9.3 公式法（第1课时+运用平方差公式因式分解）（课件）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第九章 因式分解 9.3 公式法 第一课时 运用平方差公式因式分解 学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想（重点） 2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点） 因式分解： 和→积 整式的乘法： 积→和 因式分解 整式乘法 整式乘法与因式分解有什么联系和区别？ 知识回顾 a m b m b m a m (a－b)m 如图，在边长为a m的正方形上剪掉一个边长为b m的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ a2－b2＝(a＋b)(a－b) 几何验证 问题情境 问题1　我们已学过乘法公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)．它从左到右是乘法运算．如果我们从等式的右边出发，看到a2－b2，你能联想到它可以“变回”什么样的乘积形式吗？ 和 积 追问 请不使用计算器，快速计算1012－992. 1012－992=(101+99)×(101-99) 前面我们学习了乘法公式，请你填空： 平 方 差 公 式： (a+b)(a﹣b)= ； 完全平方公式： (a+b)2= ； (a﹣b)2= ； a2﹣b2  a2+2ab+b2  a2-2ab+b2 把上述公式反过来，就得到： a2﹣b2=                   ；   a2+2ab+b2=                    ；    a2- 2ab+b2=                   ；   (a+b)(a﹣b) (a+b)2 (a﹣b)2 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的 方法叫作公式法. 填空： a2－16＝a2－( )2＝ (a＋____) (a－____)； 64－b2＝ ( )2－b2＝ (____＋b) (____－b)； 4 4 4 8 8 8 观察这些式子在结构上有哪些共同特征？ 左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反． 右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式． □2－△2 (□－△) (□＋△) 尝试 把 平方差公式、 完全平方公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 （a+b)2=a2+2ab+b2 （a-b)2=a2-2ab+b2 反过来，就得到 a2-b2=　　 　　, a2+2ab+b2=　　 　, a2-2ab+b2=　　 　. 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法. (a+b)2　 (a-b)2 (a+b)(a-b) 获取新知 例1　(教材典例改编)把下列各式分解因式： （1）36－25x2； （2）16a2－9b2； （3）－16a2＋81b2； （4）9（a＋b）2－4（a－b）2． 例题讲解 解：（1）原式=62－(5x)2= (6+5x) (6-5x) ； （2）原式=(4a)2－(3b)2 = (4a+3b) (4a-3b) ； （3）原式=81b2－16a2= =(9b)2－(4a)2 = (9b+4a) (9b-4a) ； （4）原式=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2 =[3(a+b) +2(a-b)][3(a+b) -2(a-b)] =(5a+b)(a+5b) ． 例1 把下列各式分解因式： (1) 36－25x2 ； (2) 16a2－9b2 ； 解：(1) 36－25x2 ＝62－(5x)2 ＝(6＋5x)(6－5x)； (2) 16a2－9b2 ＝(4a)2－(3b)2 ＝(4a＋3b)(4a－3b)； 方法总结 用平方差公式因式分解的一般步骤： 1. 变形： 化成(□)2－(△)2的形式； 2. 分解： 分解成(□－△) (□＋△)的形式. (3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ． 例1 把下列各式分解因式： 解：(3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ＝[3(a＋b)]2－[2(a－b)]2 ＝[3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)] ＝(3a＋3b＋2a－2b)(3a＋3b－2a＋2b) ＝(5a＋b)(a＋5b)． [ ]内看成一个整体． 方法总结 用平方差公式因式分解的一般步骤： 3. 化简： 分解后，结果要化为最简形式． 问题情境 我们把逆向使用平方差公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法. 平方差公式： 完全平方公式： (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 和 积 活动　请以小组为单位，尝试将它们写成两个式子的乘积形式． ①x2－9 ；　②4m2－1；　③x2＋4 ；　④ (x＋y)2－z2． 问题2　哪些多项式成功分解了？它们有什么共同特征？对于像④这样的式子，其中的x＋y 你是如何看待的？ 数学活动 ①(x+3)(x-3) ②(2m+1)(2m-1) ③不能写成 ④(x+y+z)(x+y−z) 它们都可以表示为两个数（或式）的平方差的形式，即 a2−b2 的结构。 把 x+y看作一个整体（或者说是一个字母）。 1.把下列各式分解因式: （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； 解： . （4） ； 解： . 方法总结：无论公式中的a、b表示的是数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 例2 分解因式： 解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. ＝(x2+y2)(x+y)(x-y); (2)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法，最后进行检查. ＝ab(a+1)(a-1). 例2 如图，有一个圆环形的观景台，已知R＝12.5m，r＝7.5m, 求观景台（阴影部分）的面积S（结果精确到1m2）． 解：S＝πR2－πr2＝π(R＋r)(R－r) 当R＝12.5 m，r＝7.5 m时， S ＝ π(12.5＋7.5)×(12.5－7.5) ＝ π×20×5＝100π≈314 (m3)． 解：花坛的面积为(πR2－πr2) m2. 当R＝7.2，r＝2.8时，πR2－πr2 ＝π(R2－r2)＝π(R＋r)·(R－r) ＝π×(7.2＋2.8)×(7.2－2.8)＝44π. 此时花坛的面积是44π m2. 2.如图是一个圆形花坛，中间是一个圆形的水池，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R m和r m，求花坛的面积．当R＝7.2，r＝2.8时，花坛的面积是多少平方米？(结果保留π) 应用2　证明：对于任意正整数k，(k＋2)2－k2是4的倍数． 追问　如果不使用平方差公式，直接展开 (k＋2)2－k2，能证明结论吗？两种方法对比，公式法好在哪里？ 视野拓展 证明：∵(k＋2)2－k2＝(k＋2＋k)(k＋2－k)＝2(2k＋2)＝4(k＋1)， ∵k是正整数， ∴4(k＋1)也是正整数，且是4的倍数， ∴(k＋2)2－k2是4的倍数． 有公因式的多项式分解因式，先提取公因式，再尝试用乘法公式分解因式，并一直分解到不能再分解为止． 归纳总结 例3 已知k是正整数，求证: (k＋2)2－k2 是4的倍数． 证明：∵(k＋2)2－k2＝(k＋2＋k)(k＋2－k)＝2(2k＋2)＝4(k＋1)， ∵k是正整数， ∴4(k＋1)也是正整数，且是4的倍数， ∴(k＋2)2－k2是4的倍数． 教材P111 例题 3.证明：两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍． 证明：设这两个奇数分别为x，x＋2， 则这两个奇数的平方差为(x＋2)2－x2，这两个奇数和为2x＋2． ∵ (x＋2)2－x2＝(x＋2＋x)(x＋2－x)＝2(2x＋2)， ∴ 两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍． 课堂小结 1.用平方差公式分解因式的核心步骤是什么？（变形→分解→化简） 2.能运用平方差公式分解的多项式，必须具备什么特征？（两项、平方、异号） 3.运用平方差公式时，关键是什么？（明晰把多项式看成哪两项的平方差，灵活运用整体思想） 4.用平方差公式分解因式时，需要注意什么？（分解要彻底、首项为负时调整符号、整体思想的运用） 基础巩固题 1.【2024浙江杭州模拟】下列多项式中，属于 的一个因式的是( ) C A. B. C. D. 【解析】，所以的因式有 和 .故选C. 知识点1 用平方差公式分解因式 2.若，，则 ___. 4 【解析】， ， ，故答案为4. 关键点拨 将 看成一个整体，利用平方差公式分解因式是解本题的关键. 知识点2 提公因式法与平方差公式法混合分解因式 3.分解因式 a2 b － b3，结果正确的是(　D　) A. b ( a2－ b2) B. b ( a － b )2 C. ( ab ＋ b )( a － b ) D. b ( a ＋ b )( a － b ) D 4.把多项式2 x2－8分解因式，正确的是(　C　) A. 2( x2－4) B. ( x ＋2)( x －2) C. 2( x ＋2)( x －2) D. (2 x ＋4)( x －2) C 课堂小结 用平方差公式分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 注意 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 用平方差公式因式分解 形式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 特征：左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反． 右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式． 一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简． $