精品解析：山东省烟台市福山区2025年中考一模数学试题

2025年初四数学诊断性测试 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟，考试结束后，请将答题卡上交． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各数中与3互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，还考查了求一个数的绝对值、立方根，算术平方根． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：A、，3和3是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意． B、3和是互为倒数，故此选项错误，不符合题意． C、，和3是相反数，故此选项正确；符合题意； D、，3和3是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此即可判断． 【详解】解：第一个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； 第二个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意； 第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意； 第四个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意； ∴是轴对称图形但不是中心对称图形的有2个， 故选：C． 3. 下列运算中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式除法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式，根据整式除法、积的乘方的运算法则以及合并同类项和完全平方公式计算分析即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，故选项符合题意； B、，原式计算错误，故选项不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； D、，原式计算错误，故选项不符合题意． 故选：A． 4. 小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，解题的关键是正确地得到几何体的形状，这样才可以求体积．根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 该工件的体积是． 故选：A 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），EF为后下叉，已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，，求出，进一步计算即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∵， ， 故选：B． 6. 小明在九年级上学期参加了四次单元过关，以及期中和期末考试，所有考试的数学成绩如表所示．若根据如图所示的权重计算本学期的总评成绩，则小明在本学期的总评成绩是多少分（ ） 测试类型 单元测试 期中 期末 1 2 3 4 成绩（分） 90 85 86 89 90 88 A. 87.25 B. 87.5 C. 88 D. 88.55 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数的计算．先计算单元检测的平均成绩，再用各自的成绩，分别乘以对应的百分比，列式计算即可得解． 【详解】解：单元检测平均成绩（分）， 总评成绩（分）． 故选：D． 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子．白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子．第3种如图③有8个氢原子．……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是90个，请问这是第几种化合物的分子结构？（ ） A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 由题意得，， 解得，， 故选：C． 8. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可判断①；先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据角的和差即可判断②；先证出，从而可得，再设，从而可得，，由此即可判断③；先证出，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得为等腰三角形，然后根据角的和差可得，由此即可得判断④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， （等腰三角形的三线合一），则①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，则②错误； ， （等腰三角形的三线合一）， 在和中，， ， ， 设， ， ， ， ， ，则③错误； ， ， 点是线段的中点， ， 在和中，， ， ， 为等腰三角形， ， ，即， 为等腰直角三角形，则④正确； 综上，判断正确的是①④， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，二次根式的除法运算等知识点，较难的是④，正确找出两个全等三角形是解题关键． 9. 如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，直径所对的弦是圆的直径；连接，设是的中点．点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，．根据线段扫过面积即可求解． 【详解】连接，设是的中点． ∵半径为2，． ∴， 中，； 中，． 点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，． 线段扫过面积 10. 已知矩形，等腰直角斜边．如图1，先将矩形边放在的斜边上，点与点重合，然后向右平移（如图2），直至点与点重合时停止（如图3）．设平移距离为，矩形与重合部分的面积为，那么关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，分，两种情况分别求面积即可． 【详解】解：当时，如图，此时在线段上，与交于，与交于， ∵等腰直角，矩形， ∴， ∴，， ∴矩形与重合部分的面积为； 当时，如图，此时在线段外，与交于，与交于， 同理可得，， ∴矩形与重合部分的面积为； 综上，故选A. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列出表格如下： 思想政治 地理 化学 生物 思想政治 思想政治，地理 思想政治，化学 思想政治，生物 地理 地理，思想政治 地理，化学 地理，生物 化学 化学，思想政治 化学，地理 化学，生物 生物 生物，思想政治 生物，地理 生物，化学 由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果， 某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 12. 将一副常规三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则________°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质根据三角板的角度以及垂直的定义，即可得出，进而根据三角板的角度以及三角形的外角的性质即可得出． 【详解】解：如图， 解：依题意，， ， 故答案为： 75． 13. 如图，正六边形的边长为，以对角线为直径作圆．则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．过点作于点，根据等腰三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 六边形为正六边形， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知抛物线（a，b，c均为常数，且）经过点，下列结论：①；②；③当时y随x的增大而增大；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是________个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据抛物线经过点、结合题意判断①②；根据抛物线的对称性判断③；根据一元二次方程根的判别式判断④． 【详解】解：②∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即，故②正确； ①∵，， ∴， ∴，故①正确； ③∵ ∴对称轴， ∴当时，随的增大而增大，故③正确； ④∵， ∴， 对于方程，， ∴方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上所述，其中正确结论的个数是4． 故答案为：4． 15. 如图，点A、B、C三点分别在反比例函数y=（x<0）、y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点E，BC⊥x轴于点F，AB经过原点，若S△ABC=5，则k1+k2-2k3的值为________． 【答案】-10 【解析】 【分析】此题可根据反比例函数图像性质特点，可将△ABC分成两个小三角形△AOE，△BOF和一个四边形OECF，由反比例函数性质知=，=，=，又S△ABC=5=，由此即可得到k1+k2-2k3 的值． 【详解】根据题意由图像知S△ABC=++， 又∵点A、B、C三点分别在反比例函数y=（x<0）、y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象上， ∴=，=，=OEOF=， ∴S△ABC=， ∵S△ABC=5， ∴， ∴==-10． 故答案为：-10 【点睛】此类题考查反比例函数图像的理解，重点是根据图像能够求出图像上的点的纵横坐标与原点构成的图形与k的关系． 16. 如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可以得到，进而得到，即在以为斜边向上作等腰的外接圆上运动，所以当过圆心O时最大，进而计算即可解题． 【详解】， ， ，， ， ，为定值．以为斜边向上作等腰 在以O为圆心为半径的圆上， 当过圆心O时最大， 正方形的边长为2， ， ， ． 【点睛】本题属于几何中的隐圆问题，涉及正方形的性质，等腰三角形的性质和圆周角、圆心角定理，对于线段最值的求解问题，可观察所求线段是否过某一定点或是绕某一定点旋转，如若具有此特点，可先分析运动过程，对动点的运动轨迹进行研究，否则可考虑设未知量，引入函数模型，利用条件最值来解决．本题所求线段中点E为定点且绕点E运动，因此得到点F的运动轨迹是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题．满分72分） 17. （1）先化简，再求值：其中． （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），； （2）不等式组无解， 在数轴上表示不等式的解集为： 【解析】 【分析】本题考查的是解不等式组，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟知分式混合运算和解不等式组的法则是解答此题的关键． （1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解． 18. 已知：四边形．求作：一个．使与直线相切，并且点到边和边的距离相等，到点和点的距离也相等． 【答案】 解： 【解析】 【分析】作和线段的垂直平分线，相交于点O，过点O作于点H，以为半径画圆即可． 【详解】解：∵点到边和边的距离相等，到点和点的距离也相等， ∴点O是和线段的垂直平分线的交点． 过点O作于点H，以为半径画圆即可． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，以及尺规作图，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 19. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 平均数（单位：分） 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 m 8 7 （1）补全频数直方图．并求扇形统计图中圆心角a的度数为________； （2）表格中的______，______（填“>”“=”或“<”）； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择________公司？ （4）从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图所示． （2）8；< （3）甲 （4） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （2）根据平均数与方差的定义即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）列表展示所有6种等可能的结果数，找出选中的两人均是男的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：甲快递公司在配送速度得9分的人数为（人）， 扇形统计图中圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：乙公司7分的占比为， 所以平均数为， ， ， ， 故答案为：8，； 【小问3详解】 解：该农产品种植户应选择甲公司（答案不唯一），理由如下： 配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 甲更稳定， 应选择甲公司； 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：列表如下： 男1 男2 女 男1 男1男2 男1女 男2 男2男1 男2女 女 女男1 女男2 ∵一共有6种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有2种等可能的结果， ∴Р（选中的两人都是男生）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）求直线的函数表达式及点B的坐标； （2）过点A的直线分别与x轴、反比例函数的图象交于点M，N．且，连接，求的面积． 【答案】（1）直线的函数表达式为， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平行线分线段成比例等知识． （1）将代入直线与反比例函数，可得答案； （2）过点A作轴于P，过点N作于Q，根据平行线分线段成比例得，可得，从而得出直线的解析式为，，再计算即可； 【小问1详解】 解：将代入反比例函数得，， ， 将点代入得，， 直线的函数表达式为， 联立直线与反比例函数得， ， 解得，（舍）， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴于，过点作于Q， 设与轴交于， ， ， ， ， ， ， 设线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ，. 直线的函数表达式为， 令，则， ， 21. 如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，支撑杆于点E，且，从点B观测点D的仰角为，又测得米．（参考数据：，，） （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端点D到地面的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）该支架的边的长为米； （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）在中，，根据已知可得，即可求解． （2）由代入数据求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 即该支架的边的长为米； 【小问2详解】 解：根据已知可得，在中，，且， ∴， 即， 解得：， 在矩形中，， ∴米． 22. 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售，若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为(元)(利润销售售额成本广告费)． 若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳效纳元的附加费，设月利润为(元)(利润销售额成本附加费)． （1）分别求出W内，与x之间的函数关系式(不需写x的取值范围)； （2）①当x为何值时，在国内销售的月利润最大？ ②若国外销售月利润的最大值与国内销售月利润的最大值相同，则a的值_____； （3）如果某月要将5000件产品全部销售完，因外销售的成本a为30元件，请你通过分析帮助公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 【答案】（1）； （2）①当时，国内销售的月利润率最大；②30 （3）选择国外销售才能使所获月利润较大 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用最值问题，解决本题的关键是正确理解题意能够找到题目中蕴含的等量关系，熟练掌握二次函数的性质求函数最值． （1）根据“利润销售额成本广告费”可求出与x间的函数关系式，根据“利润销售额成本附加费”可求出与x间的函数关系式； （2）先运用二次函数的性质求出取最大值时x的值，再根据的最大值等于的最大值，列出关于a的方程，解方程即可求出a的值； （3） 代入x和a的值，分别求出W内，，然后再比较大小即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 ①由得： 当时，国内销售的月利润率最大， ②当时， ∴当时， (不含题意，舍去) ， 故答案为：； 【小问3详解】 当时，元 当时，元 选择国外销售 23. 如图①，中，．点D为边上一点，以为直径作，点A在O上，过点B作交的延长线于点E，交于点F．连接． （1）求证：； （2）如图②，当与相切时，四边形是什么特殊四边形？证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵BD为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴； （2） 菱形， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理求得，利用等角的余角相等求得，再圆内接四边形的性质求得，即可证明； （2）由，推出，得到，利用切线的性质结合圆周角定理求得，证明，证得四边形是平行四边形，由，推出是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 24. （1）如图1，在中，，．过点A作，垂足为D．以点D为顶点作，使上，，连接，，延长分别交，于点G，H． ①求证：； ②求证：． （2）如图2，在中，，．过点A作，垂足为D．以点D为顶点作，使，，连接，，延长分别交，于点G，H． ①猜想与的数量关系并证明； ②猜想与的位置关系并证明． （3）如图3，在中，，．过点A作，垂足为D．以点D为顶点作，使，．连接，，延长分别交，于点G，H，则与的数量关系为______；与的位置关系为______． 【答案】 （1）证明①∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴，则， 在和中， ， ∴，； ②在①中，知道，则， ∵， ∴，， 即， ∴； （2）①，证明如下： ∵， ∴， 即∴，即， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即； ②，证明如下： 在①中，知道， 则， ∵， ∴，， 即， ∴； （3）， 【解析】 【分析】（1）①由，，得是等腰直角三角形，再由，得，，从而证明即可；②在下得知，根据三角形内角和为以及对顶角相等即可得证； （2）①根据两边成比例，夹角相等证明即可；②在下得知，根据三角形内角和为以及对顶角相等即可得证； （3）①根据两边成比例，夹角相等证明即可；②在下得知，根据三角形内角和为以及对顶角相等即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3），证明如下： ∵， ∴， 即∴，即， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即 ，证明如下： ∵， 则， ∵， ∴，， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形以及相似三角形等综合知识，灵活掌握全等三角形以及相似三角形的判定是解题的关键． 25. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过B、C两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求拋物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2；试探究直线是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是，直线过定点 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由，可得 ，当时，有最大值为，此时； （3）设直线的解析式为，，当时，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，当时，，，再由，可得，即，整理得，，由此可知直线经过点． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时， 将点B、C代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， 过点作轴交于点，过点作轴交于点 ， ， ， 的面积为的面积为， 点为直线BC上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； 【小问3详解】 解：直线过定点，理由如下: 设直线的解析式为， 当时，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，， 当时，， 整理得，， 直线经过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初四数学诊断性测试 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟，考试结束后，请将答题卡上交． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各数中与3互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列运算中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（ ） A. B. C. D. 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），EF为后下叉，已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小明在九年级上学期参加了四次单元过关，以及期中和期末考试，所有考试的数学成绩如表所示．若根据如图所示的权重计算本学期的总评成绩，则小明在本学期的总评成绩是多少分（ ） 测试类型 单元测试 期中 期末 1 2 3 4 成绩（分） 90 85 86 89 90 88 A. 87.25 B. 87.5 C. 88 D. 88.55 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子．白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子．第3种如图③有8个氢原子．……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是90个，请问这是第几种化合物的分子结构？（ ） A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 8. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 9. 如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知矩形，等腰直角斜边．如图1，先将矩形边放在的斜边上，点与点重合，然后向右平移（如图2），直至点与点重合时停止（如图3）．设平移距离为，矩形与重合部分的面积为，那么关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________． 12. 将一副常规三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则________°． 13. 如图，正六边形的边长为，以对角线为直径作圆．则图中阴影部分的面积为_________． 14. 已知抛物线（a，b，c均为常数，且）经过点，下列结论：①；②；③当时y随x的增大而增大；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是________个． 15. 如图，点A、B、C三点分别在反比例函数y=（x<0）、y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点E，BC⊥x轴于点F，AB经过原点，若S△ABC=5，则k1+k2-2k3的值为________． 16. 如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是__________． 三、解答题（本大题共9个小题．满分72分） 17. （1）先化简，再求值：其中． （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 18. 已知：四边形．求作：一个．使与直线相切，并且点到边和边的距离相等，到点和点的距离也相等． 19. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 平均数（单位：分） 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 m 8 7 （1）补全频数直方图．并求扇形统计图中圆心角a的度数为________； （2）表格中的______，______（填“>”“=”或“<”）； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择________公司？ （4）从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）求直线的函数表达式及点B的坐标； （2）过点A的直线分别与x轴、反比例函数的图象交于点M，N．且，连接，求的面积． 21. 如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，支撑杆于点E，且，从点B观测点D的仰角为，又测得米．（参考数据：，，） （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端点D到地面的距离．（结果精确到0.1米） 22. 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售，若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为(元)(利润销售售额成本广告费)． 若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳效纳元的附加费，设月利润为(元)(利润销售额成本附加费)． （1）分别求出W内，与x之间的函数关系式(不需写x的取值范围)； （2）①当x为何值时，在国内销售的月利润最大？ ②若国外销售月利润的最大值与国内销售月利润的最大值相同，则a的值_____； （3）如果某月要将5000件产品全部销售完，因外销售的成本a为30元件，请你通过分析帮助公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 23. 如图①，中，．点D为边上一点，以为直径作，点A在O上，过点B作交的延长线于点E，交于点F．连接． （1）求证：； （2）如图②，当与相切时，四边形是什么特殊四边形？证明你的结论． 24. （1）如图1，在中，，．过点A作，垂足为D．以点D为顶点作，使上，，连接，，延长分别交，于点G，H． ①求证：； ②求证：． （2）如图2，在中，，．过点A作，垂足为D．以点D为顶点作，使，，连接，，延长分别交，于点G，H． ①猜想与的数量关系并证明； ②猜想与的位置关系并证明． （3）如图3，在中，，．过点A作，垂足为D．以点D为顶点作，使，．连接，，延长分别交，于点G，H，则与的数量关系为______；与的位置关系为______． 25. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过B、C两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求拋物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2；试探究直线是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $