15.1.2 分式的基本性质课件-2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月12日 15.1.2 分式的基本性质 第15章 分式 华东师大版数学八年级下册15.1.2分式的基本性质练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列各式中，运用分式基本性质变形正确的是（ ） A. $\frac{a}{b} = \frac{a+2}{b+2}$ B. $\frac{a}{b} = \frac{am}{bm}$（$m eq 0$） C. $\frac{2a}{3b} = \frac{2a^2}{3b^2}$ D. $\frac{a}{b} = \frac{a^2}{ab}$ 2. 若分式$\frac{x}{x-1}$的分子、分母同时乘以3，分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 无法确定 3. 下列分式与$\frac{-a}{b}$相等的是（ ） A. $\frac{a}{b}$ B. $\frac{a}{-b}$ C. $\frac{-a}{-b}$ D. $\frac{--a}{b}$ 4. 把分式$\frac{x^2 - 4}{x+2}$化为最简分式，结果是（ ） A. $x - 2$ B. $x + 2$ C. $\frac{x-2}{x+2}$ D. $\frac{x+2}{x-2}$ 5. 下列分式中，最简分式是（ ） A. $\frac{2x}{4x^2}$ B. $\frac{x-1}{x^2 - 1}$ C. $\frac{x+1}{x^2 + 1}$ D. $\frac{x-2}{2x-4}$ 二、填空题（每题3分，共15分） 6. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个________的整式，分式的值不变。 7. 填空：$\frac{3x}{5y} = \frac{(\quad)}{10xy}$（$x eq 0$，$y eq 0$）。 8. 化简：$\frac{12a^2b}{18ab^2} = $________（$a eq 0$，$b eq 0$）。 9. 若$\frac{x}{y} = 2$，则$\frac{x^2}{xy - y^2} = $________（$y eq 0$，$x eq y$）。 10. 填空：$\frac{-x + y}{-x - y} = \frac{x - y}{(\quad)}$。 三、解答题（共70分） 11. （10分）利用分式的基本性质，将下列分式化为最简分式： （1）$\frac{15x^3y}{25x^2y^2}$ （2）$\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$ 12. （15分）根据分式的基本性质填空，并说明理由： （1）$\frac{a}{b} = \frac{ab}{(\quad)}$（$b eq 0$） （2）$\frac{x^2 - 1}{x+1} = \frac{(\quad)}{1}$（$x eq -1$） （3）$\frac{3a}{a+b} = \frac{6ab}{(\quad)}$（$a eq 0$，$b eq 0$，$a eq -b$） 13. （15分）判断下列分式变形是否正确，若不正确，请说明理由并改正： （1）$\frac{x}{x+y} = \frac{x^2}{x(x+y)}$ （2）$\frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)^2}{a^2 - b^2}$ （3）$\frac{2x}{4x^2} = \frac{1}{2x}$ 14. （15分）已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，求分式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$的值。 15. （15分）已知分式$\frac{ax + b}{cx + d}$（$c eq 0$），若分子、分母同时加上k（k为常数），分式的值是否一定不变？请举例说明。 参考答案 一、选择题：1.B 2.C 3.B 4.A 5.C 二、填空题：6.不等于0 7.6x² 8.$\frac{2a}{3b}$ 9.4 10.x + y 三、解答题（简要解析） 11. （1）$\frac{3x}{5y}$（分子分母同除以5x²y）；（2）$\frac{x - 3}{x + 3}$（分子因式分解为$(x-3)^2$，分母因式分解为$(x+3)(x-3)$，同除以$x-3$，$x eq 3$）。 12. （1）$b²$（分子乘b，分母也乘b）；（2）$x - 1$（分子分母同除以$x+1$）；（3）$2b(a + b)$（分子乘2b，分母也乘2b）。 13. （1）不正确，当x=0时，右边无意义，改正：$\frac{x}{x+y} = \frac{x^2}{x(x+y)}$（$x eq 0$）；（2）不正确，当$a + b = 0$时，右边无意义，改正：$\frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)^2}{a^2 - b^2}$（$a + b eq 0$）；（3）正确，分子分母同除以2x（$x eq 0$）。 14. 4（由$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$得$y - x = 3xy$，即$x - y = -3xy$，代入分式化简计算）。 15. 不一定；举例：分式$\frac{1}{2}$，分子分母同时加1得$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2} eq \frac{2}{3}$；再举例：分式$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，分子分母同时加2得$\frac{4}{6} = \frac{1}{2}$，值不变（说明当分子分母成比例时，加同一个常数可能不变，否则改变）。 学习目标 1. 通过类比分数的基本性质，经历分式的基本性质的探究过程，感知类比的思想方法，体会由“数”到“式”的抽象. (重点) 2. 掌握分式的变号法则，并运用分式的基本性质进行 恒等变形，提高运算能力. (难点) 3. 运用分式的基本性质进行分式的约分和通分. (重点) 4. 准确确定分式的最简公分母，熟练进行分式的通分. 1. 的依据是什么？ 想 一 想 2. 与 相等吗？ 新课推进 思考：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 3. 与 相等吗？ 在进行分数的化简与运算时，常常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质. 分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 思考：下列两式成立吗？为什么？ 成立，因为分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于 0 的数，分数的值不变． 分式的基本性质 你认为分式“ ”与分数“ ”，分式“ ”与“ ”相等吗？(a，m，n 均不为 0 ) 想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 思考： 分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 上述性质可以用等式表示为： 其中 A，B，C 是整式. 知识要点 例1 填空： 看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化. 想一想：(1) 中为什么不给出 x≠0，而(2)中却给出了 b≠0? 典例精析 想一想：运用分式的基本性质应注意什么? (1) “ 都 ”； (2) “同一个 ”； (3) “ 不为 0 ”. 解： 例2　不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. (1) ； (2) . 典例精析 想一想：联想分数的约分，由例 1 你能想出如何对分式进行约分吗？ （ ） （ ） 与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的公因式. 分式的约分 2 例3 约分： （1） ； （2） . 分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式. 解：（1） （2） 先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分. 典例精析 例3 约分： (1) ； 分析：约分要先找出分子和分母的公因式. 找公因式方法： (1) 取系数的最大公约数作为系数； (2) 取分子、分母相同因式的最低次幂作为因式. ( 公因式是 4xy3 ) 解：(1) 典例精析 (2) . 分析：约分时，分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解. 再找出分子和分母的公因式进行约分. (2) . 判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解. 注意 最简分式 分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 知识要点 约分的基本步骤 (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 归纳总结 注意事项： （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 找最简公分母： 第一要看系数；第二要看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母. 分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）. 分式的通分 2 试一试 找出下面各组分式的最简公分母： 最小公倍数 最简公分母 最高次幂 单独字母 不同的因式 最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂. 例5 通分： (2) 解：(1) 与 最简公分母为 a2b2，所以 (2) 与 最简公分母为 x2－y2，所以 (3) . (3) 因为 x2－y2＝ ， x²＋xy＝ ， 所以 与 的最简公分母为 ， 因此， ， . (x－y)(x＋y) x(x＋y) x(x－y)(x＋y) 随堂练习 1.分式 中，最简分式有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 随堂练习 2.若把分式 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ） A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.缩小6倍 C 随堂练习 3.在下列分式中，表示最简分式的是（ ） C 随堂练习 4.军训期间，小华打靶的成绩是 m 发 9 环和 n 发 7 环，小华的平均成绩是每发多少环？ 随堂练习 5. 约分： 随堂练习 随堂练习 返回 D 1. 中考考法 29 返回 2. 2b2 填空： 3b　 x＋y x2＋2xy＋y2 中考考法 返回 3. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号. 中考考法 返回 4. [长春期中]不改变分式的值，把分子和分母的各项系数都化为整数. 中考考法 返回 5. D [南阳期中]下列约分正确的是(　　) 中考考法 返回 6. D 下列分式中，为最简分式的是(　　) 中考考法 返回 7. 已知三张卡片上面分别写有6，x－1，x2－1，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 ______________．(写出一个即可) 中考考法 分式的 基本性质 内容 作用 分式进行约分 和通分的依据 注意 (1) 分子分母同时进行 (2) 分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减 (3) 分子分母只能同乘或同除同一个非零的数或式 进行分式运算的基础 课堂小结 使等式＝成立的m的取值范围为(　　) A．m＝0 B．m＝1 C．m＝0或m＝1 D．m≠0 (1)＝(b≠0)；＝； (2)＝；＝. － (1)＝________；(2)＝________． (1)＝________； (2)＝________． A．＝x3 B．＝0 C．＝ D．＝ A． B． C． D． (答案不唯一) $