7.3.2离散型随机变量的方差课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2　离散型随机变量的方差 目 标 素 养 1.通过具体实例,理解离散型随机变量方差的概念和实际意义. 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布方差的求法,会利用公式求方差. 4.通过学习,提升数学运算和数学建模的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.离散型随机变量的方差、标准差 (1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示. (2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越 　集中　;方差或标准差越大,随机变量的取值越 　分散　.在具体问题中可反映“发挥的稳定性”“投资风险的大小”等.   微思考 随机变量的方差与样本方差的关系是什么? 提示:随机变量的方差是总体的方差,它是一个常数,样本的方差是随机变量,是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本,随着样本量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差. 2.离散型随机变量方差的线性运算性质 (1)设a,b为常数,则D(aX+b)=　a2D(X)　.  (2)D(C)=0(C为常数). 3.两点分布的方差 若随机变量X服从两点分布,则D(X)=(1-p)2p+p2(1-p)=p(1-p). 课堂·重难突破 一 求离散型随机变量的方差、标准差 典例剖析 1.甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 .设在前3次投篮中,乙投篮的次数为X,求X的分布列、均值和方差. 规律总结 求离散型随机变量X的方差的步骤: (1)理解X的意义,写出X的所有可能取值; (2)求X取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,求出期望E(X); (4)根据公式计算方差. 学以致用 1.为了继续推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算). (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X(单位:元),求X的分布列与均值E(X),方差D(X). 二 离散型随机变量的方差公式及性质 典例剖析 2.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有(　 ) A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 C.E(X)=1.8,D(X)=2 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2 答案:AD 解析:由离散型随机变量X的分布列的性质得q=1-0.4-0.1-0.2-0.2=0.1, E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2, D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8, 又Y满足Y=2X+1, 所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2. 规律总结 与离散型随机变量方差性质有关问题的解题思路 对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X). 学以致用 2.已知随机变量X的分布列如表所示,D(X)表示X的方差,则D(2X+1)=　　　　　.  答案:2 三 方差的实际应用 典例剖析 3.甲、乙两名射击爱好者在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X,Y,已知甲、乙两名射击爱好者在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X,Y的分布列; (2)求X,Y的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术. 解:(1)由题意,得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1. 因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2, 所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. 所以X,Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得,E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2; E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7; D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2 ×0.1=0.96; D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2 ×0.2=1.21. 由于E(X)>E(Y),D(X)<D(Y),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较稳定,所以甲比乙的射击技术好. 规律总结 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 (1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,先计算均值,分析平均水平的高低. (2)计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析水平的稳定性. (3)得出结论. 学以致用 3.如果有甲、乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息. 甲单位不同职 位月工资X/元 5 200 5 400 5 600 5 800 获得相应职位 的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职 位月工资Y/元 5 000 5 400 5 800 6 200 获得相应职位 的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 那么根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 解:据已知分布列可得E(X)=E(Y)=5 400, D(X)=40 000,D(Y)=160 000. 因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 所以如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位. 随堂训练 1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=3,6,9,则D(X)等于 (　　) A.6 B.9 C.3 D.4 答案:A 2.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则D(X)等于(　　) A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0 答案:B 解析:E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3, D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61. 3.若随机变量X服从两点分布,且成功的概率p=0.5,则E(X)和D(X)分别为(　　) A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75 答案:A 解析:E(X)=p=0.5,D(X)=p(1-p)=0.5×0.5=0.25. 5.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=0,D(X)=1,则a=　　　　　,b=　　　　　.  6.编号为1,2,3的3名学生随意坐入编号为1,2,3的3个座位,每名学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是随机变量X,求E(X)和D(X). 解:随机变量X的所有可能取值为0,1,3,X=0表示3名同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生, $