精品解析：陕西榆林市靖边中学2026年普通高等学校招生全国统一考试考前预测(一) 数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试猜题密卷（一） 数学 注意事顶： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非选择题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（a，，为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 3. 已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 某公司于2025年1月推出了一款产品，现对产品上市后经过的时间（单位：月）和市场占有率进行统计分析，得到如下表数据： 1 2 3 4 5 0.004 0.007 0.012 0.017 0.020 由表中数据求得经验回归方程为，则当时，市场占有率约为（ ） A. 0.029 B. 0.031 C. 0.033 D. 0.035 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 26 B. 14 C. -26 D. -14 6. 已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的单调递增区间为， D. 图象的对称中心为， 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 存在，使得函数为奇函数 C. 任意 D. 函数有且仅有2个零点 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是上两点，过作轴的平行线与分别交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过点，则是直角三角形 B. 若，则直线过点 C. 若四边形是正方形，则直线过点 D. 若直线过点，且四边形的面积为8，则四边形是矩形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，内角所对的边分别为，若，则边上的高的长度为__________. 13. 已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 14. 已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列满足. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. （1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； （2）经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 17. 如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为． （1）求C的方程； （2）过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点． （i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求； （ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值． 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求证：恰有一个极值点； （3）设为的极值点，若为的零点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜题密卷（一） 数学 注意事顶： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非选择题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为集合，则. 2. 已知（a，，为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及复数相等的条件，得，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 故选：A. 3. 已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，结合渐近线方程求出，，即可得解. 【详解】由右焦点为得，所以， 又因为的一条渐近线过点，所以，所以， 所以的实轴长. 4. 某公司于2025年1月推出了一款产品，现对产品上市后经过的时间（单位：月）和市场占有率进行统计分析，得到如下表数据： 1 2 3 4 5 0.004 0.007 0.012 0.017 0.020 由表中数据求得经验回归方程为，则当时，市场占有率约为（ ） A. 0.029 B. 0.031 C. 0.033 D. 0.035 【答案】C 【解析】 【分析】由给定的数据求出样本点的中心，进而求出，即可作答. 【详解】依题意：， 回归直线过样本点的中心， 所以，解得，即经验回归方程为， 当时，， 所以当时，市场占有率约为0.033. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 26 B. 14 C. -26 D. -14 【答案】D 【解析】 【详解】展开式的通项公式为. ，. 的系数为. 6. 已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，点在以为直径的圆上，根据圆与圆的位置关系可得的范围. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点在圆上，所以， 即， 所以，解得. 7. 已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】由题知，，， 则. 设，即，，即，解得或. 当时，，则，此时共线，不合题意； 当时，，符合题意. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和的正切公式可得， 根据齐次式问题运算求解； 【详解】因为，所以， 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的单调递增区间为， D. 图象的对称中心为， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正切函数的周期公式得即可判断A；再直接代入计算即可判断B；利用正切函数的单调性和对称性即可判断CD. 【详解】对A，由题意得，则，则，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，令，解得， 则其单调递增区间为，，故C正确； 对D，由，得到， 所以的对称中心为，故选项D错误； 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 存在，使得函数为奇函数 C. 任意 D. 函数有且仅有2个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，通过导数判断函数单调性；B选项，取特殊值验证结论的存在；C选项，通过放缩，得到函数值的范围；D选项，通过函数值的符号，判断零点个数. 【详解】对于A，，因为，所以， 因此，故，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，令，则，定义域为， 且，故为奇函数，故B正确； 对于C，时，时，，故C正确； 对于D，时，时，时，， 所以只有1个零点，故D错误. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是上两点，过作轴的平行线与分别交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过点，则是直角三角形 B. 若，则直线过点 C. 若四边形是正方形，则直线过点 D. 若直线过点，且四边形的面积为8，则四边形是矩形 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质并数形结合，对各个选项进行逐一分析即可求解. 【详解】抛物线，则，准线的方程为， 若直线过点，设与轴交点为，直线为， 由，又与轴都平行， 所以，所以，A正确； 将方程与方程联立，消去，得， 设，， 由， 四边形的面积为， 所以，所以，所以四边形是矩形，D正确； 当时，，但直线不过点，所以B错误； 当四边形是正方形时，轴，不妨设， 则，又，所以， 所以不过，C错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，内角所对的边分别为，若，则边上的高的长度为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出，再利用面积法求出边上的高. 【详解】由余弦定理，. . . 所以边上的高. 13. 已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式求出到底面的距离为，结合底面正三角形的外接圆半径和外接球的性质可求得球的半径，从而求出球的表面积. 【详解】因为底面是边长为的正三角形， 所以的面积为， 设到底面的距离为，正三棱锥的体积为. 则，所以. 底面正三角形的外接圆半径，故， 设球的半径为，则， 所以，球的表面积为. 14. 已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】求出函数的对称中心并代入直线中得，化为并结合，利用基本不等式即可求得最值. 【详解】因为， 所以函数的图象的对称中心为， 将点代入直线，得， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为4. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列满足. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以，则 所以， . 16. 随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. （1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； （2）经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1），55 （2）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1可以计算出的值，再利用相应公式计算出相应组中抽取的人数. （2）根据题意的可能取值为，利用超几何分布列的计算公式及数学期望公式即可求解. 【小问1详解】 因为直方图中各个小矩形的面积之和为1，所以， 解得. 所以估计这100人中年龄不低于40岁的人数为. 【小问2详解】 的可能取值为， 则. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：设，因为，所以. 因为为劣弧的中点，所以，则，即，所以. 连接，则，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得平面，再由线面垂直的性质定理即可得证. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值公式结合同角三角函数的基本关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系. 设，则， 所以， . 设平面的一个法向量为， 由得取，则， 设平面的一个法向量为， 由得取，则， 设二面角为，则， ， 故二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为． （1）求C的方程； （2）过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点． （i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求； （ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值． 【答案】（1） （2）（i） （ⅱ）证明： 如图所示，设，则直线方程为， 直线方程为， 联立方程得，消去得， 解得，因为， 代入得， 由韦达定理得，代入得， 所以直线AQ与BP的交点的横坐标为定值4. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念，求出参数值，写出椭圆标准方程即可； （2）根据椭圆和直线的位置关系，以及韦达定理，设出点的坐标，写出斜率的代数式和中点坐标，求出斜率的积，再根据直线的性质，求出直线方程，证明其交点的横坐标为定值即可. 【小问1详解】 因为，所以，因为离心率为，所以，则， 所以椭圆标准方程为. 【小问2详解】 （i） 【小问3详解】 【小问4详解】 如图所示，由（1）可知，，则过不与坐标轴垂直的直线设为， 联立方程组得，消去得， 化简得，易知， 设，根据韦达定理可知， 则， 可知中点，则， 所以. （ⅱ）略 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求证：恰有一个极值点； （3）设为的极值点，若为的零点，且，求证：. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）证明：的定义域为， 所以， 令，因为， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减， 因为， 所以存在唯一，使得，即， 所以当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以函数在处取得极大值，为的极大值点，无极小值点. 所以恰有一个极值点. （3）证明：因为为的极值点，若为的零点，且， 所以，且，即且， 所以且，所以. 令，则在时恒成立， 所以为增函数，，即， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据导数研究函数的单调性即可； （2）函数求导，构造函数，根据函数的存在性定理可得函数的单调性，从而得证. （3）利用（2）中的结论和函数的单调性即可求证. 【小问1详解】 由题意知， 令，解得或；令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $