精品解析：山东烟台市福山区2026年九年级数学诊断性测试

2026年初四数学诊断性测试 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡上交． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 如图所给的、、三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设、、三个几何体的主视图分别是、、；左视图分别是、、；俯视图分别是、、．、、、、、、、、这个图形中，是矩形的有几个（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校学生给学校食堂的打分情况如图所示，由此可以得到本次打分的平均数，众数和中位数分别是（ ） A. 3.5分，3分，3分 B. 3分，3分，4分 C. 3.42分，3分，3分 D. 无法计算，3分，4分 6. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 小明研究二次函数（m为常数）性质时，得出如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝x－1上；②存在两个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为．其中错误结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 要使代数式 有意义，则x的取值范围为________． 12. 2026年3月，国家数据局宣布我国日均（词元）调用量超万亿．较2024年初亿两年增千倍、较2025年底万亿三个月增．是处理信息的最小单元，此数据反映全面融入千行百业、中国活跃度全球领先．万亿用科学记数法表示为______． 13. 如图，在矩形中，，，，点是边上的一个动点，过点作的垂线，分别交、所在直线于点、，当点从点运动到点时，点的运动路径长为______． 14. 如图，已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，菱形的对角线，交于点，且过原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过，两点，则的值是______． 16. 如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为，的半径为1，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 化简求值、解不等式 （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 18. 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，AB是的直径，点C在的外部，在图中画出内三条高的交点； （2）在图2中，AB是半圆的直径，点C在半圆的内部，在图中画出中AB边上的高． 19. 自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在九年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A． 4 B． C． 36 D． 16 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共随机抽取了______名学生的成绩； （2）求出，的值； （3）将频数分布直方图补充完整；扇形统计图中，“C．”组所对应的扇形圆心角的度数是______． （4）老师准备从取得优异成绩的D组里成绩前三位学生（前三位学生分值相同，2名男生，1名女生）当中抽取2人参加市级比赛，请用列表或者画树状图的方法计算抽到的学生恰好是1名男生1名女生的概率． 20. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 21. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 22. 如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA． （1）求证：∠ABD=2∠BDC； （2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC； （3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度． 23. 综合与实践 问题情境：在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上． 探究实践： （1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数； 探究发现： （2）如图2，连接，发现三条线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现； 探究拓广： （3）如图3，连接，，若正方形的边长，请直接写出面积的最大值． 24. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上． 　　　　　　　　　　　 （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值； （3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初四数学诊断性测试 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡上交． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在数轴上的位置即可得结论． 【详解】解：由数轴可得，，且， ∴数轴上点表示的数可能是． 2. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【详解】解：第一，二，三个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 第四个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形， ∴既是轴对称图形也是中心对称图形的有3个． 3. 如图所给的、、三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设、、三个几何体的主视图分别是、、；左视图分别是、、；俯视图分别是、、．、、、、、、、、这个图形中，是矩形的有几个（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据立体图形的特征，分析其三视图，再汇总即可． 【详解】解：几何体为圆柱，其主视图和左视图为矩形，俯视图为圆； 几何体为四棱柱，其主视图、左视图和俯视图均为矩形； 几何体为三棱柱，其主视图为三角形，左视图和俯视图为矩形； 综上，矩形一共有个． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的四则运算法则逐项判断即可． 【详解】A、，故运算错误，不符合题意； B、，故运算错误，不符合题意； C、，故运算错误，不符合题意； D、，故运算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的加、减、乘、除运算，解题的关键是掌握运算法则． 5. 某学校学生给学校食堂的打分情况如图所示，由此可以得到本次打分的平均数，众数和中位数分别是（ ） A. 3.5分，3分，3分 B. 3分，3分，4分 C. 3.42分，3分，3分 D. 无法计算，3分，4分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平均数、众数、中位数的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，本次打分的平均数为分， 3分占， ∴众数为3分，中位数为3分．   故选：C ． 6. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解． 【详解】根据作图可知为的角平分线，， ∴ 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴点E到的距离为 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线之间的距离，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 7. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 8. 小明研究二次函数（m为常数）性质时，得出如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝x－1上；②存在两个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为．其中错误结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可． 【详解】解：二次函数（m为常数） ∴顶点坐标为（m， m-1） 把x=m代入y＝x－1，得：y=m-1， ∴这个函数图象的顶点始终在直线y=x-1上 故结论①正确； ②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形 令y=0，得（x-m）2+m-1=0，其中m≤1 解得：， ∵顶点坐标为（m，m-1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形 ∴|m-1|=|m-（m-）| 解得：m=0或1， 当m=1时，二次函数y=（x-1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去； ∴存在m=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形 故结论②错误； ③∵x1+x2＞2m ∴＞m ∵二次函数y=（x-m）2+m-1（m为常数）的对称轴为直线x=m ∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离 ∵x1＜x2，且a=1>0 ∴y1<y2 故结论③正确； ④当-1＜x＜3时，y随x的增大而减小，且a=1>0 ∴m的取值范围为m≥3． 故结论④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到、、、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出，，，进而得，，，，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…， ∴，，，…， ∵， ∴点在第一象限，坐标为即， 故选：C． 10. 如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，根据题意容易得到，，则；对于②：容易证明，则；对于③，由等腰三角形的性质可得，结合直角三角形的性质可得；对于④，取的中点，连接、，由直角三角形的性质和勾股定理可计算出，，结合可得，最小． 【详解】解：对于①：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 对于②：在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵，， ∴， ∵， ∴，故③错误； 对于④：如图，取的中点，连接、， 在中，点为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，故④正确； 综上，正确的结论为：①②④． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 要使代数式 有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和解不等式，先根据题意得出，且，再求解即可． 【详解】∵代数式 有意义， ∴，且， ∴， 故答案为：． 12. 2026年3月，国家数据局宣布我国日均（词元）调用量超万亿．较2024年初亿两年增千倍、较2025年底万亿三个月增．是处理信息的最小单元，此数据反映全面融入千行百业、中国活跃度全球领先．万亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为原数的位数减一．先将万亿还原，再使用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 13. 如图，在矩形中，，，，点是边上的一个动点，过点作的垂线，分别交、所在直线于点、，当点从点运动到点时，点的运动路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，点在以为直径的圆弧上．分析点从点到点时，点运动路径的两个端点可知，点的运动路径为圆心角为，半径为的圆弧，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在以为直径的圆弧上， 当点与点重合时，点也与点重合； 当点与点重合时，如图，取的中点，连接， ∴点的运动路径为， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， ∴点的运动路径长为． 14. 如图，已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】用扇形的面积减去的面积和半圆的面积即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴ ． 15. 如图，菱形的对角线，交于点，且过原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过，两点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的解析式为，再设点，由中点坐标可得点．根据反比例函数的性质可列方程，解得，从而求出的值． 【详解】解：∵过原点， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴点为线段的中点， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过，两点， ∴， 整理，得， 解得或（与点重合，舍去）， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得． 16. 如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为，的半径为1，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质以及勾股定理，把要求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短的性质进行求解． 【详解】解：如图所示，连接，． ∵切于点，的半径为1， ∴，， ∴ 要使最小，只需最小， 根据垂线段最短，当轴时，最小，最小， 此时点的坐标是． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 化简求值、解不等式 （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）化简结果为，值为 （2）， 画数轴如下： 【解析】 【分析】（1）先按照分式混合运算的法则进行化简，再计算出的值，代入求值即可； （2）先求出不等式组的解集，再用数轴表示出来即可． 【小问1详解】 解： ， ， 当时，原式； 【小问2详解】 解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 数轴略． 18. 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，AB是的直径，点C在的外部，在图中画出内三条高的交点； （2）在图2中，AB是半圆的直径，点C在半圆的内部，在图中画出中AB边上的高． 【答案】（1） 如图，点即为所求， （2） 即为中AB边上的高． . 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及三角形的三条高线交于同一点，连接交于点，则点即为所求， （2）同（1）方法，延长，，交于点，分别交半圆于点， 作射线，交于点，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作三角形的高，直径所对的圆周角是直角，垂心的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 19. 自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在九年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A． 4 B． C． 36 D． 16 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共随机抽取了______名学生的成绩； （2）求出，的值； （3）将频数分布直方图补充完整；扇形统计图中，“C．”组所对应的扇形圆心角的度数是______． （4）老师准备从取得优异成绩的D组里成绩前三位学生（前三位学生分值相同，2名男生，1名女生）当中抽取2人参加市级比赛，请用列表或者画树状图的方法计算抽到的学生恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1） （2）； （3） 频数分布直方图补全如下： （4） 【解析】 【分析】（1）根据A组的学生数和占比，反推抽取的学生数即可； （2）用抽取的学生数减去其他组的人数即可得到B组的学生数，进而求出占比； （3）根据（2）中计算出的数据补全统计图，由C组的占比计算出对应的圆心角； （4）使用列表法计算概率即可． 【小问1详解】 解：由统计图表可得，样本中A组学生数为4名，占比为， ∴抽取的学生数为（名）； 【小问2详解】 解：由（1）可知，抽取的学生数为80名， ∴B组的学生数为（名）， ∴， B组的占比， ∴； 【小问3详解】 解：C组对应的圆心角为； 【小问4详解】 解：列表如下： 男1 男2 女 男1 男1男2 男1女 男2 男2男1 男2女 女 女男1 女男2 一共有6种等可能的结果，其中抽到的两人恰好是1名男生1名女生的情况有4种， ∴抽到的学生恰好是1名男生1名女生的概率为． 20. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】（1）度 （2） 解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷 （2）采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元 【解析】 【分析】（）设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，根据题意列出方程解答即可求解； （）设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，根据题意求出的取值范围和与的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷， 由题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷； 【小问2详解】 解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， 的值随的增大而减小， 当时，（万元）， 此时乙型无人机（台）， 答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元． 22. 如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA． （1）求证：∠ABD=2∠BDC； （2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC； （3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度． 【答案】 （1）证明：连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β， 则∠CAB=∠BDC=α， ∵点C为弧ABD中点， ∴=， ∴∠ADC=∠DAC=β， ∴∠DAB=β﹣α， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ADB=90°， ∴α+β=90°， ∴β=90°﹣α， ∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α）， ∴∠ABD=2α， ∴∠ABD=2∠BDC； （2）证明：∵CH⊥AB， ∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°， ∵∠CAB=∠CDB， ∴∠ACE=∠ADC， ∵∠CAE=∠ADC， ∴∠ACE=∠CAE， ∴AE=CE； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论； （3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB==26，由相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图2，连接OC，∴∠COB=2∠CAB， ∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，∴∠COB=∠ABD， ∵∠OHC=∠ADB=90°，∴△OCH∽△ABD，∴， ∵OH=5，∴BD=10，∴AB==26，∴AO=13，∴AH=18， ∵△AHE∽△ADB，∴，即=，∴AE=，∴DE=． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境：在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上． 探究实践： （1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数； 探究发现： （2）如图2，连接，发现三条线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现； 探究拓广： （3）如图3，连接，，若正方形的边长，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）根据折叠的性质可得，则，进而根据，即可求解； （2）过点 作，交 的延长线于点，证明得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）根据折叠的性质可得，得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当在上时，的面积最大，此时，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）把 沿 所在直线折叠，点 落在点处， 四边形 是正方形， ， 沿 所在直线折叠使点 与点重合， ， 的度数不变且为 （2） 理由如下：如图，过点 作，交 的延长线于点 在正方形 中，， 由（）可知，，， 在中， 在 和中， 在中， （3）解：∵折叠， ∴ ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在上时，的面积最大，此时 ∵ ∴， ∴ ∴面积的最大值为 24. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上． 　　　　　　　　　　　 （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值； （3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． 【答案】（1）y =x²+2x+3 （2）最大值 （3）定值16 【解析】 【分析】（1）利用顶点式可得结论； （2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设，，推出最大时，的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论； （3）如图，设，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为D（1，4）， ∴根据顶点式，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD， BD交PM于点J，设， 点，在直线l：上， ∴， ∴， ∴直线DT的解析式为， 令，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴最大时，的值最大， ∵，， ∴直线BD的解析式为， ∴， ∴， ∵ ， ∵二次项系数， ∴时，最大，最大值为11， ∴的最大值； 【小问3详解】 解：四边形AFBG的面积不变． 理由：如图，设， ∵，， ∴直线AP的解析式为， ∴， ∵E，G关于x轴对称， ∴， ∴直线PB的解析式为， ∴， ∴， ∴四边形AFBG的面积， ∴四边形AFBG的面积是定值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $