专题08 解答压轴题综合（河南专用）2026年中考数学二模分类汇编

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08解答压轴题综合 1.(2026河南周口·二模)某数学兴趣小组在周末利用学过的知识测量某建筑（如图1)的高，他们设计 了如图2所示的测量方案：在地面BC上取E,G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH,两标杆 间隔EG为41.5m,从标杆EF后退2m到D处，此时A,F,D三点恰好在一条直线上；从标杆GH后退 4m到C处，此时A,H,C三点也恰好在一条直线上，且所有的点均在同一平面内，AB⊥BC, EF⊥BC,GH⊥BC.请你根据以上测量的数据，求该建筑AB的高.（结果保留整数） G 图1 图2 2.(2026河南周口·二模)在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,∠ABC=∠ADE,连接BD, CE」 图1 图2 (1)探索发现：如图1，若∠ABC=60°，求证：BD=CE. (2)猜想验证：如图2，若∠ABC=90°，将△ADE绕着点A旋转，旋转过程中， BD 的值是否为定值？ CE 若是定值，请仅用图2的情形求出 BD CE 的值；若不是定值，请说明理由。 (3)拓展应用：在(2)的条件下，若BC=12,DE=6,当射线BD⊥AE于点F时，请直接写出线段CE 的长 3.（2026河南·二模)有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角吗？ 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B M 图1 图2 图3 (1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边AB,BC,找到它们的中点M,N,沿MN折叠，得到 折痕MN后展开.沿过点M的直线折叠△ABC使点A落在点A处，且A在直线MN上，折痕与AC交于点 E.请判断小明所做的四边形AMAE是否是菱形，并说明理由： (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在AB上取一点D,沿过D的直线折叠∠A,使A落在点A处， 且AD‖AC,折痕与AC交于点E:沿过D的直线折叠∠B,使点B的对应点B落在射线DA上，连接 EB,折痕与BC交于点F.请研究图形并回答以下问题： 0当A BD 时，DF‖EB; ②在①的情况下，△ABC的边满足条件 时，四边形DEBF是矩形 4.(2026河南周口·二模)新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中， 它迎门而悬、地位显赫.两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺 寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成.某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天 能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱. 绿 水 山平 萬 墨千 古 福 栗 童 (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 说明：一幅中 售价：1000元 堂画和两条对 对幅 a-280元/条 330元/条 /套 幅为一套 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同. 216 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条)， 若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得 最大利润？ 5.(2026河南周口·二模)南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧.位于南阳市北郊的中国月季园在一年 一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量 出拱底OA为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C 处.据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直 角坐标系、（忽略拱门厚度） y/米个 y/米A E B D x米 图1 图2 (I)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”DEFG(由三根钢管DE-EF-FG组成)、使E、F两点在 抛物线上，D、G两点在地面OA上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管： (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负 责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空 隙，仪仗队员的头不能触碰拱门)，直接写出d的取值范围. 6.(2026河南周口·二模)如图，矩形ABC0在平面直角坐标系中，点A-5,0,C0,6,反比例函数图 象L1对应的函数表达式为y=-6(X<0),反比例函数图象L,对应的函数表达式为y=k (k≠0，x<0). X 把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点. 3/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 (1)若k=-12,则L2和L1之间（不含边界）有个优点： (2)若L2和L1之间（不含边界）有4个优点，求k的取值范围 7.(2026河南开封二模)已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数) (1)当b=4,c=-1时，求抛物线的顶点M的坐标： (2)若抛物线的顶点M的坐标为m,m,当c的值最大时，求抛物线的解析式： (3)当c=2b+3时，若在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值的最大值为24，此时b和 c的值. 8.(2026河南商丘·二模)某兴趣小组利用二次函数的知识设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示， 输入x的值分别为1、3时，输出y的值均为1. 、开始 输入x 6 x1? ￥是 y-x2-2x+4 2 y=ax +8x+c 43-2-10123456 输出yA -3 结束 图1 图2 (1)求a和c的值： (2)图2是在平面直角坐标系中画出的关于的函数图象. ①若恰有三个不同的X值输出的y值相同，求y的值： ②若在函数图象上有点M,N,点M的横坐标为m-3<m<0,点N的横坐标为m+2.5.对M,N之间 (含M,N两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值之差为4时，直接写出m的取值范围， 9.（2026河南商丘·二模)综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=c,O为 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABC的AB或BC边上一点，D为直线AB右侧一点，且∠ADB=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转C 得到△AMN,B、D对应点分别为M、N,直线ND经过点O. C(M) B C(M) 图1 图2 备用图 (1)初步探究 如图1，当Q=90°时， ①若点D在BC边上，则∠BCN的度数为： ②若点O为边BC的中点，点D为BC下方一点，过点C作CF‖BD交DN于点F,则线段FN与线段BD的 数量关系是 (2)类比探究 如图2，当C=60°，O为BC边的中点，D为△ABC内部一点时，过点C作CF‖BD交直线DN于点F, 写出线段FN与线段BD的数量关系，并说明理由： (3)拓展应用 当a=60°，AD=BD=1,D在三角形ABC内部时，将△AMN绕点A在平面内自由旋转.若以A、B、 C、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出OD的长. 516 专题08 解答压轴题综合 1．（2026·河南周口·二模）某数学兴趣小组在周末利用学过的知识测量某建筑（如图1）的高，他们设计了如图2所示的测量方案：在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，从标杆后退到D处，此时A，F，D三点恰好在一条直线上；从标杆后退到C处，此时A，H，C三点也恰好在一条直线上，且所有的点均在同一平面内，，，．请你根据以上测量的数据，求该建筑的高．（结果保留整数） 【答案】该建筑的高度为． 【分析】设，再证明，，利用三角形的性质列出关于a、的方程组求解即可． 【详解】解：设，由题意可知， ∵，， ∴，， ∴，， ∵ ∴， 解得： 答：该建筑的高度为． 2．（2026·河南周口·二模）在和中，，，，连接，． (1)探索发现：如图1，若，求证：． (2)猜想验证：如图2，若，将绕着点A旋转，旋转过程中，的值是否为定值？若是定值，请仅用图2的情形求出的值；若不是定值，请说明理由． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，当射线于点F时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知、为等边三角形，再证，进而可得即可求解； （2）先证，再证明，得到即可求解； （3）解直角三角形、，再结合进行计算． 【详解】（1）证明：， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形, , ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：的值为定值，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ． （3）解：在中，, ， 在中，， ， 设与交于点， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 由(2)知， ， 答：线段的长为． 3．（2026·河南·二模）有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ (1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）由折叠可知，由平行的性质可得，即，进而得到即可证明； （2）①同理可证为菱形，再证，，进而得到； ②延长交于，当时，可证与重合，进而得到，则四边形是矩形． 【详解】（1）解：是，理由如下， 由折叠的性质可知，， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， , ， ， 四边形为菱形； （2）①当时，， 同理可证四边形为菱形， ， 由折叠可知，， ， 又，则，即， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ②的边满足条件时，四边形是矩形， 延长交于， 由①知时，， ， ， ， ，则， 又， ， 又， 与重合， 由折叠可知， 又， ，又， 则四边形是矩形． 4．（2026·河南周口·二模）新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 【答案】(1)装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人 (2)①表中a的值为500；②当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润 【分析】（1）设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人，根据“工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱”列方程组求解即可； （2）①根据“用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同”列方程求解即可； ②当时，，设购进中堂画m幅，则购进对幅条，根据题意，列不等式求出，设销售利润为w元，根据题意列出函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人， 则依题意，可列二元一次方程组为：， 解得， 答：装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人． （2）解：①根据题意，得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：表中a的值为500． ②当时，， 设购进中堂画m幅，则购进对幅条， 根据题意，得：， 解得， 设销售利润为w元， ， ， ∴当时，w有最大值，此时对幅， 答：当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润． 5．（2026·河南周口·二模）南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度） (1)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管； (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围． 【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)最多需准备米该种钢管 (3) 【分析】（1）由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线形花墙拱门的解析式为，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得出结果； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，设点的横坐标为，那么，则点的横坐标为，求出，，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）令，则，求得，，再结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：米，米， ∴，米， ∴， 设抛物线形花墙拱门的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线形花墙拱门的解析式为， ∵， ∴拱门最高点距地面的高度为米； （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 设点的横坐标为，那么， 由题意可得，点和点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，为米， 故最多需准备米该种钢管； （3）解：令，则， 解得：，， ∴（米）， ∵仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，负责人准备将队形设计成每排6人， ∴（米）， ∵当每两人间的距离为d米，每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门， ∴d的取值范围． 6．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时，先画出的图象，通过对比与的位置，数出两图象之间的优点个数． （2）先列出矩形内部（不含边界）的所有整数点，根据个优点的条件，分情况讨论这些点在两函数之间的位置，结合反比例函数的性质，列出不等式求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，经过点，，， 如图，画出的图象， 由图可知：和之间（不含边界）有4个优点． （2）解：矩形内部（不含边界）的整数点为： ， ， ， ． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 情况一：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 情况二：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 综上，的取值范围为或． 7．（2026·河南开封·二模）已知抛物线y＝ (b，c为常数)． (1)当，时，求抛物线的顶点M的坐标； (2)若抛物线的顶点M的坐标为，当c的值最大时，求抛物线的解析式； (3)当时，若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，此时b和c的值． 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 (3)b的值为6，c的值为15，见详解 【分析】（1）先把 ，代入，然后把得到的抛物线一般式配成顶点式即可求解； （2）由顶点 的坐标可得c与b的二次函数解析式，根据二次函数的性质可得b，c的值，进而求出抛物线的解析式； （3）首先把 代入得到只含有系数b的解析式，然后根据对称轴的位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：当，时，抛物线为， 所以抛物线的顶点M的坐标为； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为． ∵顶点M的坐标为， ∴　， ∴， ∴当时，c的值最大，最大值为 ，此时抛物线的解析式为； （3）解：∵， ∴． 由题意得，抛物线的对称轴为直线． 当 ，即时，对应的图象在对称轴的左侧， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随着x的增大而增大， ∴当时，函数值y最大，最大值为，解得， ∴，； 当 ，即时，对称轴在之间， ∴当时，y有最大值，为 ， ∴ ，解得或，均不符合，故舍去； 当 ，即时，对应的图象在对称轴的右侧． ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，函数值最大，最大值为， 解得(不合题意，舍去)； 综上所述，b的值为6，c的值为15． 8．（2026·河南商丘·二模）某兴趣小组利用二次函数的知识设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入的值分别为1、3时，输出的值均为1． (1)求和的值； (2)图2是在平面直角坐标系中画出的关于的函数图象． ①若恰有三个不同的值输出的值相同，求的值； ②若在函数图象上有点，点的横坐标为，点的横坐标为．对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值之差为4时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①若恰有三个不同的值输出的值相同，的值是3或1；② 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）①根据函数图象可直接进行求解； ②由题意易得，然后可得点的横坐标的范围为，进而结合函数图象及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可把代入得： ， 解得：； （2）解：①由（1）可知：， ∴当时，函数有最大值，最大值为3， 则由函数图象可知：若恰有三个不同的值输出的值相同，的值是3或1； ②由可知：当时，函数有最大值，最大值为5， ∴由点的横坐标为可知：， 由点的横坐标为及可知：， 当时，即，此时点N在函数上，当，即，此时点N在函数上， 要使在之间（含两点）的最大值和最小值的差为4，则需满足最大值为5，最小值为1， ∴由函数图象可知：当时，即，满足题意； 综上所述：的取值范围为． 9．（2026·河南商丘·二模）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：在中，，，为的或边上一点，为直线右侧一点，且，将绕点逆时针旋转得到，、对应点分别为、，直线经过点． (1)初步探究 如图1，当时， ①若点在边上，则的度数为_____； ②若点为边的中点，点为下方一点，过点作交于点，则线段与线段的数量关系是_____； (2)类比探究 如图2，当，为边的中点，为内部一点时，过点作交直线于点，写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 当，，在三角形内部时，将绕点在平面内自由旋转．若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)①；②； (2)．见解析 (3)或 【分析】（1）①点在边上，根据旋转的性质有：，即可作答；②结合旋转的性质证明，得出，再证明，即可作答； （2）过点C作于点G，结合旋转的性质，利用“”先证明，再求出，根据的角度，利用三角形函数，即可作答； （3）分情况讨论，第一种情况：此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，连接交于点L，连接交于点T，、交于点J，过点A作于点S，过点D作于点H，先证明平行四边形是菱形，再根据对应边成比例且其夹角相等证明，即可求出，；利用两个对应角相等证明，即可求出、，再利用相似可得，此时问题可结；第二种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，过点O作于点K，先证明是等边三角形，根据，可求出角的度数，结合直角三角形中的特殊角即可求解． 【详解】（1）解：①点在边上，如图， ∵中，，， ∴， 根据旋转性质有：， ∴， ②根据旋转性质有：，，， 即：， ∵， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴在等腰中，； ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点C作于点G， 根据旋转性质有：，，，， 即：， ∴， ∵， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； （3）第一种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，即，，连接交于点L，连接交于点T，、交于点J，过点A作于点S，过点D作于点H， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， 即：，， ∵在中，，， ∴是等边三角形，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，即， ∴、互相垂直平分，即，， ∴，即， 根据旋转的性质有：， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∴， ∴在中，， 即， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 第二种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，过点O作于点K， 同第一种情况可得：是等边三角形，平行四边形是菱形， ∴， ∵根据旋转的性质有：， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的长为：或． 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识，问题难点集中在第三问，合理构造辅助线，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $