旋转性质有：， ∴， ②根据旋转性质有：，，， 即：， ∵， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴在等腰中，； ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点C作于点G， 根据旋转性质有：，，，， 即：， ∴， ∵， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； （3）第一种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，即，，连接交于点L，连接交于点T，、交于点J，过点A作于点S，过点D作于点H， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， 即：，， ∵在中，，， ∴是等边三角形，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，即， ∴、互相垂直平分，即，， ∴，即， 根据旋转的性质有：， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∴， ∴在中，， 即， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 第二种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，过点O作于点K， 同第一种情况可得：是等边三角形，平行四边形是菱形， ∴， ∵根据旋转的性质有：， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的长为：或． 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识，问题难点集中在第三问，合理构造辅助线，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（2026·河南周口·二模）在和中，，，，连接，． (1)探索发现：如图1，若，求证：． (2)猜想验证：如图2，若，将绕着点A旋转，旋转过程中，的值是否为定值？若是定值，请仅用图2的情形求出的值；若不是定值，请说明理由． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，当射线于点F时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知、为等边三角形，再证，进而可得即可求解； （2）先证，再证明，得到即可求解； （3）解直角三角形、，再结合进行计算． 【详解】（1）证明：， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形, , ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：的值为定值，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ． （3）解：在中，, ， 在中，， ， 设与交于点， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 由(2)知， ， 答：线段的长为． 18．（2026·河南周口·二模）某数学兴趣小组在周末利用学过的知识测量某建筑（如图1）的高，他们设计了如图2所示的测量方案：在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，从标杆后退到D处，此时A，F，D三点恰好在一条直线上；从标杆后退到C处，此时A，H，C三点也恰好在一条直线上，且所有的点均在同一平面内，，，．请你根据以上测量的数据，求该建筑的高．（结果保留整数） 【答案】该建筑的高度为． 【分析】设，再证明，，利用三角形的性质列出关于a、的方程组求解即可． 【详解】解：设，由题意可知， ∵，， ∴，， ∴，， ∵ ∴， 解得： 答：该建筑的高度为． 19．（2026·河南周口·二模）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足或，则称为线段的点． (1)如图，在中，，，若点是线段的点（），求的长； (2)如图，在中，是边上一点，连接，若点分别是线段、线段的点（）．求证：是线段的点； (3)图，在菱形中，，，点，分别是射线、射线上的动点，且满足．连接，若点是线段的点．请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点是线段的点（），则，设，则，然后通过勾股定理得，然后求出的值即可； （）由题意得，，设，则，，证明，所以，则，从而求证； （）由点是线段的点，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的点（）， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴； （2）证明：∵点分别是线段、线段的点（）， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的点； （3）解：∵点是线段的点， ∴如图，当时，在上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，在延长线上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：线段的长为或． 20．（2026·河南·二模）【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在深刻而广泛的联系．数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1，长为，宽为的矩形纸片，将其上下对折，使得边和边重合，展开后得到折痕，称为“矩形的二等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的二等分线上，折痕交于点，连接，，，则的面积为___________． (2)【迁移探究】如图2，长为，宽为的矩形纸片，点、、、分别是矩形纸片边和的三等分点，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“矩形的三等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的三等分线上，折痕交于点，连接，，，求的面积． (3)【拓展应用】如图3，四边形是边长为的菱形，且，边和的三等分点分别是、、、，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“菱形的三等分线”，连接对角线，与菱形的三等分线交于点，折叠菱形的，使得点与点重合，折痕为，连接，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用折叠性质得，在中用勾股定理算出，再通过“一线三垂直”证明，用相似比求出，进而得到，最后以为底、为高，用三角形面积公式计算结果； （2）分两种情况讨论点的位置：①在上方三等分线上；②在下方三等分线上．每种情况均先利用勾股定理算出水平距离，再通过“一线三垂直”证三角形相似，求出，进而得到，最后以为底、到底边的垂直距离为高，计算面积； （3）先利用菱形性质判定为等边三角形，再分两种情况讨论点作为三等分点的位置：①靠近，②靠近，每种情况均通过折叠性质证，列方程求出，再用三角函数求出到底边的高，最后用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：如图1，过点作的垂线，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ，点是的中点， ， 根据题意可知，， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ， ，，解得， ， ， 又， 的面积为． （2）解：①如图2，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得，， ， ， ， 的面积为． ②如图3，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得， ， ， 又， 的面积为， 综上所述，的面积为或． （3）解：在菱形中，，设为，则， ， , ∴为等边三角形， ∴， 由折叠知， ， ， ， ， ， ， 如图4，∵点E是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ， 则，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ， 如图5， ∵点I是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，，， ， ，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ． 锐角三角函数 考点05 21．（2026·河南·二模）如图，左、右并排有两棵大树，左低右高且底部相距为米．小华眼睛距水平地面米．当她走到处时，眼睛在处，发现此时刚好能看到低树的顶端，此时．当她到达处时，眼睛在处，刚好看不到高树的树顶，即、、在同一直线上，且，此时小华距离低树米，点、、、在同一条水平直线上，图中字母均在同一平面内，请你求出两棵树的高度，并求出小华从处至少前进多少米时，就看不到右边高树的顶端了.（，，，结果保留一位小数） 【答案】低树高度约为米，高树高度约为米，小华至少前进米时，就看不到高树的顶端了 【分析】先由、均垂直于地面直线得出，得到，再结合得出为等腰直角三角形，求出米，将和米代入相似比求出米，分别加上小华眼睛距地面的米得到低树高米、高树高米，接着在中利用求出米，最后用减去得到米，即小华从处至少前进米就看不到高树顶端了． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， 即， 解得， 在Rt中，， ∴， 即， 解得， 此时（米）， ，． 答：低树高度约为米，高树高度约为米，小华至少前进米时，就看不到高树的顶端了． 22．（2026·河南商丘·二模）如图，在扇形中，分别与该扇形相切于点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】如图，连接、，根据切线的性质得，，，在中，由勾股定理求出，得，则，同理可得，则，再根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵在扇形中，分别与该扇形相切于点， ∴，，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ， ∴， 同理可得， ∴， 图中阴影部分的面积 ． 23．（2026·河南周口·二模）计算和化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值计算，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．（2026·河南周口·二模）如图，在矩形中，，．E为上的一个定点，．F为上的一个动点，将沿折叠得，折叠后点B的对应点为点G，当是以为底边的等腰三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】根据是以为底边的等腰三角形，得到点落在的中垂线上，作的中垂线，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴点落在的中垂线上， 作的中垂线，则四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴，，， 当点在点下方时，如图，作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点上方时，则， ∴； 综上：或． 25．（2026·河南周口·二模）新考向某校实践小组开展测量某地下商业街入口玻璃顶高度的活动，记录如下： 活动主题 用自制工具测量物体高度 自制工具 实践小组制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的斜边平行．测量时，将挂铅锤的细线顶端固定在量角器中心点O处，将三角板斜边紧贴被测物体表面． 实物图和测量示意图 测量说明 如图1是某地下商业街入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架杆撑起的，示意图如图2，经过测量，支架的立柱与水平地面垂直，点A、C、M在同一水平线上，支撑杆，垂足为E．当把自制测角工具的斜边紧贴在斜杆上时，铅锤线在量角器上与刻度线对应的夹角为． 测量数据 米，米，， 备注 ，，， 根据以上信息，解决下列问题： (1)求的度数； (2)求支撑杆顶端D到地面的距离（结果精确到1米）． 【答案】(1) (2)支撑杆顶端D到地面的距离为8米 【分析】（1）延长刻度线交于点N，将铅锤线延长分别交、于F、P，则，得出，根据量角器的刻度线与等腰直角三角板的斜边平行，得出，则，根据，，得出； （2）在中，解直角三角形求出，结合，得出，在中，求出．过点作于，过点作于，则四边形是矩形，得米，，进而得，即得，解直角三角形得到的长，即可求出支撑杆的顶端到地面的距离； 【详解】（1）解：延长刻度线交于点N，将铅锤线延长分别交、于F、P，如图， ， ， ∵量角器的刻度线与等腰直角三角板的斜边平行， ， ， ，， ； （2）解：∵支架的立柱与地面垂直， 是直角三角形， 在中，，，， ， ， ， ， ， 在中，． 如图，过点D作于点H，过点B作于点G， 则四边形是矩形， ∴，， ， ， 在中，， （米）， ∴支撑杆顶端D到地面的距离为8米． 26．（2026·河南郑州·二模）综合与探究如图 1， 等腰三角形中，， 在的右侧确定点D， 使得是以为腰的等腰三角形，且的对角与等腰三角形的顶角相等．我们将称为的 “和谐三角形”． 【问题发现】 (1)如图 1，为等腰三角形的 “和谐三角形”，且． 猜想线段之间的数量关系，并证明． 【类比探究】 (2)如图 2，为等腰三角形的 “和谐三角形”，且，连接交于点O，若，求线段的长． 【拓展延伸】 (3)如图 3， 等腰三角形中，，，． 若平面内存在点D，使得为等腰三角形的 “和谐三角形”，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明，即可解答； （2）由（1）得：，证明，可得，即可求解； （3）过点A作于点E，求出的长，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵，均为等腰三角形，且，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时， 由（1）得：， ∴， ∴； 如图，当时，过点A作于点F，过点C作于点G， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 27．（2026·河南驻马店·二模）耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．工作时，人们将种子倒入耧斗，通过耧腿将种子播撒到土壤中．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时． (1)当耧车不工作时，求的度数． (2)如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到即可求解； （2）利用锐角三角函数分别求出不工作时端点A距离地面的高度和工作时端点A距离地面的高度，两者相减即可求出端点A下降的高度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图1，过点A作， 在中，， ∴， 如图2，过点A作， 在中，， ∴， ∴． 答：耧把从不工作到工作时端点A下降的高度约为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $