指数函数课件-2027届高考数学一轮复习

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第7节　指数函数 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第7节　指数函数 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 指数函数的图象与性质应用 1. (人教A版必修第一册教材习题改编)如图,①②③④中不属于函数y=2x,y=6x,y=()x的一个是(　　)[命题点❷] A.① B.② C.③ D.④ B 返回目录 2.(人教A版必修第一册教材习题)函数y=-2-x与y=2x的图象(　　) [命题点❷❻] A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 C 解析:因为y=-2-x,即-y=2-x,所以函数y=-2-x与y=2x的图象关于原点对称. 返回目录 3.(人教B版必修第二册教材习题改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点 (-1,2),那么这个函数也必定经过点(　　)[命题点❶] A.(-2,) B.(-1,) C.(1,2) D.(3,) D 解析:由题意设f(x)=ax,则f(-1)=a-1=2,所以a=,f(x)=,故f(3)= 返回目录 4.(苏教版必修第一册教材习题改编)若函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则a的值为(　　)[命题点❹❺] A.2 B.3 C.4 D. A 返回目录 关键点2 指数幂式的比较大小与计算 5.(人教A版必修第一册教材习题改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是(　　)[命题点❺] A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b C 解析:易得1.70.3>1,y=0.9x在定义域内是减函数,则b<c<1,故a>c>b. 返回目录 6.(人教A版必修第一册教材习题改编)已知2x-1<23-x,则x的取值范围是　　　　　.[命题点❹] (-∞,2) 解析:由指数函数的性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-∞,2). 返回目录 关键点3 指数型复合函数的性质与应用 7.(2026·广西桂林检测)函数f(x)=的定义域是(　　)[命题点❸❹] A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,0] D.(-∞,1] A 解析:要使函数有意义,则需2x-1≥0,即为2x≥1,解得x≥0,则定义域为[0,+∞).故选A . 返回目录 8.(2026·湖南岳阳模拟)函数f(x)=3|x-1|的单调递减区间为(　　)[命题点❺] A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.(-∞,0] D.[0,+∞) A 解析:令u=|x-1|=其单调递减区间为(-∞,1],而函数y=3u为增函数,所以函数f(x)=3|x-1|的单调递减区间为(-∞,1].故选A. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.指数函数的定义 幂的系数为1,底数为大于0且不等于1的常数 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.[❶] 返回目录 2.指数函数的图象与性质 a的取值决定图象的上升与下降,在y轴左侧a越大图象越接近x轴,在y轴右侧则相反 指数函数 a>1 0<a<1 图象[❷] 定义域 R[❸] 值域 (0,+∞) 返回目录 指数函数 a>1 0<a<1 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数[❹] 在(-∞,+∞)上是减函数[❺] y=ax与y=()x的图象关于y轴对称[❻] 返回目录 3.指数函数图象与性质核心结论 (1)分类讨论:涉及底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况讨论. (2)关键定点:图象恒过定点(0,1),(1,a),(-1,). (3)图象对称:所有指数函数图象相交于(0,1)点;底数互为倒数的两个函数图象关于y轴对称. (4)位置关系:如图所示,底数大小关系为0<c<d<1<a<b时,可确定各函数图象的相对位置. 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　指数函数的图象及应用 命题视角:常考查图象识别、变换及参数求解,结合单调性、定点比较大小,注重数形结合与分类讨论思想的应用. 例1 (1)(多选)已知a>0,则函数f(x)=ax-2a的图象可能是(　　) AD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:当x=1时,f(1)=a-2a=-a<0,排除B,C;当a=2时,f(x)=2x-4,此时函数对应的图象可能为A;当a=时,f(x)=()x-1,此时函数对应的图象可能为D.故选AD. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知函数y=+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab等于(　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 C 解析:因为函数y=f(x)=a()|x|+b图象过原点,所以a()0+b=0,得a+b=0,又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交,所以b=2,则a=-2,所以ab= -4.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (1)(多选)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为(　 　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b ABC 解析:由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象, 如图所示,由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故A正确;作出直线y=k,当k>1时,若3a=6b=k,则0<b<a,故B正确;作出直线y=m,当0<m<1时,若3a=6b=m,则a<b<0,故C正确;当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b=6b,故D错误. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2026·湖北武汉开学考试)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限,则g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为(　　) A.(0,) B.(-∞,) C.(-∞,) D.(0,) A 解析:由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、三、四象限,可得b<-1,所以g(b)=f(b)-f(b-1)=3b-3b-1=3b·(1-)=3b<3-1=,又因为3b>0,所以g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为(0,).故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 能力要语 围绕指数函数(含绝对值形式)的图象与性质展开,通过数形结合的方法,分析函数图象的象限分布、零点(或交点)情况及参数关系,解题时均注重利用指数函数的单调性、定点特征及平移(翻折)规律,将方程、不等式问题转化为函数图象交点问题来判断参数范围或变量关系. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　指数函数的性质及应用 角度 1 比较大小 命题视角:聚焦利用其单调性比较大小、求解方程与不等式,并结合图象分析参数与性质,体现数形结合思想. 例2 (2026·江苏开学考试)已知α∈(0,)(x=(sin α)cos α,y=(cos α)sin α, z=sin αcos α,则x,y,z的大小关系是(　　) A.y<x<z B.z<x<y C.x<y<z D.z<y<x B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为α∈(0,),所以0<sin α<<cos α<1,所以0<sin αcos α<sin α.所以y=(sin α)t是减函数,所以sin α<(sin α)cos α<(sin α)sin α<1.又因为y=xsin α,x>0是增函数,所以(sin α)sin α<(cos α)sin α.所以z<x<y,故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b A 解析:易知c==(,又y=()x在定义域上单调递减,<1<,所以b>>c.又因为y=(x>0)单调递增,,则a==b.综上a>b>c. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 解指数方程或不等式 例3 (1)已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是(　　) A.[2,4] B.(-∞,0) C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] D 解析:∵y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],∴1≤4x-3·2x+3≤7,且2x>0,∴0<2x≤1或2≤2x≤4,解得x≤0或1≤x≤2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)若不等式对任意的x∈(1,4)恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-5) B.(-∞,-5] C.[-1,+∞) D.(-∞,-1) A 解析:∵, ∴,∴x3+x2>x2+x(a+1),即x3-4x2>x(a+1),∵x∈(1,4),∴x2-4x>a+1,当x=2时,x2-4x有最小值-4,∴a+1<-4,解得a<-5. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (1)已知0<a<1,f(x)=,则使f(x)>1成立的一个充分不必要条件是(　　) A.-2<x<0 B.-1<x<0 C.x<1 D.x<-2或x>1 B 解析:因为f(x)>1,所以>a0,因为0<a<1,且函数y=ax在R上单调递减,所以x2+2x<0,解得-2<x<0,因为-1<x<0能推出-2<x<0,-2<x<0不能推出-1<x<0,所以使f(x)>1成立的一个充分不必要条件为-1<x<0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)若函数f(x)=4x-a·+4的一个零点是0,那么它的另一个零点为　　　　　.  2 解析:依题意有f(0)=40-a·2-1+4=0,解得a=10,于是f(x)=4x-10·2x-1+4=(2x)2-5·2x+4,令2x=t(t>0),则函数化为y=t2-5t+4,令y=0,解得t=1或t=4,当t=1时,得x=0;当t=4时,得x=2,所以函数f(x)的另一个零点为2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 解题思维路径 统一形式,构造函数,利用单调性比较. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 关键能力思维链 观察方程或不等式结构→优先尝试化为同底指数形式→利用指数函数单调性,将指数关系转化为代数关系求解→注意底数是否大于1,以决定不等号方向→最后验证结果. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　指数型函数性质的综合 命题视角:指数函数单调性、图象、复合函数性质的综合运用,常与不等式、值域、参数范围问题结合,考查转化化归与分类讨论思想. 例4 (1)(一题多解)(2023·新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析: (方法1　导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D. (方法2　复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数f(x)=2x(x-a)在(0,1)内单调递减,只需函数h(x)=x(x-a)=在(0,1)内单调递减,所以1,即a≥2.故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(多选)(2026·吉林延边开学考试)已知函数f(x)=+a(a∈R),则(　　 ) A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) B.f(x)的值域为R C.当a=1时,f(x)为奇函数 D.当a=2时,f(-x)+f(x)=2 ACD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于函数f(x)=+a(a∈R),令2x-1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为 (-∞,0)∪(0,+∞),故A正确;当x>0时,2x>1,2x-1>0,>0,所以+a>a;当x<0时,0<2x<1,-1<2x-1<0,<-2,所以+a<-2+a,综上可得,f(x)的值域为(-∞,-2+a)∪(a,+∞),故B错误;当a=1时,f(x)=+1=,定义域为 (-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=+1为奇函数,故C正确;当a=2时,f(x)=+2=+1,则f(x)+f(-x)=+1++1=2,故D正确. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 (多选)已知函数f(x)=,则(　 　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0,2] C.函数f(x)在[-2,+∞)上单调递增 D.f()>f(4) ABD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:令u=x2+4x+3=(x+2)2-1,则u∈[-1,+∞).f(x)的定义域为R,故A正确;因为y=,u∈[-1,+∞),所以函数f(x)的值域为(0,2],故B正确;因为u=x2+4x+3=(x+2)2-1在[-2,+∞)上单调递增,且y=在u∈[-1,+∞)上单调递减,函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,故C不正确;由于函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,则f()>f(4),故D正确. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:以指数函数为载体的复合函数单调性判断与参数求解 1.设函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞) D 解析:函数y=3x在R上单调递增,而函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,所以y=|2x-a|在区间(1,2)上单调递减,所以2,解得a≥4.故选D. 返回目录 2.(原创)已知函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,则函数y=f(x)的单调递增区间为(　　) A.(-1,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,0) B 解析:因为函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,所以2|-x+a|=2|x+a|,解得a=0,所以函数f(x)=2|x|=其单调递增区间为(0,+∞).故选B. 返回目录 命题趋势2:指数函数联系实际生活或科学情境问题,强化实际应用与创新情境 3.生态环境保护是功在当代、利在千秋的事业,良好的生态环境既是自然财富,也是经济财富,关系经济社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中污染物的残留数量P(单位:毫米/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·e-kt(t≥0),其中k为常数,k>0,P0为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时,若前9小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,则再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为原污染物的(参考数据:≈0.585) (　　) A.12% B.10% C.9% D.6% A 返回目录 解析:因为前9小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,所以P0·e-9k=P0,即 e-9k=,所以e-3k=再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为P0·e-12k =P0×(e-3k)4=P00.585×P0≈12%P0. 返回目录 模块内融合:将幂函数图象性质与指数函数、对数函数、二次函数、函数变换等知识结合命题 4.(原创)已知函数f(x)=4x+a·2x在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.[-4,+∞) B.(-∞,-4] C.[-8,+∞) D.(-∞,-8] C 解析:设t=2x,则由x≥2可知t≥4,由t=2x为增函数以及题意可知,函数y=t2+at在区间[4,+∞)上单调递增,结合y=t2+at的单调递增区间为[-,+∞)可知,-4,则a≥-8.故选C. 返回目录 $