精品解析：陕西西安高级中学2026届高三考前自测数学试题

西安高级中学2026届模考数学试题（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．作答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（ ） A. B. C. 5 D. 9 4. 已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若和都有最小值，则有最低点； B. 若有最低点，则和都有最小值； C. 若或有最小值，则有最低点； D. 若有最低点，则或有最小值. 8. 由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 某研究机构为调查“高中生睡眠质量与经常使用电子设备是否有关”，分别去两个学校调查.甲校随机抽取300名学生，乙校随机抽取600名学生，分别得到以下数据： 甲校（300人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 60 40 100 不经常使用电子设备 140 60 200 合计 200 100 300 乙校（600人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 120 80 200 不经常使用电子设备 280 120 400 合计 400 200 600 记由甲校、乙校上述数据计算的卡方统计量分别为 .下列说法正确的有（ ） A. 甲乙两校样本中经常使用电子设备的学生比例均为  B. 甲乙两校样本经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例均为 C. 相比甲校数据，乙校数据更容易得出“睡眠质量与使用电子设备有关”的结论 D. 若将甲、乙两校合并为一个容量为 900 人的样本，则合并后的卡方统计量  10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（ ） A. 的渐近线为 B. 的焦距是虚轴长的倍 C. 若的焦点到其渐近线的距离为，则 D. 若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 11. 在无穷数列中，，则下列选项正确的是（ ） A. 若 ，，则对任意，都存在，使得 B. 若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C. 若，，使得集合中有有限个元素 D. 若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为______． 13. 某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 14. 若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 2026年是中华全国总工会创立的101周年，学校组织学生参观基层工匠的工作，学生们在参观一个加工厂时发现，一个师傅在木板上钉了两个钉子，钉子间距为8，师傅用一个长18的绳子连成绳圈，将两个钉子套在绳圈内，用一根墨笔从绳圈内顶住绳子使得绳子始终紧绷并画线．以两个钉子的连线为 轴、连线中点为坐标原点建立平面直角坐标系. （1）求轨迹方程C并求离心率； （2）左、右焦点分别为、，过的直线 交 于 、 （ 在 上方），求最大值并给出 的直线方程． 16. 设数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式； （2）若，求正整数m的值． 17. 如图，三棱柱中，，． （1）求证：平面平面； （2）若，，，； （ⅰ）当，求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）当为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值． 18. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若为边上一点，，求. 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安高级中学2026届模考数学试题（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．作答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将向量的顺时针旋转转化为复数乘法运算，通过复数除法的分母实数化求解原复数. 【详解】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 2. 已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 3. 已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，可得，再根据正弦函数的性质求得时，，进而结合题设可得，进而求解即可. 【详解】，， ∵当时，，则， ， 若存在，使得成立， 只需，解得， 结合选项，实数的取值不可能是9． 4. 已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过恰当的举例找到两个选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明选项. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子朝上的点数， 设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”，表示事件“点数是偶数点”， ， 此时满足，但，故A错误； 又，但，故D错误； 对于选项B，对于随机事件， ， 由，得， 又因为不能确定是否相互独立，所以无法确定，故B错误； 对于选项C，对于随机事件，且， 则由，得， 又，得， 又因为，所以， 则，故必要性成立， 反之，由可得， 所以，故充分性成立，所以C正确. 故选：C 5. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过面面平行可推出线面平行，找到P的轨迹，再求解轨迹长度. 【详解】 取 中点 ， 中点 ，连接, , , 为中点，为中点,所以, 平面，平面 所以; 设正方体 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，棱长为 2，则，，，， 所以，, 所以, 所以 ∵ 平面，平面,所以 又平面内，两条相交直线， 所以, 因为点在正方体的表面上运动，且平面， 因此的轨迹是平面与正方体表面相交形成的闭合折线段： , , , , 总轨迹长度：. 6. 已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合椭圆的定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解. 【详解】如图，连接，设，则，，， 在中，，即， 所以，所以， 在中，，即，所以. 7. 对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若和都有最小值，则有最低点； B. 若有最低点，则和都有最小值； C. 若或有最小值，则有最低点； D. 若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【解析】 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 8. 由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对赋值为，，，，得到四个等式，将这四个等式相加求解即可. 【详解】， 令，， 令，， 令（虚数单位，），， 令，， 将，得到 ， 又， ， ， ， 则转化为 ， 即， 即， 即，故选项D正确. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 某研究机构为调查“高中生睡眠质量与经常使用电子设备是否有关”，分别去两个学校调查.甲校随机抽取300名学生，乙校随机抽取600名学生，分别得到以下数据： 甲校（300人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 60 40 100 不经常使用电子设备 140 60 200 合计 200 100 300 乙校（600人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 120 80 200 不经常使用电子设备 280 120 400 合计 400 200 600 记由甲校、乙校上述数据计算的卡方统计量分别为 .下列说法正确的有（ ） A. 甲乙两校样本中经常使用电子设备的学生比例均为  B. 甲乙两校样本经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例均为 C. 相比甲校数据，乙校数据更容易得出“睡眠质量与使用电子设备有关”的结论 D. 若将甲、乙两校合并为一个容量为 900 人的样本，则合并后的卡方统计量  【答案】ABC 【解析】 【分析】分别计算样本中甲校与乙校学生经常使用电子设备的比例，判断A，分别计算样本中甲校与乙校经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例，判断B，分别计算甲，乙校的卡方统计量，结合独立性检验判断C,计算合并后列联表的卡方，判断D. 【详解】对于选项A，样本中甲校学生经常使用电子设备的比例为​， 样本中乙校学生经常使用电子设备的比例为​，A正确， 对于选项B，样本中甲校经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例为， 样本中乙校经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例为​，B正确， 对于选项C，分别计算甲，乙校的卡方统计量， 甲校：， 乙校：， 而越大，越有把握认为“睡眠质量与使用电子设备有关”，因此乙校更容易得出该结论，C正确， 对于选项D，合并两校数据后的列联表为：                                        睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 180 120 300 不经常使用电子设备 420 180 600 合计 600 300 900 计算得合并后卡方，D错误. 10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（ ） A. 的渐近线为 B. 的焦距是虚轴长的倍 C. 若的焦点到其渐近线的距离为，则 D. 若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以的渐近线为，正确； 对于B，因为，错误； 对于C，不妨设的右焦点到其渐近线的距离为，即，所以，正确； 对于D，设，且在直线上，所以， 又，即， 化简移项，再平方化简可得，故存在. 11. 在无穷数列中，，则下列选项正确的是（ ） A. 若 ，，则对任意，都存在，使得 B. 若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C. 若，，使得集合中有有限个元素 D. 若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，需要分析函数 的单调性，结合 的范围判断数列的变化趋势；对于选项 B ，根据递推关系和 的条件，通过不等式求解 的取值范围；对于选项 C D，结合反例可判断它们的正误. 【详解】对于选项A，已知 ，对其求导得 ，所以 在 上单调递增； 因为 ，则 ，由于 ，所以 ，那么 . 同理 ， 下证：当时， . 证明：当时，，故成立； 设当时，，则， 而 ， 故， 由数学归纳法可得， 因为时，，故， 故对任意 ，都存在 ，使得 ，故A正确. 对于选项B，已知 ． 因为对任意 ，都有 ，所以 ，解得 ， 又 ，即 ， 当 时， ，不满足对任意 ， 所以 的最大值不可能为 ，故选项B错误. 对于选项C，当 时， ， ， 以此类推，对任意 ，都存在 ，使得 ， 此时集合 有有限个元素，故选项C正确； 对于选项D，因为 ， 由于 ，故，所以 ， 这与为递减数列矛盾, 故选项D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值与极小值，再利用三次函数的图象特征求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由函数有三个零点，得，解得， 所以实数的取值范围为. 13. 某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据原5个数据的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特点，计算新样本的方差. 【详解】设原5个数据为， 由原平均数为10，得，因此； 由原方差为6，根据方差定义得，因此； 加入数据10后，新样本的平均数，与原平均数相等； 新样本的方差. 14. 若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出命题的否定对应的参数，其补集即所求. 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得， 则， 所以且， 所以，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 2026年是中华全国总工会创立的101周年，学校组织学生参观基层工匠的工作，学生们在参观一个加工厂时发现，一个师傅在木板上钉了两个钉子，钉子间距为8，师傅用一个长18的绳子连成绳圈，将两个钉子套在绳圈内，用一根墨笔从绳圈内顶住绳子使得绳子始终紧绷并画线．以两个钉子的连线为 轴、连线中点为坐标原点建立平面直角坐标系. （1）求轨迹方程C并求离心率； （2）左、右焦点分别为、，过的直线 交 于 、 （ 在 上方），求最大值并给出 的直线方程． 【答案】（1），离心率 （2）15； 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得轨迹方程和离心率. （2）设出直线 的方程，通过面积拆分简化三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与换元法，利用基本不等式求解面积最值及对应直线方程. 【小问1详解】 由题意知，，，解得， 故轨迹方程为：， 离心率． 【小问2详解】 由（1）得焦点，，设直线 的方程为，，. 的面积可拆分为与的面积之和， 即. 将代入椭圆方程，消去 得. 由韦达定理得，，则 , 故. 令（），则，. 由基本不等式得，当且仅当即时取等号，满足. 此时，即面积的最大值为15. 由得，解得，代入直线方程整理得. 16. 设数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式； （2）若，求正整数m的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）对递推式两边平方，利用三角恒等式转化，证明数列是公差为1的等差数列，结合首项求通项； （2）由求，将连乘积转化为可累乘的形式，解方程可得m的值. 【小问1详解】 已知，两边平方得：. 由三角恒等式，代入得：. 因此是公差为的等差数列，首项， 由等差数列通项公式得： . 【小问2详解】 由，，得：，​​ 因此乘积， 由题设​，两边平方得，解得. 17. 如图，三棱柱中，，． （1）求证：平面平面； （2）若，，，； （ⅰ）当，求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）当为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值． 【答案】（1）因为，​，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面 ； （2）；时，体积最大值为 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判断定理证明平面，再根据面面垂直的判断定理即可证明； （2）（i）先做出线面角，并计算和，然后在中运用等面积法计算出，最后由即可求解； （ii）把体积用的函数表示，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知平面平面，交线为，过作于，连接 则平面，因此就是与平面所成的角， 由，为直角三角形，得； 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 故，得，且， 当时，​，，在中由余弦定理： ​ ，得​​， ​面积： ， ​​ 又，得， 因此直线与平面所成角满足： . （ii）三棱柱侧棱平面，因此体积： ， 在中由余弦定理： ​， 得， ​​， 所以. 当且仅当，即时等号成立，因此体积的最大值为. 18. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若为边上一点，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）法①：由题意可得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而得，最后利用求解即可； 法②：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得从而得，利用求解即可； 法③：在中，由余弦定理可得，从而得，所以，再结合余弦定理求得，最后在直角中，由正弦的定义求解即可； 法④：利用面积公式可得，再由余弦定理可得，最后由正弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为，且， 则， 即， 得， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，因为，所以， 所以， 法①：如图在中，由余弦定理可得： ， 即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中，. 法②：同解法①， 在中由正弦定理，即， 所以， 又因为，即，所以. 法③：同上， 在直角中，，所以， 由（1）问知，所以， 即，得即， 所以，. 法④：由（1）知，则， 因为， 所以， 即，解得， 所以，即， 在中，由正弦定理，即， 解得. 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由定义得，求出，，，列出的不等式组求出的范围，从而得到． （2）必要性：由为偶函数得到，求导得到，从而得到函数是奇函数，由得到，即，故必要性成立；不充分性：不妨取，求出，则有 ，满足题设，但函数显然不是偶函数，从而得到结论. （3）由对任意且，都有，可得：对任意且，都有，即函数在上是不减函数，求出，设， 求出，由得到对恒成立，即对恒成立，构造函数，求出，利用导数求出的单调性，利用单调性画出大致图像，求出，分别按照，，讨论求解得到的范围，从而得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． 【小问2详解】 必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. 【小问3详解】 由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $