7.3.2离散型随机变量的方差课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息。平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．特别的，当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度. 问题引入 举例说明：平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的 一、1、在甲乙两地人口都是300万人，人们的年平均收入都是3万元。 甲地人民比如绝大多数老百姓年收入只有2000元，而少部分人年收入达1000万。 在乙地绝大部分人年收入在2.5万，少数人年收入只有2000元，少数人年收入超过10万但年收入最多也不超过15万 。 问你喜欢居住在哪地？ 答：甲地是两级分化严重，贫富差距巨大，这个地方治安状况非常乱。 乙地人民可以安居乐业。 平均数会掩盖一些极端情况，但在现实中极端情况是很重要的，重要到一个国家的社稷安危，一个政党的存亡。光看平均数看不出什么名堂 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：７　８　７　９　５　４　９　１０　７　４ 乙：９　５　７　８　７　６　８　６　 ７　 ７ 那么两个人的水平就没有什么差异吗? 如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 思考：甲、乙两人射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？ 甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定. 思考：如何度量成绩的这种差异呢？ 一、极差： 甲命中环数的极差=10-4=6， 乙命中环数的极差=9-5=4. 甲的成绩波动范围比乙的大，极差在一定程度上刻画了样本数据的离散程度. 思考：为什么说“一定程度”呢？ 因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 如果射击成绩稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；否则，会比较远.因此，可以用这个量度量成绩的波动幅度. 假设一组数据是 用 表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即 作为 到 的“距离”. 它们都可以刻画离散程度. 为什么用平方不用绝对值？ 因为绝对值复杂，计算时要去绝对值，但用平方却不用去平方，而是可以直接计算。 方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.标准差的单位与原始数据一致.在解决实际问题中，一般多采用标准差. 总体中所有个体的 变量值分别为 总体平均数为 .则称 为总体方差， 为总体标准差. 一个样本中个体的 变量值分别为 样本平均数 为 .则称 为样本方差， 为样本标 准差. 注：总体中的变量值用大写字母，样本中的变量值用小写字母。 标准差、方差名字、符号会混淆吗？ 为什么称为标准差？因为方差单位是原始数据的单位平方，开方后单位与原始数据一致，所以才配得上“标准”两字。所以有平方就是方差，开方就是标准差。不用死记硬背。 标准差（方差）刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小 .所以，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的. 实际问题中，我们通常用样本标准差估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性. 请同学们计算两名运动员成绩的标准差. 由 可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定.所以应选乙. 7.3.2离散型随机变量的方差 温州科技高级中学 张明 如何评价这两名同学的射击水平？ E(X)= 8 ;E(Y)=8 因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。 问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示： 新课引入 射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图： 发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定。 怎样度量离散型随机变量取值的离散程度? 学习新知 我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的,一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢? 某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？ X 1 2 3 4 P 某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的方差是多少？ 加权平均 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 新课引入 离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为： 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X). ··· ··· ··· ··· 称 为随机变量X的标准差。 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。 学习新知 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 因此，问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。 两名同学射击成绩的方差和标准差分别为: 因为D(Y)<D(X)(等价地， ) ，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。 问题3：方差的计算可以简化吗？ 尝试练习 1、已知随机变量X的分布列 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D(X)和σ(X)。 解1： 0 1 4 9 16 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 解2：E( D(X)=E( 问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即 D(X+b)= D(X) 而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即 D(aX)=a2D(X) 因此， D(aX+b)=a2D(X) 学习新知 练习 117 例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。 例2：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示： 收益X/元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益X/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 表1 表2 （1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？ 解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1, E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1. 因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。 解：（2)股票A和股票B投资收益的方差分别为 D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29, D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6. 因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高。 练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 巩固练习 解： 在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。 1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式 课堂小结 $