第二章一元二次方程（习题课件）2025-2026学年数学浙教版八年级下册

第二章　一元二次方程 2.2　一元二次方程的解法（第3课时） 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程化成一般式. （2）方程的两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1. （3）移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项. （4）配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式. （5）求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用开平方法求解，如果方程的右边整理后是负数，则原方程无解. 1. 珍珍将方程x2－4x－2＝0化为（x＋p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（　B　） A. 正确 B. 不正确，p的值应为－2 C. 不正确，q的值应为2 D. 不正确，q的值应为4 B 2. 用配方法解方程2x2－ x－2＝0，应先把它变形为（　D　） A. （x－ ）2＝ B. （x－ ）2＝0 C. （x＋ ）2＝ D. （x－ ）2＝ 3. 若9x2－（k＋2）x＋4是一个关于x的完全平方式，则k的值是（　D　） A. 10 B. 10或14 C. －10或14 D. 10或－14 D D 4.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列各式中的哪一个？(　　) B A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9 C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5 5. （山东中考）用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为（x＋a）2＝b的形式，则a＋b的值是 　 　. 6. 若把y＝2x2－4x－1化为y＝2（x＋h）2＋k的形式，则h＝ 　－1　，k＝ 　－3　. 7. 已知关于x的方程x2＋2kx＋k2＝0的一个根是－1，则k＝ 　1　. 8. 对方程x2＋ x－ ＝0进行配方，得x2＋ x＋m＝ ＋m，其中m＝ 　 　. 　 －1　 －3　 1　 　 （1）2x2－4x－6＝0. 【答案】x1＝3，x2＝－1. （2）3x2－6x－1＝0. 【答案】x1＝ ，x2＝ . （3）6x2－x－12＝0. 【答案】x1＝ ，x2＝－ . （4）2x2＋x－ ＝0. 【答案】x1＝ ，x2＝ . 9. 用配方法解方程： 10. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成下列问题. 解：2x2＋4x－8＝0， 二次项系数化为1，得x2＋2x－4＝0， 第一步 移项，得x2＋2x＝4， 第二步 配方，得x2＋2x＋4＝4＋4，即（x＋2）2＝8， 第三步 由此，可得x＋2＝±2 ， 第四步 所以，x1＝－2＋2 ，x2＝－2－2 . 第五步 （1）小明的解题过程，从第 　三　步开始出现错误. 三　 （2）请给出正确的解题过程. 【答案】（2）将2x2＋4x－8＝0二次项系数化为1，得x2＋2x－4＝0，移项，得x2＋2x＝4，配方，得x2＋2x＋1＝4＋1，即（x＋1）2＝5，直接开方，得x＋1＝± ，故原方程的解为x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . 11. 已知M＝5x2＋6，N＝4x2＋4x，则M 　＞　N（填“＞”“＜”或“＝”）. 12. 关于x的方程a2x2－2ax－3＝0的一个解为x＝3，求a的值及方程的另一个解. 【答案】把x＝3代入得9a2－6a－3＝0，解得a＝1或a＝－ ，当a＝1时，方程的另一个解为x＝－1；当a＝－ 时，方程的另一个解为x＝－9. ＞　 13. 已知x＝1时，二次三项式2x2－3mx＋4的值等于－6. （1）m的值为 　4　. （2）是否存在实数x，使得这个二次三项式的值为－8？说明理由. 【答案】（2）存在.理由如下：∵这个二次三项式的值为－8，即2x2－12x＋4＝－8，解得x＝3± ，所以存在实数x，使得这个二次三项式的值为－8. 4　 14.阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值。 解：因为m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，所以(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，所以(m－n)2＋(n－4)2＝0，所以(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，所以n＝4，m＝4。 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知a2＋6ab＋10b2＋2b＋1＝0，则a＝ ，b＝ 。 (2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求 △ABC的周长。 (3)已知x＋y＝2，xy－z2－4z＝5，求xyz的值。 3 －1 【答案】(2)因为2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，所以2a2－4a＋2＋b2－6a＋9＝0，所以2(a－1)2＋(b－3)2＝0，所以a＝1，b＝3，根据三角形三边关系可知：2<c<4，因为a，b，c都是正整数，所以c＝3，所以△ABC的周长为1＋3＋3＝7。 (3)因为x＋y＝2，所以y＝2－x，则x(2－x)－z2－4z＝5，所以x2－2x＋1＋z2＋4z＋4＝0，所以(x－1)2＋(z＋2)2＝0，则x－1＝0，z＋2＝0，解得x＝1，y＝1，z＝－2，所以xyz＝1×1×(－2)＝－2。 THANK YOU！ $第二章　一元二次方程 2.1　一元二次方程和它的解 1. 定义：方程的两边都是 　整式　，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 　2　次，这样的方程叫做一元二次方程. 2. 一般形式：一元二次方程的一般形式是 　ax2＋bx＋c＝0　；其中a，b，c是已知数，且a≠ 　0　. 3. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）. 整式　 2　 ax2＋bx＋c＝0　 0　 1. 有以下两个方程：甲：x2＝0，乙：x2－y＝0，其中（　A　） A. 甲是一元二次方程 B. 乙是一元二次方程 C. 甲和乙均是一元二次方程 D. 甲和乙均不是一元二次方程 A 2. 关于x的方程（m＋1）x2＋2mx－3＝0是一元二次方程，则（　D　） A. m≠±1 B. m＝1 C. m≠1 D. m≠－1 3. 方程3x2－5x＋7＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　B　） A. 3，5，7 B. 3，－5，－7 C. 3，－5，7 D. 3，5，－7 4. （四川中考）已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值是（　D　） A. 0 B. ±1 C. 1 D. －1 D C D 5. 方程（2x＋1）（x－3）＝x2－1化为一般形式为 　x2－5x－2＝0　，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 　－6　. 6. 关于x的方程（m－1）x2＋（m＋1）x＋3m－1＝0，当m 　＝1　时，是一元一次方程；当m 　≠1　时，是一元二次方程. x2－5x－2＝0　 －6　 ＝1　 ≠1　 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数项 8x2＝5x 8x2－5x＝0 8 －5 0 －2（x－2）2＋8x＝0 －2x2＋16x－8＝0 －2 16 －8 （x＋1）（x－2）＝5 x2－x－7＝0 1 －1 －7 8x2－5x＝0 8 －5 0 －2x2＋16x－8＝0 －2 16 －8 x2－x－7＝0 1 －1 －7 7. 填表： 8. 判断下列未知数的值是不是方程2x2＋x－1＝0的根. x1＝－1，x2＝1，x3＝ . 【答案】x1＝－1和x3＝ 是方程的根，x2＝1不是方程的根. 9. 已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根为x1＝7，x2＝－1，求这个方程. 【答案】x2－6x－7＝0 10. 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）. （1）如果这个方程有一个根是0，那么常数项c有什么特征？ 【答案】（1）常数项c为0. （2）如果这个方程有一个根是1，那么a，b，c满足怎样的关系？ 【答案】（2）a＋b＋c＝0. （3）如果这个方程有一个根是－1，那么a，b，c满足怎样的关系？ 【答案】（3）a－b＋c＝0. 12. 若关于x的方程（k－1）x2＋ x＝1是一元二次方程，则k的取值范围是 　k≥0且k≠1　. k≥0且k≠1　 11.如表是某同学求代数式ax2＋bx(a，b为常数)的值的情况。根据表格中数据，可知关于x的方程ax2＋bx－6＝0的实数根是(　　) A. x1＝2，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝－2，x2＝3 x … －2 －1 0 1 2 3 … ax2＋bx … 6 2 0 0 2 6 … D 14. 已知a是方程x2－2x－1＝0的一个根，求代数式（a－1）2＋a（a－2）的值. 【答案】∵a是方程x2－2x－1＝0的一个根，∴a2－2a－1＝0，∴a2－2a＝1，∴（a－1）2＋a（a－2）＝a2－2a＋1＋a2－2a＝2a2－4a＋1＝2（a2－2a）＋1＝2×1＋1＝3. 13.关于x的一元二次方程ax2－bx＋2024＝0有一个根为x＝20，则方程a(x－2)2－b(x－2)＋2024＝0必有一根为 。 x＝22 15.阅读下列材料： 方程x2＋3x－1＝0两边同时除以x(x≠0)，得x＋3－ ＝0，即x－ ＝－3。因为(x－ )2＝x2＋ －2，所以x2＋ ＝(x－ )2＋2＝11。 根据以上材料解答下列问题： (1)已知方程x2－4x－1＝0(x≠0)，则x－ ＝ ；x2＋ ＝ 。 (2)若m是方程2x2－7x＋2＝0的根，求m2＋ 的值。 4 18 【答案】(2)因为m是方程2x2－7x＋2＝0的根，所以2m2－7m＋2＝0，所以m－ ＋ ＝0(m＝0时不满足原方程)，所以m＋ ＝ ，所以(m＋ )2＝m2＋2＋ ＝ ，所以m2＋ ＝ 。 THANK YOU！ $第二章　一元二次方程 2.2　一元二次方程的解法（第2课时） 1. 用开平方法解一元二次方程：一般地，对于形如x2＝a（a≥0）的方程，根据平方根的定义，可得x1＝ ，x2＝－ .这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. 2. 用配方法解一元二次方程：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 1.方程5x2－20＝0的解是(　 　) 2. 若x＝2是方程3x2－7＝a2的一个根，则a的值是（　D　） A. 5 B. ±5 C. D. ± 3. 用配方法解x2－4x＋1＝0时，配方后所得的方程是（　B　） A. （x＋2）2＝3 B. （x－2）2＝3 C. （x－2）2＝1 D. （x＋2）2＝1 D D B A．x＝－2 B．x1＝4，x2＝－4 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝－2 4. （四川中考）若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0配方后得到方程（x＋3）2＝2c，则c的值是（　C　） A. －3 B. 0 C. 3 D. 9 5. 将下列各式配方： （1）x2－4x＋（　 　4　　）＝（x－ 　2　）2. （2）x2－ x＋（　 　）＝（x－ 　 　）2. （3）x2＋2 x＋（　 　2　　）＝（x＋ 　 　）2. 6.如果(3m＋2)(3m－2)＝77，那么m的值为 。 C 4 2　 　 2 　 ±3 　 7. 定义：若m＋n＝2，则称m与n是关于2的和谐数.若（2x－1）2关于2的和谐数是－2，则x的值是 　　 . 8. 把一元二次方程x2＋6x＋4＝0化成（x＋m）2＝n的形式，求m＋n的值. 【答案】8 或－ 　 9. 用开平方法解方程： （1）9x2－16＝0. 【答案】移项，得9x2＝16.方程两边同除以9，得x2＝ .解得x1＝ ，x2＝－ . （2） x2＝25. 【答案】方程两边同乘3，得x2＝75，解得x1＝5 ，x2＝－5 . （3）－ （x－1）2＝－3. 【答案】将原方程整理，得（x－1）2＝ .两边开平方，得x－1＝± ＝± .移项，得x＝1± ，即原方程的解为x1＝ ，x2＝ . （4）（x－2）2＝（2x＋3）2. 【答案】方程两边开平方，得x－2＝±（2x＋3），即x－2＝2x＋3或x－2＝－2x－3，解得x1＝－5，x2＝－ . 10. 用配方法解方程： （1）x2－4x＝5. 【答案】x1＝5，x2＝－1. （2）－x2－8x＋3＝0. 【答案】x1＝－4＋ ，x2＝－4－ . （3）x2＝2 x＋4. 【答案】x1＝ ＋ ，x2＝ － . （4）x（x－3）＝6＋5x. 【答案】x1＝4＋ ，x2＝4－ . 11. 如图，数轴上点A，B表示方程（3x－9）2－37＝0的两个根a，b（a＞b），它们在数轴上的对应点的位置可以是（　D　） A. B. C. D. 12. 若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m＋1与2m－4，则式子 的值是 　－10　. D －10　 13. 已知等腰三角形的底边长为8，腰长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，求这个三角形的面积. 【答案】由x2－8x＋15＝0，配方得（x－4）2＝1，解得x1＝3，x2＝5.∵等腰三角形的底边长为8，且当x＝3时，边长为3，3，8的三条线段不能组成三角形，∴x＝5符合题意.易得底边上的高为3.∴三角形的面积为12. 14.请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式x2＋6x＋5的最小值。 x2＋6x＋5＝x2＋2·x·3＋32－32＋5＝(x＋3)2－4。 因为(x＋3)2≥0，所以当x＝－3时，x2＋6x＋5有最小值－4。 请根据上述方法，解答下列问题： (1)x2＋5x－1＝(x＋a)2＋b，则ab的值是 。 (2)求证：无论x取何值，代数式x2＋2 x＋7的值都是正数。 (3)若代数式2x2＋kx＋7的最小值为2，求k的值。 － 　 【答案】(2)x2＋2x＋7＝(x2＋2 x＋ )＋1＝(x＋ )2＋1，因为(x＋ )2≥0，所以(x＋ )2＋1≥1，所以代数式x2＋2 x＋7的值都是正数。 (3)2x2＋kx＋7＝2(x2＋x)＋7＝2x2＋2· ·x＋（ ）2－（ ）2 ＋7＝2(x＋ )2－k28 ＋7，因为(x＋ )2≥0，所以代数式2x2＋kx＋7有最小值为7－ 。因为代数式2x2＋kx＋7的最小值为2，所以7－ ＝2。解得k＝±2 。 THANK YOU！ $第二章　一元二次方程 2.3　一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，那么x1＋x2＝ ，x1·x2＝ 。 　－ 　 　 　 1.已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根是(　　) B A．5 B．－1 C．2 D．－5 2. (天津中考)若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　　) A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6 C．x1·x2＝ D．x1·x2＝7 A A．a＝－3，b＝1 B．a＝3，b＝1 C．a＝－ ，b＝－1 D．a＝－ ，b＝1 3. 已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1·x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　) 4.已知x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两个根，且x1＋x2＝3，x1·x2＝1，则a，b的值分别是(　　) A D A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0 5. 已知方程x2－3x＋1＝0的两个根为α，β，则α＋β＝　　，αβ＝ 。 6．(宜昌中考)已知x1，x2是方程2x2－3x＋1＝0的两根，则代数式 的值 是 。 7．写出一个以－1和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程： 。 8．甲、乙两同学解方程x2＋px＋q＝0，甲看错了一次项系数，得根为2和7；乙看错了常数项，得根为1和－10，则原方程是 。 3 　1　 　1　 　 x2－4x－5＝0 　 x2＋9x＋14＝0　 9.已知a，b是方程x2＋3x－2＝0的两个不相等的实数根，求下列各式的值： ①a2＋b2； 【答案】因为a，b是方程x2＋3x－2＝0的两个不相等的实根，所以a＋b＝－3，ab＝－2，a2＋3a＝2，①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝9＋4＝13； ②(1＋a2)(1＋b2)； ③a3＋3a2＋2b。 【答案】(1＋a2)(1＋b2)＝1＋a2＋b2＋a2b2＝1＋13＋4＝18； 【答案】a3＋3a2＋2b＝2a＋2b＝2(a＋b)＝2×(－3)＝－6。 10. 已知关于x的方程x2－(k＋4)x＋2k＋4＝0。 (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根。 (2)若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式(x1－2)(x2－2)的值。 【答案】(1)证明：Δ＝[－(k＋4)]2－4(2k＋4)＝k2＋8k＋16－8k－16＝k2，因为k2≥0，所以Δ≥0，所以该方程总有两个实数根。 (2)因为该方程的两个实数根为x1，x2，所以x1＋x2＝k＋4，x1·x2＝2k＋4，所以(x1－2)(x2－2)＝x1·x2－2x1－2x2＋4＝x1·x2－2(x1＋x2)＋4＝2k＋4－2(k＋4)＋4＝2k＋4－2k－8＋4＝0。 11.如果a，b是方程x2－3x＋1＝0的两根，那么代数式a2＋2b2－3b的值为(　　) A．6 B．－6 C．7 D．－7 A 12.已知关于x的一元二次方程x2－2(m＋2)x＋m2－5＝0有实数根，是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。 【答案】存在。设方程的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝－ ＝2(m＋2)，x1·x2＝ ＝m2－5，所以x12 ＋x22 ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2m2＋16m＋26，令2m2＋16m＋26＝44，即m2＋8m－9＝0，解得m1＝1，m2＝－9，因为方程 x2－2(m＋2)x＋m2－5＝0有实数根，所以Δ＝b2－4ac＝16m＋36≥0，即 m≥－ ，综上所述m＝1。 13.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋2)x＋m2＝0的两个实数根。 (1)当m＝0时，求方程的根。 (2)若(x1－2)(x2－2)＝41，求m的值。 (3)已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长。 【答案】(1)当m＝0时，方程即为x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝4。　(2)因为(x1－2)(x2－2)＝41，所以x1·x2－2(x1＋x2)＝37，又因为x1＋x2＝2(m＋2)，x1·xc＝m2，所以m2－4(m＋2)＝37，整理得m2－4m－45＝0，解得m1＝9，m2＝－5，当m1＝9时，方程为x2－22x＋81＝0，Δ>0，与题意相符，当m2＝－5时，方程为x2＋6x＋25＝0，Δ<0，舍去。所以m＝9。　(3)①当9为底边长时，此时方程x2－2(m＋2)x＋m2＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4(m＋2)2－4m2＝0，解得m＝－1，所以方程为x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，因为1＋1<9，所以不能构成三角形。②当9为腰长时，设x1＝9，代入方程得81－18(m＋2)＋m2＝0，解得m1＝15，m2＝3，当m＝15时方程为x2－34x＋225＝0，解得x1＝9，x2＝25，因为9＋9<25，所以不能组成三角形；当m＝3时方程为x2－10x＋9＝0，解得x1＝1，x2＝9，此时三角形的周长为9＋9＋1＝19。 THANK YOU！ $第二章　一元二次方程 2.4　一元二次方程的应用（第1课时） 1. 利润问题：总利润＝单位利润×销售量；利润＝售价－进价；利润率＝ ×100％. 2. 增长率问题：基数×（1＋增长率）2＝增长两次后的数量. 1. 两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程是（　D　） A. x（x＋2）＝195 B. （2x＋1）（2x－1）＝195 C. x（x＋1）＝195 D. x（x－2）＝195 D 2. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　　) C A．20% B．22% C．25% D．28% 3. 一个小组有若干人，新年每人互送贺年卡片一张，已知全组共送贺卡72张，则这个小组共有(　　) A．12人 B．18人 C．9人 D．10人 C 4. 某超市将进价为40元/件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件。经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件。超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为(　　) C A．(50－40＋x)(500－x)＝8000 B．(40＋x)(500－10x)＝8000 C．(50－40＋x)(500－10x)＝8000 D．(50－x)(500－10x)＝8000 5. （重庆中考）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率是多少？设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，列出的方程是 　301（1＋x）2＝500　. 6. 李先生存入银行6万元，先存一个定期，一年后将本息自动转存另一个一年定期（年利率不变），两年后共得本息6.84万元，存款的年利率是多少？设存款年利率为x，根据题意，列出的方程是 　6×（1＋x）2＝6.84　. 301（1＋x）2＝500　 6×（1＋x）2＝6.84　 7. 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，当10≤x≤20时，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）之间满足关系式y＝－x＋30，若该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为840元，根据题意，列出的方程是 　（x－8）（－x＋30）＝840　. 8. 小区篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，若兰亭小区队以全胜成绩卫冕冠军，则兰亭小区队在本次比赛中连胜 　11　场. （x－8）（－x＋30）＝840　 11　 9. 英德红茶以香气持久、茶汤红亮、滋味浓甜等特点备受人们喜爱。某茶商购进一批英德红茶，进价为80元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒。为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，每盒英德红茶每降价2元，平均每天可多售出4盒。若在让利于顾客的情况下，每盒英德红茶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ 【答案】设每盒英德红茶降价x元时，商家平均每天能盈利1200元。由题意得(120－x－80)(20＋ x)＝1200，解得x＝10或x＝20，因为要让利于顾客，所以x＝20，所以在让利于顾客的情况下，每盒英德红茶降价20元时，商家平均每天能盈利1200元。答：在让利于顾客的情况下，每盒英德红茶降价20元时，商家平均每天能盈利1200元。 10. 某地新开发风景区2月份的游客人数比1月份增加60％，3月份的游客人数比2月份减少了10％. （1）设该风景区1月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表： 月份 1 2 3 游客人数/万人 a 1.6a 1.44a （2）求该风景区2月份，3月份游客人数的月平均增长率. 【答案】（2）20％ 1.6a 1.44a 11. 如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2个数（如17，18，24，25）.如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（　C　） C A. 40 B. 48 C. 52 D. 56 12. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品。当商品售价为40元时，一月份销售256件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高。在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件。设二、三这两个月的月平均增长率不变。 (1)求二、三这两个月的月平均增长率。 (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【答案】(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得256(1＋x)2＝400，解得x1＝0.25，x2＝－2.25(不合题意舍去)。答：二、三这两个月的月平均增长率为25%。 (2)设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得(40－25－m)(400＋5m)＝4250，解得m1＝5，m2＝－70(不合题意舍去)。答：当商品降价5元时，商场获利4250元。 13. （湖北中考）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸的产量是3月份的2倍少100吨. （1）求4月份再生纸的产量. 【答案】（1）设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为（2x－100）吨，由题意得x＋（2x－100）＝800，解得x＝300，∴2x－100＝500，答：4月份再生纸的产量为500吨. （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸的产量比上月增加m％.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ％，则5月份再生纸项目的月利润达到66万元.求m的值. 【答案】（2）由题意得500（1＋m％）·1000（1＋ ％）＝660000，解得m％＝20％或m％＝－320％（不符合题意，舍去），∴m＝20， ∴m的值为20. （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目的月利润比上月增加了25％.求6月份每吨再生纸的利润. 【答案】（3）设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，1200（1＋y）2·a（1＋y）＝（1＋25％）×1200（1＋y）·a，∴1200（1＋y）2＝1500.答：6月份每吨再生纸的利润是1500元. THANK YOU！ $第二章　一元二次方程 2.2　一元二次方程的解法（第4课时） 1. 用公式法解一元二次方程：当 　b2－4ac　≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式是 　x＝ .利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 2.  　b2－4ac　叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式.一元二次方程的根与判别式b2－4ac的关系： b2－4ac　 x＝ 　 b2－4ac　 b2－4ac＞0⇔ 　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根　. b2－4ac 　＝　0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根. b2－4ac 　＜　0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的 实数根　 ＝　 ＜　 1. 一元二次方程3x－1－2x2＝0在用求根公式x＝ 求解时，a，b，c的值分别是（　D　） A. 3，－1，－2 B. －2，－1，3 C. －2，3，1 D. －2，3，－1 D 2. （四川中考）关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情况是 （　C　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数a的取值有关 3. 一元二次方程x2＋x－1＝0的根是（　D　） A. x＝1－ B. x＝ C. x＝－1＋ D. x＝ C D 4. 关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 （　A　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 5. 在方程2x2＋1＝5 x中，a＝ 　2　，b＝ 　－5 　，c＝ 　1　，b2－4ac＝ 　42　. 6. （甘肃中考）关于x的一元二次方程x2＋2x＋4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝ 　－2 　（写出一个满足条件的值）. 7. 关于x的一元二次方程m2x2＋2mx－7＝0的一个根为－1，则m的值是 　1＋2 . A 2　 －5 　 1　 42　 －2（答案不唯一，合理即） 1＋2 或1－2 　 8. （上海中考）已知关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根，那么a的取值范围是 　a＞9　. 9. 用公式法解下列方程： （1）2x2－6x－1＝0. 【答案】x1＝ ，x2＝ . （2）25x2＋10x＋1＝0. 【答案】x1＝x2＝－ . a＞9　 10. 用适当的方法解方程： （1） x2＝1. 【答案】x1＝ ，x2＝－ . （2）x2＋2x＝99. 【答案】x1＝－11，x2＝9. （3）3x2＋1＝4x. 【答案】x1＝1，x2＝ . （4）（x＋1）（x－5）＝5－x. 【答案】x1＝5，x2＝－2. 11.关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　) D A．m≤4 B．m≥4 C．m≥－4且m≠2 D．m≤4且m≠2 12. 下列一元二次方程的根是x＝ 的是(　　) A．2x2＋3x＋1＝0 B．2x2－3x＋1＝0 C．2x2＋3x－1＝0 D．2x2－3x－1＝0 13. （杭州中考）设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一．组．b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2. 注：如果选择多组条件分别作答，那么按第一个解答计分. 【答案】x2＋bx＋c＝0中a＝1，①b＝2，c＝1时，Δ＝b2－4ac＝22－4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根；②b＝3，c＝1时，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；③b＝3，c＝－1时，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×（－1）＝13＞0，方程有两个不相等的实数根；④b＝2，c＝2时，Δ＝b2－4ac＝22－4×1×2＝－4＜0，方程没有实数根；因此可选择②或③.选择②b＝3，c＝1时，x2＋3x＋1＝0，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5＞0，x＝ ＝ ，x1＝ ，x2＝ .选择③b＝3，c＝－1时，x2＋3x－1＝0，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×（－1）＝13＞0，x＝ ＝ ，x1＝ ，x2＝ . 14. 已知关于x的方程x2＋（3k－2）x－6k＝0. （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根. 【答案】（1）证明： ∵Δ＝b2－4ac＝（3k－2）2－4·（－6k）＝9k2－12k＋4＋24k＝9k2＋12k＋4＝（3k＋2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根. （2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. 【答案】（2）①若a＝6为底边，则b，c为腰长，b＝c，Δ＝0，∴（3k＋2）2＝0，解得k＝－ ，此时原方程化为x2－4x＋4＝0，∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2，此时△ABC三边长为6，2，2不能构成三角形，故舍去；②若a＝6为腰，则b，c中一边为腰，把x＝6代入方程，62＋6（3k－2）－6k＝0，∴k＝－2，则原方程化为x2－8x＋12＝0，∴x1＝2，x2＝6，此时△ABC三边长为6，6，2能构成三角形，综上所述：△ABC三边长为6，6，2，所以周长为6＋6＋2＝14。 THANK YOU！ $第二章　一元二次方程 2.4　一元二次方程的应用（第2课时） 1. 不规则图形面积计算：不规则图形面积的求法一般转化为规则图形来计算，常用的方法是割补法；平移、旋转等几何变换在平面图形面积计算问题中也常常用到，主要起到转化作用. 2. 平面内距离计算：平面内距离计算问题主要是构造直角三角形，利用勾股定理进行计算. 1. 三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（　A　） A. x（x＋2）＝35 B. x（x＋2）＝35＋4 C. x（x＋2）＝4×35 D. x（x＋2）＝4×35＋4 A 2. 如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'.若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA'等于（　B　） A. 0.5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm 第2题图 B 3. （湖南中考）如图，学校课外生物小组的试验园的形状是长35m、宽20m的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600m2，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为xm，则根据题意，列方程是（　C　） A. 35×20－35x－20x＋2x2＝600 B. 35×20－35x－2×20x＝600 C. （35－2x）（20－x）＝600 D. （35－x）（20－2x）＝600 C 第3题图　 4. 如图，某校生物兴趣小组用长为18m的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1m的两个进出口（不需材料）.若花圃的面积刚好为40m2，设AB的长为xm，则可列方程是（　D　） A. x（18－3x）＝40 B. x（20－2x）＝40 C. x（22－3x）＝40 D. x（20－3x）＝40 第4题图 D 5. 将一块长方形桌布铺在长为1.5m，宽为1m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度.设桌布下垂的长度为xm，可列方程是 　（1.5＋2x）（1＋2x）＝1.5×1×2　. 第5题图　　　 （1.5＋2x）（1＋2x）＝1.5×1×2　 6. 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动xm，可列方程是 　72＋（6＋x）2＝102　. 第6题图 72＋ （6＋x）2＝102　 7. 如图，正方形被分割成四部分，其中Ⅰ，Ⅱ为正方形，Ⅲ，Ⅳ为长方形，Ⅰ，Ⅱ的面积之和等于Ⅲ，Ⅳ面积和的2倍.若Ⅱ的边长为2，且Ⅰ的面积小于Ⅱ的面积，则Ⅰ的边长是 　4－2 . 第7题图 4－2 　 8. 如图是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形.若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是 　3或6　. 第8题图 3或6　 9. （山东中考）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）. 第9题图 （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ 【答案】（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m.根据题意，得x（72－2x）＝640.化简，得x2－36x＋320＝0.解得x1＝16，x2＝20.当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈. 第9题图 （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 【答案】（2）不能.理由如下：由题意，得x（72－2x）＝650.化简，得x2－36x＋325＝0.∵Δ＝（－36）2－4×325＝－4＜0，∴一元二次方程没有实数根，∴羊圈的面积不能达到650m2. 第9题图 10. 如图，由13个正方形组成的长方形的面积为192，则正方形①的面积是 　98　. 第10题图 98　 11. （德州中考）如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m，15m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地. 第11题图 （1）若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽. 【答案】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35＋x）m，宽为（15＋x）m，根据题意得（35＋x）（15＋x）＝800，整理得x2＋50x－275＝0，解得x1＝5，x2＝－55（不符合题意，舍去），∴35＋x＝35＋5＝40，15＋x＝15＋5＝20.答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m. 第11题图 （2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5∶3.求新的矩形绿地面积. 【答案】（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35＋y）m，宽为（15＋y）m，根据题意得（35＋y）∶（15＋y）＝5∶3，即3（35＋y）＝5（15＋y），解得y＝15，∴（35＋y）（15＋y）＝（35＋15）×（15＋15）＝1500. 答：新的矩形绿地面积为1500m2. 第11题图 12. 如图，已知A（a，0），B（0，b）为坐标轴正半轴上的两点，且满足 ＋｜4－b｜＝0，点P从点O开始在线段OA上向点A以每秒2个单位长度的速度运动；点Q从点B开始在线段BO上向点O以每秒1个单位长度的速度运动.如果P，Q同时出发，运动时间为t（s）. （1）求a，b的值. 【答案】（1）∵ ＋｜4－b｜＝0，而 ≥0，｜4－b｜≥0，∴ ＝0，｜4－b｜＝0，∴a＝8，b＝4. 第12题图 （3）当△POQ的面积是△AOB面积的 时，求t的值. 【答案】（3）由已知得0≤t≤4，OP＝2t，BQ＝t，AP＝8－2t，OQ＝4－t，当△POQ的面积是△AOB面积的 时， OP·OQ＝ × OA·OB，即 ×2t×（4－t）＝ × ×8×4，整理得t2－4t＋3＝0，解得t1＝1，t2＝3，经检验，这两个解都符合题意，所以，当△POQ的面积是△AOB面积的 时，t的值是1或3. 第12题图 （2）填空：Rt△AOB斜边上的高h＝ 　 . 　 THANK YOU！ $第二章　一元二次方程 2.2　一元二次方程的解法（第1课时） 利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 1. 已知a·b＝0，那么下列结论正确的是（　D　） A. a＝0 B. a＝b＝0 C. b＝0 D. a＝0或b＝0 2. （山西中考）一元二次方程x2＋3x＝0的解是（　C　） A. x＝－3 B. x1＝0，x2＝3 C. x1＝0，x2＝－3 D. x＝3 D C 3. 用因式分解法解下列方程，正确的是（　A　） A. （2x－2）（3x－4）＝0，则2x－2＝0或3x－4＝0 B. （x＋3）（x－1）＝1，则x＋3＝0或x－1＝1 C. （x－2）（x－3）＝2×3，则x－2＝2或x－3＝3 D. x（x＋2）＝0，则x＋2＝0 4. 若实数k，b是一元二次方程 (x＋3)(x－1)＝0 的两个根，且k<b，则一次函数y＝kx＋b的图象不经过(　　) A C A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6. 方程（y＋2）2＝（2y＋1）2的根是 　y1＝－1，y2＝1　. 7. 请写出一个两根分别是1，－2的一元二次方程： 　答案不唯一，如：（x－1）（x＋2）＝0　. 8. 整式x＋2与整式x－3的积为x2＋ax＋b，则一元二次方程x2＋ax＋b＝0的根是 。 y1＝－1，y2＝1　 答案不唯一，如：（x －1）（x＋2）＝0　 5. （广西中考）一元二次方程（x－2）（x＋7）＝0的根是 　x1＝－7，x2＝2　. x1＝－7，x2＝ 2 x1＝－2，x2＝3 （1）x2－6x＝0. 【答案】x1＝0，x2＝6. （2）4y2－16＝0. 【答案】y1＝2，y2＝－2. （3）x（x－2）＝x－2. 【答案】x1＝2，x2＝1. 9. 用因式分解法解方程： （3）y2－14y＋49＝0。 【答案】y1＝ y2 ＝7。 10. 小明在解一元二次方程3x2－8x（x－2）＝0时，他是这样做的： 解：3x－8（x－2）＝0 第一步 －5x＋16＝0 第二步 －5x＝－16 第三步 x＝－ 第四步 （1）小明的解法从第 　一　步开始出现错误. （2）请你写出正确的求解过程. 【答案】（2）3x2－8x2＋16x＝0，－5x2＋16x＝0，－x（5x－16）＝0，x1＝0，x2＝ . 一　 11. 规定：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.已知关于x的一元二次方程（x＋4）（x－n）＝0是“倍根方程”，则n的值为 　－2或－8　. 12.刘聪发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2＋b－1。例如，把(3，－2)放入其中，就会得到32＋(－2)－1＝6。现将实数对(m，－2m)放入其中，得到实数－1，则m的值是 。 －2或－8　 0或2 13. 已知方程3（x－5）2－27＝0的两个根是a和b（a＞b），方程x2－4x＝0的正根是c，试判断以a，b，c为边的三角形是否存在. 【答案】解方程3（x－5）2－27＝0得x1＝8，x2＝2，∴a＝8，b＝2.解方程x2－4x＝0得x1＝4，x2＝0，∴c＝4.∵b＋c＝6＜8，∴b＋c＜a，∴以a，b，c为边的三角形不存在. 14. 由多项式乘法可得（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，将该式从右往左使用，即可得到通过“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）. 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋（2＋3）x＋2×3＝（x＋2）（x＋3）. （1）尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝（x＋ 　2　）（x＋ 　4　）. （2）应用：请用上述方法解方程：①x2－3x－4＝0； ②y2－7y＋12＝0. 【答案】（2）①x1＝－1，x2＝4. 【答案】 ②y1＝3，y2＝4. 2　 4　 THANK YOU！ $