精品解析：湖南长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025-2026学年九年级下学期中考一模数学试卷

2025-2026 青竹湖湘一九年级下学期中考一模数学试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 同学们，我们是初中2023级的学生，数字2023的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．根据定义求解即可． 【详解】解：∵． ∴2023的倒数是． 故选B． 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方、单项式乘法、完全平方公式、单项式除法的法则，逐一计算判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，等式成立，计算正确． 4. 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵FE⊥DB， ∵∠DEF=90°， ∵∠1=50°， ∴∠D=90°﹣50°=40°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠D=40°． 故选C． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的性质进行推理论证是解题的关键． 5. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集为 在数轴上表示为： 6. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 C. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 D. 从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量为名学生 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义，根据普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义分别进行判断即可，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意； ．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意； ．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，故选项正确，符合题意； ．从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量为，故选项错误，不符合题意； 故选：． 8. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法等知识，掌握“夹逼法”是解题的关键． 先计算，然后利用“夹逼法”判断估计出的值应在和之间，即可得出结论． 【详解】解：原式， ， ， ， 原式的值在1和2之间， 故选：B． 9. 如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，，由等角对等边得出，，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线分别交边于点， ，， ，， ，， ， 故选：B． 10. 根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期天 【答案】D 【解析】 【分析】按照题目给出的计算规则，先找到4月对应的密码数字，再加上日期求和，计算和除以7的余数，根据余数对应得到星期几即可. 【详解】解：∵ 密码从左到右12个数字依次对应1到12月，4月对应第4个数字，密码为033614625035， ∴ 4月对应的密码数字是6，计算和得 ， ∵ ，余数为0，根据规则余数0对应星期天， ∴ 2035年4月22日是星期天. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如果有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得，进而求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度到点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移横坐标减求解即可． 【详解】解：∵将点向左平移2个单位长度到点， ∴点的横坐标为，纵坐标不变， ∴的坐标为． 13. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 14. 如图，为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为．若四边形的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为，从而可求解． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴. 15. 从这四个数中任取一个数作为的值，则关于的一元二次方程 有实数根的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的值，进而根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：当时，一元二次方程有实数根， 解得或， ∴符合条件的值有和， ∵从这四个数中任取一个数作为的值，共有种结果， ∴一元二次方程有实数根的概率为． 16. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 故答案为：15． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4tan60°． 【答案】10+3． 【解析】 【分析】首先计算负整指数幂和零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，然后计算加减法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：﹣（π﹣）0+|﹣2|+4tan60° ＝9﹣1+2﹣+4 ＝10+3． 【点睛】本题考查了负整指数幂和零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得． 【详解】原式＝ =， 当时， 原式. 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19. 2026年4月17日12时10分，搭载“高精度探测卫星”的“长征四号丙”运载火箭在酒泉航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为． （1）求的距离； （2）求火箭从处到处的飞行距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，直接解直角三角形求解即可； （2）在中，解直角三角形求出，即可求解﹒ 【小问1详解】 解：在中，∵，， ∴，﹒ 即的距离为； 【小问2详解】 解：在中，∵，， ∴﹒ ∴， 即火箭从处到处的飞行距离为． 20. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析（2）90° 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）∵，， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设AE与BC交于O点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故=180°-∠BFO=90°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 21. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）成绩为“B等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 【答案】（1）5（2）72°；40（3） 【解析】 【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数； （2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值； （3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）学生总人数为3÷15%=20（人） ∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人） 故答案为：5； （2）“D等级”的扇形的圆心角度数为 m=， 故答案为：72°；40； （3）根据题意画树状图如下： ∴P（女生被选中）=． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法． 22. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只． 【解析】 【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可． (2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可． 【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两． 解得: 答:每头牛3两银子,每只羊2两银子． (2)设买牛a头,买羊b只． 3a+2b=19,即． 解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8． 答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系． 23. 在中，是钝角，交的延长线于点，分别为的中点，．连接，设与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据E，F分别为、的中点，可证得，，再根据，可证得，即可证得四边形是平行四边形，据此即可证得结论； （2）首先根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质，可求得，根据正弦的定义可求得，根据勾股定理求出，结合（1）的结论即可求得的长，最后根据勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 证明：，F分别为、的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， 又是的中点， ． ， ， ， ， 又，， ， ． 24. 若某函数的图象与轴、轴分别交于两点（与不重合），且，则称该函数为“等截距函数”．例如，函数的图象与轴交于，与轴交于，且，则称函数为“等截距函数”． （1）下列函数中，是“等截距函数”的在括号内打“√”，不是的在括号内打“×”； ①（）；②（）；③（）． （2）抛物线与轴交于两点（点在原点右侧），与轴交于点，“等截距函数”的图象经过两点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． ①如图1，连接与相交于点，当时，求点的坐标； ②如图2，平分交轴于点，过点的直线与线段分别交于，当直线绕点旋转时，为定值，请求出该定值． 【答案】（1）①√；②√；③× （2）①或；② 【解析】 【分析】 （1）根据“等截距函数”的定义分析即可； （2）①根据“等截距函数”的图象经过两点，求出，用待定系数法求出抛物线和直线的解析式，设，则．过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，证明，得出，代入数值求出，，进而可得点的坐标； ②先求出，作于点H，作于点K，利用面积法求出，得出，由得出，根据整理可得答案． 【小问1详解】 解：①当时，，当时，，且， ∴是“等截距函数”； ②当时，，当时，，且， ∴是“等截距函数”； ③当时，，当时，，且， ∴不是“等截距函数”； 【小问2详解】 解：①对于，当时，， ∴． ∵“等截距函数”的图象经过两点， ∴， ∴． 把代入，得 ， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则． 过点作轴交于点，过点作轴交于点，则， ， ∴， ， ， ， ∵， ，， ∴， ， 解得，， 或； ②解，得， ∴， ∴． ∵， ∴， 作于点H，作于点K， ∵平分，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图1，圆内接四边形中，对角线交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）如图2，为弦上一点，连接并延长交于点，若，为弧中点，，，求的长； （3）如图1，若为弧中点， ①当成立时，试判断的形状并说明理由； ②在①的结论下，若的面积为，请直接写出关于的解析式． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①是直角三角形，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据圆周角定理得出，结合已知可得出，结合圆内接四边形的性质可得出，则，根据平行线分线段成比例可求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）①根据弧、弦的关系得出，根据（1）得出，化简，得出，证明，得出，进而得出，则点B、D、E在以C为圆心，为半径的圆上，此时为直径，根据直径所对的圆周角是直角可得出，即可得出结论； ②根据勾股定理求出，结合①中，求出，证明，求出，，则，过D作于M，证明，求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵、所对的弧都是， ∴，即， 又， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵为弧中点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B、D、E在以C为圆心，为半径的圆上，此时为直径， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 过D作于M， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 青竹湖湘一九年级下学期中考一模数学试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 同学们，我们是初中2023级的学生，数字2023的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 5. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 C. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 D. 从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量为名学生 8. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 9. 如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期天 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如果有意义，那么的取值范围是_______． 12. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度到点，则点的坐标是______． 13. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 14. 如图，为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为．若四边形的面积为6，则的值为______． 15. 从这四个数中任取一个数作为的值，则关于的一元二次方程 有实数根的概率为______． 16. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4tan60°． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 2026年4月17日12时10分，搭载“高精度探测卫星”的“长征四号丙”运载火箭在酒泉航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为． （1）求的距离； （2）求火箭从处到处的飞行距离． 20. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）成绩为“B等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 22. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 23. 在中，是钝角，交的延长线于点，分别为的中点，．连接，设与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 若某函数的图象与轴、轴分别交于两点（与不重合），且，则称该函数为“等截距函数”．例如，函数的图象与轴交于，与轴交于，且，则称函数为“等截距函数”． （1）下列函数中，是“等截距函数”的在括号内打“√”，不是的在括号内打“×”； ①（）；②（）；③（）． （2）抛物线与轴交于两点（点在原点右侧），与轴交于点，“等截距函数”的图象经过两点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． ①如图1，连接与相交于点，当时，求点的坐标； ②如图2，平分交轴于点，过点的直线与线段分别交于，当直线绕点旋转时，为定值，请求出该定值． 25. 如图1，圆内接四边形中，对角线交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）如图2，为弦上一点，连接并延长交于点，若，为弧中点，，，求的长； （3）如图1，若为弧中点， ①当成立时，试判断的形状并说明理由； ②在①的结论下，若的面积为，请直接写出关于的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $