拓展2 二项式定理21种常见考法归类讲义（100题）-2025-2026学年高二下学期数学题型归纳与解题策略(人教A版选择性必修第三册)

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 拓展2 二项式定理21种常见考法归类（100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求二项展开式中的常数项 考点二 求二项展开式中的指定项系数 考点三 求二项展开式中的有理项系数为有理数的项 考点四 求二项展开式中的第几项 考点五 求二项展开式中的参数 考点六 求两个二项式积的特定项 考点七 求三项展开式中特定项 考点八 求多个二项式的和或积展开式的问题 考点九 求二项展开式中的二项式系数和 考点十 求二项展开式中的各项系数和 考点十一 求奇数项或偶数项系数和 考点十二 二项式系数的最值问题 考点十三 项的系数的最值问题 考点十四 整除和余数问题 考点十五 近似计算问题 考点十六 证明组合恒等式 考点十七 杨辉三角问题 考点十八 与导数的综合问题 考点十九 与数列的综合问题 考点二十 与函数的综合问题 考点二十一 与正态分布的综合问题 1. 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理. 二项式 系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数. 通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n). 二项 展开式 Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式. 2. 二项式系数的性质 二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下： (1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由C＝C得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. (2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 3. 杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论. (1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，…. (2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C. (3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C. (4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. (5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数. 4. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其系数. 5. 求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=an-rbr,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错); 第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r; 第三步,把r代入通项中,即可求出Tr+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出Tr+1或者其他量. 6. 对于两个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合定义求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏. 7. 求三项展开式中某些特定项的系数的方法：①两次利用二项式定理的通项公式求解；②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量. 8. 某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解. 9. “赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. 若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 10. 赋值法是求解二项式系数和问题的基本方法，是常用的特殊化思想.如何赋值，需根据实际情况而定，如要求常数项，应赋为0；求所有项系数之和，应赋为1；要求奇次项系数和或偶次项系数和，还需赋为-1，再通过联立方程组求得. 11. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念. 二项式系数最大的项就是二项展开式中的中间项；求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用从而解出k来,即得. 考点一 求二项展开式中的常数项 1．（2026高二·江苏宿迁·期中）的二项展开式中的常数项为（   ） A． B．20 C． D．15 【答案】B 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得答案. 【详解】的通项公式为，令可得， 即其常数项为. 2．（2026高二·广东广州·期中）展开式中，常数项为__________. 【答案】 【详解】展开式中的通项公式为, 令，故，故常数项为第4项，即. 3．（2026高三·云南曲靖·阶段检测）的展开式中的常数项为（   ） A．60 B．15 C．-15 D．-60 【答案】A 【详解】通项公式，由， 代入得. 4．（2026高二·广东广州·期中）的展开式的常数项是___________（用数字作答）． 【答案】 【分析】先求出展开式的通项，令的指数为零即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令的指数为零，即，解得， 因此，常数项为. 5．（2026·天津河东·模拟预测）的展开式中的常数项为________．（用数字表示） 【答案】672 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解． 【详解】的展开式的通项公式为， 令，即， 所以常数项为． 考点二 求二项展开式中的指定项系数 6．（2026高二·浙江·期中）的展开式中的系数为（   ） A．12 B．36 C．54 D．108 【答案】D 【分析】由二项展开式通项公式求解. 【详解】的展开式通项公式为， 令得的展开式中的系数为. 7．（福建三明市2026届高三毕业班质量检测数学试题）的展开式中的系数为________．（结果用数字表示） 【答案】240 【分析】结合二项式展开式通项公式，即可求出对应的展开项以及系数 【详解】由二项式展开项通项公式可得，， 所以，故所求系数为240. 8．（山东泰安市2026届高三学期5月检测数学试题）在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【详解】的展开式的通项， 令，得，即． 9．（2026·海南海口·模拟预测）的二项展开式中x的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的二项展开式的通项公式为， 化简得， 令，得，所以， 所以的展开式中x的系数是． 10．（湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026届高三学期5月学情自测数学试卷）在的展开式中，的系数为______．（请用数字作答） 【答案】 【详解】的展开式的通项公式为： ，． 题目求的是的系数，由． 所以的系数为：． 11．（2026高三·北京·阶段检测）在的展开式中，的系数是______. 【答案】/ 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】展开式通项为. 令得，所以展开式中的系数为. 12．（贵州贵阳市2026年高三年级适应性考试（二）数学试卷）在的展开式中，项的系数与常数项之比为4，则实数a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据二项式展开式通项求解即可. 【详解】的展开式通项为. 令，解得，则项的系数为. 令，解得，则常数项为. 由题意，化简得，即. 考点三 求二项展开式中的有理项及系数为有理数的项 13．（2026高二·江苏连云港·期中）在的展开式中，有理项的个数共有__________个． 【答案】2 【详解】因为， 所以当时，为整数，因此有理项的个数有2个. 14．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中所有有理项的二项式系数和为______. 【答案】85 【分析】写出的二项展开式的通项公式，再由为整数，求出有理项的二项式系数即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为，. 所以当为整数，即时，二项式展开式第项为有理项， 其对应的二项式系数分别为：，，， 故所有有理项的二项式系数和为. 故答案为：85. 15．（2026高二·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 16．（2026高二·贵州遵义·月考）在的展开式中无理项的项数共有________项． 【答案】20 【详解】二项式展开式的通项公式为， 当且仅当为整数时，为有理项，此时， 因此在的展开式中有理项的项数共有5项，而展开式的总项数为25项， 所以在的展开式中无理项的项数共有20项. 17．（2026高二·全国·专题练习）在的展开式中，共有______项的系数为有理数． 【答案】3 【分析】利用通项可得答案. 【详解】， 要使系数为有理数，则且即，6，12．故共有3项． 故答案为：3. 18．（2026·陕西延安·模拟预测）在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】通项公式为， 易知当或或或时， 即或或或时，可得有理数项， 所以有理数的项的个数是4， 故选：A 19．（2026高二·湖南永州·期中）的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（    ） A．-30 B．-29 C．1 D．31 【答案】B 【分析】先求得二项展开式的通项，结合通项，得到展开式中系数为有理数的项，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 当和时，可得展开式中系数为有理数的项为， 其系数之和为. 考点四 求二项展开式中的第几项 20．（2026高二·陕西渭南·期中）的展开式的第4项的系数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二项展开式通项为：，所以第4项为：，其系数为. 21．（2026高二·吉林四平·阶段检测）的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开式中的第2项为． 22．（2026高二·全国·课堂例题）的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】的展开式中的第4项为. 故选：A. 23．（2026高二·湖北武汉·期中）二项式展开式中含的项是（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【详解】由题设，二项式的展开式通项为，， 令，可得，故含的项是第8项. 考点五 求二项展开式中的参数 24．（2026·重庆·模拟预测）在的展开式中常数项为6，则（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】A 【分析】写出展开式通项，令的指数为0即可求解. 【详解】展开式通项 ，令 得. 所以常数项为，解得. 25．（2026高二·广东·期中）若二项式的展开式中，x和的系数相同，则非零常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意可得x的系数为，的系数为， 则有，解得或（舍去）． 26．（2026高二·湖南长沙·月考）的展开式中含的项的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为， 由题可知，，整理得， 解得舍去，所以. 27．（山东青岛西海岸新区2025-2026学年高二学期期中学业水平检测数学试题）在的展开式中，若的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以，解得. 考点六 求两个二项式积的特定项 28．（2026高二·山西临汾·期中）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．－120 C．110 D．－110 【答案】D 【详解】展开式的通项公式为， 的展开式中的系数为. 29．（2026·北京丰台·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【详解】由题意可知展开式中含的项为， 所以的系数为3. 30．（2026高二·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以展开式的通项为. 令，得， 所以常数项为. 31．（2026高三·山东泰安·阶段检测）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别展开，，找到两部分相乘后指数和为的项. 【详解】在的展开式中，第项为，其中， 含的项为， 含的项为， 结合， 可得的展开式中含的项为， 在的展开式中的系数为. 32．（2026·山西晋城·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．24 【答案】D 【详解】 展开式中的系数分别为， 而展开式中的系数分别为， 所以原展开式中的系数为． 33．（2026·山西晋中·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．220 B． C．100 D． 【答案】B 【详解】的展开式的通项为， 所以含有的项的系数为. 34．（2026高二·湖南邵阳·期中）的展开式中的系数是（    ） A．18 B．-25 C．30 D．0 【答案】D 【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数. 【详解】的展开式中，的系数分别为，，所以的展开式中的系数为. 35．（2026高二·江苏南京·月考）若的展开式中的系数为30，则（   ） A．9 B． C．10 D． 【答案】A 【详解】由二项式定理，的通项为. . 其中产生项的来源有两部分： ①与中项相乘：令，得，该项系数为； ②与中项相乘：令，得，该项系数为. 因此的系数为：. 代入组合数计算：，，即， 解得，. 考点七 求三项展开式中特定项 36．（2026高二·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 【答案】C 【详解】的展开式中的常数项为． 37．（2026高二·江苏宿迁·月考）展开式中含项的系数为（    ） A．240 B．242 C．246 D．244 【答案】A 【分析】先对多项式因式分解，再利用二项式定理求含项的系数，避免直接展开高次幂，简化计算. 【详解】， 两个二项式相乘，含的项由以下两种情况组合得到： 中的常数项乘以中的一次项，其系数为， 中的一次项乘以中的常数项，其系数为， 综上，展开式中含x项的系数为. 38．（山东烟台市2026届高考适应性测试数学试题）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先把三项式整体看成二项式，利用二项式通项找到含的项，再对用二项式通项找到含的项，最后将两部分系数相乘，即得的系数． 【详解】先将看成， 根据二项式定理，其展开式的通项为， 含有的项为， 的展开式的通项为， 含有的项为， 所以的项的系数． 39．（2026高三·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【分析】求出展开式通项，再求出的展开式通项，即可求出. 【详解】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D. 40．（2026高二·浙江杭州·期中）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式求解. 【详解】依题意，展开式中含的项为， 所以. 41．（2026·广东佛山·模拟预测）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【详解】依题意，，所以，即． 故选：C. 考点八 求多个二项式的和或积展开式的问题 42．（26-27高二·重庆·期中）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A．35 B．15 C．-35 D．-15 【答案】C 【详解】在的展开式中， 含的项为， 所以所求系数为. 43．（2026·河南·模拟预测）已知的展开式中的系数为，则实数______. 【答案】 【分析】根据二项展开式即可求解. 【详解】因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为， 所以，即，解得. 44．（2026高二·安徽六安·期中）的展开式中，含有的项的系数是______. 【答案】 【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数, 所以含的项为. 所以展开式中，含的项的系数是. 45．（2026·陕西榆林·模拟预测）在的展开式中，的系数为______. 【答案】8 【详解】展开式中项是从四个因式中任取三个因式中的项，与余下一个因式的常数项相乘，所得各项的和， 所以的系数为. 46．（2026·云南保山·模拟预测）已知的展开式中，项的系数为-10，则________. 【答案】4 【详解】项系数为，解得． 考点九 求二项展开式中的二项式系数和 47．（2026·河北邢台·模拟预测）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理系数的性质，求出，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可． 【详解】由题意知，，解得， 展开式通项公式为， 令，则，所以. 48．（2026高二·北京·阶段检测）若的展开式的二项式系数和为32，则___________，展开式中的系数为___________. 【答案】 【分析】由二项式系数和为，求第一空答案；利用通项求第二空答案. 【详解】因为二项式展开式的二项式系数和为， 所以，解得； 因为的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为. 49．（2026·北京昌平·模拟预测）在的展开式中，所有二项式系数的和为，则的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 二项式的所有二项式系数的和为，由题得，解得. ∴ 的展开式的通项为，. 令，可得的系数为. 50．（2026·山东青岛·模拟预测）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质，求得，得到展开式的通项，结合通项，即可求解. 【详解】因为二项式展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 则二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的常数项为. 51．（2026高二·北京·期中）已知且该多项式展开式的二项式系数和为64，则（   ） A．21 B．64 C．78 D．156 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，结合二项式展开式的通项公式求出值，求和即可. 【详解】由该多项式展开式的二项式系数和为64，得，解得， 则展开式通项公式为， 所以，. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 所以. 考点十 求二项展开式中的各项系数和 52．（2026高二·广东惠州·期中）已知，则______． 【答案】 【详解】， 令时，即得. 53．（2026高二·山东青岛·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【详解】， 设，则， 解得， 设，则， 解得， 则. 54．（山东临沂市2026届高三普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试卷）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 令，得； 令，得； 故． 55．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知，则______. 【答案】243 【分析】根据题意利用赋值法，令代入求解即可. 【详解】因为， 令，得， 两边同时乘以32，得. 56．【多选】（2026高二·四川德阳·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理和赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，令，则， 即，所以A正确； 对于B，令，则， 即，所以B错误； 对于C，令，则， 即①， 令，则， 即②， ①-②得， 所以，所以C正确； 对于D，将原等式变形得， 令，则，由A项可知， 所以，所以D正确. 57．【多选】（2026高二·广东珠海·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，利用二项展开式的形式，结合选项，利用赋值法，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，令，可得，所以A正确； 对于B，令，可得，所以，所以B错误； 对于D，令，可得， 因为， 两式相加得，所以D正确； 对于C，令，则，所以， 其展开式的通项为，令，可得， 所以，所以C错误. 58．（2026高二·山西晋中·阶段检测）设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)-1 【分析】（1）利用二项式系数和为求得的值； （2）令，得，再令，即可求得. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）令，得， 令，得， . 考点十一 求奇数项或偶数项系数和 59．【多选】（2026高二·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．除以5所得的余数是3 【答案】ACD 【分析】由赋值法判断ABC；根据二项式展开式即可判断D． 【详解】对于A，令，得，故A正确； 对于B，令，得， 所以，故B错误； 对于C，令，得，则， 由得，，故C正确； 对于D， ， 显然，除了最后一项，其余各项均能被5整除， 所以除以5所得的余数是3，故D正确． 60．【多选】（2026高二·河北承德·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 61．（2026高二·广东广州·期中）若，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式展开式系数的性质，观察展开式后每项的符号，去掉绝对值，再利用赋值法进行求解. 【详解】解：设， 易观察多项式展开后，偶次项的系数为正，奇次项的系数为负， 即，，，，，均大于；，，，，均小于， 所以， 令，则， 令，则， 因此，. 62．（2026·河南濮阳·模拟预测）若，则___________． 【答案】 【分析】利用赋值法，令，和，即可求解. 【详解】由题意得： 令，得， 令，得， 令，得， 所以， 所以. 63．（2026高二·山东济宁·期中）已知. (1)求展开式中所有项的二项式系数之和； (2)求； (3)求. 【答案】(1)32 (2)121 (3)405 【分析】（1）根据二项式系数之和的性质，可直接求得二项式系数之和； （2）先分别令和，得到两个等式，再将两个等式相减，即可求得结果； （3）先对已知等式两边求导，再令，即可求得. 【详解】（1）因为中，，所以展开式中所有的二项式系数之和为. （2）因为， 令，可得，即①，令，可得，即②，用①式减去②式得：，即. （3）对两边求导， 可得， 令，可得， 即. 64．（2026高二·山西晋中·月考）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由二项式定理求解； （2）令可得； （3）由二项式定理求得，再令求得所有项系数和，然后可得结论. 【详解】（1）由已知； （2）在中，令得： ； （3）令得， 在中，令得： ， 所以. 65．（2026高二·北京·期中）（1）已知二项式的展开式共有6项． ①求此二项展开所有项的二项式系数和； ②求此二项展开式中二项式系数最大的项． （2）已知．求的值． 【答案】（1）①②，（2） 【分析】（1）①根据二项式展开式的性质，结合二项式系数之和公式进行求解即可； ②根据二项式系数的性质进行求解即可； （2）利用赋值法进行求解即可. 【详解】（1）①因为二项式的展开式共有6项， 所以，因此二项展开所有项的二项式系数和为； ②因为二项展开式中二项式系数最大的项为第和第项， 所以，； （2）在中， 令，得， 所以. 考点十二 二项式系数的最值问题 66．（2026高二·山东·期中）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以． 67．【多选】（2026高二·山西临汾·期中）若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式中各二项式系数的和为1024 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中不存在常数项 【答案】ABD 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项， 所以，故A选项正确； 各二项式系数的和为，故B选项正确； 令x＝1，则展开式中各项系数的和为，故C选项错误； 的展开式中的通项为，， 令，解得（舍去），所以展开式中不存在常数项，故D正确． 68．【多选】（2026高二·福建莆田·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第项 B．展开式中常数项为第项 C．展开式中第项、第项、第项的系数成等差数列 D．展开式中奇数项的二项式系数和为 【答案】AC 【分析】利用二项式系数的单调性可判断A选项；利用二项展开式通项可判断B选项；利用组合数公式可判断C选项；利用展开式中奇数项的二项式系数和可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式共项，二项式系数最大的项是第项，A对； 对于B选项，展开式通项为， 令可得，不符合题意，故展开式中无常数项，B错； 对于C选项，展开式中第项的系数为、第项的系数为、第项的系数为， 因为， 所以，即展开式中第项、第项、第项的系数成等差数列，C对； 对于D选项，展开式中奇数项的二项式系数和为，D错. 69．（山东聊城市2025-2026学年度高二第二学期期中教学质量检测数学试题）在的展开式中，前三项的二项式系数和为22． (1)求二项式系数的最大值； (2)求展开式中的所有有理项． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）根据题意结合二项式系数列式求解可得，再根据为偶数，分析二项式系数的最大值； （2）整理可得，令运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，即， 整理可得，解得或（舍去）， 又因为为偶数，所以二项式系数的最大值为． （2）因为的展开式通项为， 令，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述：所有有理项为：． 70．（2026高二·广西玉林·期中）已知展开式共有11项. (1)求n的值，并求二项式系数的最大值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)，252 (2) (3)0 【分析】（1）根据展开式的项数特征可求得，进而求得二项式系数的最大值； （2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值； （3）利用赋值法，令，代入原二项式展开式直接得到值. 【详解】（1）二项式展开式的项数为， 由题知展开式共11项，因此，得， 因为10是偶数，故二项式系数的最大值为； （2）展开式中，系数的符号由决定， 即对应将原式中换为1后的系数， 等价于令代入原式：， 计算得，因此结果为； （3）令，代入等式得， 左边等于，因此结果为0. 考点十三 项的系数的最值问题 71．（2026高二·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 72．（2026高二·江苏徐州·月考）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出通项公式，可得第项的系数，设第项的系数最大，列不等式解出的范围，从而可得答案 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有， 解得，即， 所以的展开式中，系数最大的项是第项. 73．（2026高二·山东·期中）在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为. (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)， (2)系数最大的项为第 项： 【分析】（1）先写出二项展开式的通项，由第项与第项的系数比求出；再由通项中的指数等于求常数项； （2）考查二项展开式中“系数最大项”的判断，可用相邻两项系数作比来确定最大值出现的位置. 【详解】（1）二项式的展开式通项为 所以第项为，第项为 因为第3项和第4项的系数比为，所以化简得 所以， 于是，解得 当时， 则第项的系数为第项的系数为， 即第3项和第4项的系数比为，满足题意，故， 此时通项为 要使展开式中出现常数项，应有，解得 所以常数项为 故且常数项为 （2）由（1）知其系数为 考察相邻两项系数之比： 当时，系数递增；当时，系数递减. 由得即 所以当时，系数递增；当时，系数递减. 因此系数最大的项对应即第项. 第项为 故展开式中系数最大的项为 74．（2026高二·安徽合肥·期中）在二项式展开式中，第1项和第2项的二项式系数比为 (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再利用展开式的通项公式求解即可； （2）设第项的系数最大，从而得，求解即可. 【详解】（1）因为展开式中第1项和第2项的二项式系数分别为：， 所以，解得， 所以展开式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为； （2）由（1）可知展开式中每项的系数为， 设第项的系数最大，则，即， 由，可得， 即，解得，同理由，可得， 又因为为0到9之间的整数，所以， 所以原式展开式中系数最大项为. 75．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是6:1. (1)求展开式中所有二项式系数的和. (2)若展开式中，第k项为有理项，求k的取值集合. (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据展开式的通项及第6项系数与第4项系数之比是6:1，求出的值，根据即可求得二项式系数和； （2）利用（1）的结论及展开式的通项知，当k为偶数时为有理项，由此可得k的取值集合. （3）利用通项写出各项的系数，列出相应的不等式组，求解可得的值，即可得到展开式中系数绝对值最大的项. 【详解】（1）的展开式的通项为. 因为第6项系数与第4项系数之比是6:1，所以，即， 化简得，即. 因为，所以. 所以的展开式中所有二项式系数的和为. （2）由（1）知的展开式的第项为. 若展开式中，第k项为有理项，则是整数，即是奇数，所以为偶数. 所以k的取值集合为. （3）的展开式的通项为，系数为. 令，即， 解得. 因为，所以. 所以展开式中系数绝对值最大的项为. 76．（2026高二·福建福州·期中）在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)常数项为，此项的二项式系数为； (2). 【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，进而求出常数项及该项的二项式系数. （2）由（1）的信息列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 由，得， 所以展开式中的常数项为，其二项式系数为. （2）令的系数绝对值最大，则，即， 整理得，解得，由，得， 所以系数绝对值最大的项为. 考点十四 整除和余数问题 77．（2026高二·山东济宁·期中）除以5的余数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据二项式展开式计算余数. 【详解】 因为， 所以除以5的余数为1，所以除以5的余数为， 所以除以5的余数与 除以5的余数相同，即余数为2. 78．（2026高二·江苏淮安·期中）今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 【答案】D 【分析】通过二项式定理将逐步变形为与7相关的展开式，消去能被7整除的项，最终求得除以7的余数，进而推算出对应的选项 【详解】， 因为98能被7整除，所以上式前50项都能被7整除，只需确定最后一项除以7的余数，， 所以除以7的余数为， 因为今天是星期三，所以再过天，是星期日. 79．（2026高二·山西临汾·期中）若能被整除，则正数的最小值是______． 【答案】 【分析】把写成，二项式展开后前面都是的倍数，只剩，要被1000整除，正数最小就是24. 【详解】 ，为整数. 所以要使能被整除，即能被整除， 又是正数，所以的最小值为． 考点十五 近似计算问题 80．（2026高二·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 81．（2026·江苏镇江·模拟预测）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 考点十六 证明组合恒等式 82．（2026高三·全国·专题练习）证明： 【答案】证明见解析 【分析】把集合分拆成两个集合和，且，一方面，按分类；另一方面，可对元素实行分步解决，进而计算可得结论. 【详解】把集合分拆成两个集合和，且， 一方面，按分类： 第1类，中有0个元素（种）时，有种，共有种； 第2类，中有1个元素（种）时，有种，共有种； 第3类，中有2个元素（种）时，有种，共有种； 第4类，中有3个元素（种）时，有种，共有种； …… 第类，中有个元素（种）时，有种，共有种， 由加法原理知，共有种． 另一方面，可对元素实行分步解决： 第1步，对于元素来说，可以且，也可以且，也可以，故有3种； 第2步，对于元素来说，可以且，也可以且，也可以，故有3种； 第3步，对于元素来说，可以且，也可以且，也可以，故有3种； …… 第步，对于元素来说，可以且，也可以且，也可以，故有3种， 由乘法原理知共有种． 从而有． 83．（2026高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将右侧式子倒序相加，结合组合数的性质及二项式系数和，即可证. 【详解】设①， 把①式倒序排列得， 由，得②， ①②得， 所以，得证. 84．（2026高三·全国·课后作业）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据，利用二项式定理分别求出等式左右两边含的项的系数即可证明. 【详解】证明：， 当时，展开式中的系数为， 又， 当时，展开式中的系数为， ， . 85．（2026高三·全国·课后作业）求证： 【答案】证明见解析 【分析】证法一：根据并记，，构造方程组即可得结论‘ 证法二：由组合数的计算公式直接可得，再结合二项式系数性质计算化简可得结论. 【详解】证法一： 若记，， 则由典例11知道， 所以 又有 ⑥和⑦相加，即得 ，这就是要证明的恒等式． 证法二： 根据组合数的计算公式直接可得 于是 ； 由此即得 考点十七 杨辉三角问题 86．【多选】（山东聊城市2025-2026学年度高二第二学期期中教学质量检测数学试题）杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数和第1015个数相等 B．从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330 C．记杨辉三角中第行的第个数为，则 D．第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 【答案】ACD 【分析】根据题意结合组合数性质判断AB；构造，利用赋值法判断C；根据，结合二项式定理分析判断D. 【详解】对于选项A：第2026行的第1013个数和第1015个数分别为，， 由组合数性质可得，所以第2026行的第1013个数和第1015个数相等，故A正确； 对于选项B：因为 ， 所以从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1540，故B错误； 对于选项C：因为杨辉三角中第行的第个数为，则， 又因为， 令，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 又因为， 且展开式中项的系数为， 因此，D正确. 87．【多选】（2026高二·广东·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（    ） A．每行的首位和末位均为1 B．对应的行中共有4个质数 C．若有不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1，则该数字的最小值为6 D．对应的行的各项数字之和为 【答案】ACD 【分析】结合杨辉三角性质，利用组合数公式、质数定义、二项式系数和逐项判断即可得. 【详解】对于A，显然，故A正确； 对于B，易知对应的行中的数为1，5，10，10，5，1，显然只有2个质数，故B错误； 对于C，注意到前5行不存在不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1， 而第6行后除1以外数字最小为6，且其在对应的行出现过，故C正确； 对于D，当时，该行的数依次为二项式展开式中各项的系数顺序排列所得， 取得和为，故D正确． 88．【多选】（2026高二·吉林·期中）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是 B．第行的第个数最大 C． D．记第n行的第i个数为，则 【答案】ACD 【详解】选项：由题目所给的杨辉三角可知，从第行起，第行第个数可表示为, 故第行从左到右第四个数是，故正确 . 选项：第行第个数可表示为,由组合数的性质可知最大,因此时最大，故错误. 选项：,故正确. 选项：第行第个数,因此,令,则, 即,故正确. 考点十八 与导数的综合问题 89．【多选】（2026高二·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，则，故A正确； ，故B正确； 令，得， 令，得， 两式相减得，故C错误； 对等式两边求导得， 令，得，故D正确． 90．（2026高二·福建福州·期中）已知，则__________. 【答案】 【分析】在等式两边求导，再令，可得出所求代数式的值. 【详解】在等式两边求导得， 令可得. 91．（2026高二·江苏南通·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）赋值法，结合二项式的展开式通项公式进行求解； （2）求导，赋值进行求解 【详解】（1）中， 令，得， 又的展开式通项公式为， 令得，所以， 所以； （2）， 求导得， 令，得. 92．【多选】（2026高二·山东临沂·期中）已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二项式系数和求得，再利用赋值法判断BCD的正误. 【详解】因为展开式中所有的二项式系数和为，故即， 故A正确； 由可得， 令，则， 两边求导后得， 令，则，故B错误； 令，则，再令，则， 故，故C正确； 令，则，故， 故D正确. 考点十九 与数列的综合问题 93．【多选】（2026高二·广东惠州·期中）设函数，且记，则（   ） A．数列的首项为 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【答案】ABD 【分析】利用赋值法，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当 时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A对； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 94．（2026高二·浙江温州·月考）已知二项式（其中）的展开式中，所有项的系数和为． (1)求的值，并指出展开式中的常数项是展开式中的第几项； (2)设该二项式展开式的各项系数依次为，数列满足，，求数列的前项和． 【答案】(1)，第1014项； (2) 【分析】（1）将代入即可求出，写出二项式展开项的通项公式，令，即可求出答案； （2）由（1）知，，根据可得，列出，结合的展开式即可求出答案. 【详解】（1）由题意知， 又，所以，即， 二项式展开项的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项是展开式中的第项. （2）由（1）知，， 则， 因为， 所以， 所以 . 95．（2026高三·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②，          ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. （2）因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 考点二十 与函数的综合问题 96．（2026高二·山东德州·期中）已知等比数列中，，函数，则（    ） A．256 B．512 C．1024 D．2048 【答案】A 【详解】根据积的求导法则， ， 则， 等比数列中，，则， 所以. 97．（2026·陕西西安·模拟预测）函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】由题意得， 又因为为奇函数，函数图象关于点对称， 所以图象的对称中心为． 故选：D 98．（2026高二·江苏苏州·期末）设函数 (1)当时，求表达式的展开式中含有项的系数； (2)当时，求表达式的展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的通项，然后令即可求解项的系数； （2）先求出的通项，然后令即可求解常数项. 【详解】（1）当时，， 其展开式通项为， 令，得， 所以展开式中含有项的系数为． （2）当时，， 的展开式通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为． 考点二十一 与正态分布的综合问题 99．（福建南平市2026届高三年级第二次适应性练习数学试卷）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【详解】二项式的展开式中所有项的系数和为32， 令，得，所以. 若，且，则. 所以，所以. 100．（2026·海南海口·模拟预测）已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 【答案】64 【详解】已知随机变量，且， 由正态分布的对称性可得与关于对称， 即，则，解得. 令，展开式中各项系数之和为. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 拓展2 二项式定理21种常见考法归类（100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求二项展开式中的常数项 考点二 求二项展开式中的指定项系数 考点三 求二项展开式中的有理项系数为有理数的项 考点四 求二项展开式中的第几项 考点五 求二项展开式中的参数 考点六 求两个二项式积的特定项 考点七 求三项展开式中特定项 考点八 求多个二项式的和或积展开式的问题 考点九 求二项展开式中的二项式系数和 考点十 求二项展开式中的各项系数和 考点十一 求奇数项或偶数项系数和 考点十二 二项式系数的最值问题 考点十三 项的系数的最值问题 考点十四 整除和余数问题 考点十五 近似计算问题 考点十六 证明组合恒等式 考点十七 杨辉三角问题 考点十八 与导数的综合问题 考点十九 与数列的综合问题 考点二十 与函数的综合问题 考点二十一 与正态分布的综合问题 1. 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理. 二项式 系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数. 通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n). 二项 展开式 Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式. 2. 二项式系数的性质 二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下： (1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由C＝C得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. (2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 3. 杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论. (1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，…. (2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C. (3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C. (4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. (5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数. 4. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其系数. 5. 求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=an-rbr,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错); 第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r; 第三步,把r代入通项中,即可求出Tr+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出Tr+1或者其他量. 6. 对于两个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合定义求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏. 7. 求三项展开式中某些特定项的系数的方法：①两次利用二项式定理的通项公式求解；②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量. 8. 某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解. 9. “赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. 若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 10. 赋值法是求解二项式系数和问题的基本方法，是常用的特殊化思想.如何赋值，需根据实际情况而定，如要求常数项，应赋为0；求所有项系数之和，应赋为1；要求奇次项系数和或偶次项系数和，还需赋为-1，再通过联立方程组求得. 11. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念. 二项式系数最大的项就是二项展开式中的中间项；求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用从而解出k来,即得. 考点一 求二项展开式中的常数项 1．（2026高二·江苏宿迁·期中）的二项展开式中的常数项为（   ） A． B．20 C． D．15 2．（2026高二·广东广州·期中）展开式中，常数项为__________. 3．（2026高三·云南曲靖·阶段检测）的展开式中的常数项为（   ） A．60 B．15 C．-15 D．-60 4．（2026高二·广东广州·期中）的展开式的常数项是___________（用数字作答）． 5．（2026·天津河东·模拟预测）的展开式中的常数项为________．（用数字表示） 考点二 求二项展开式中的指定项系数 6．（2026高二·浙江·期中）的展开式中的系数为（   ） A．12 B．36 C．54 D．108 7．（福建三明市2026届高三毕业班质量检测数学试题）的展开式中的系数为________．（结果用数字表示） 8．（山东泰安市2026届高三学期5月检测数学试题）在的展开式中，的系数为______． 9．（2026·海南海口·模拟预测）的二项展开式中x的系数是（   ） A． B． C． D． 10．（湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026届高三学期5月学情自测数学试卷）在的展开式中，的系数为______．（请用数字作答） 11．（2026高三·北京·阶段检测）在的展开式中，的系数是______. 12．（贵州贵阳市2026年高三年级适应性考试（二）数学试卷）在的展开式中，项的系数与常数项之比为4，则实数a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 考点三 求二项展开式中的有理项及系数为有理数的项 13．（2026高二·江苏连云港·期中）在的展开式中，有理项的个数共有__________个． 14．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中所有有理项的二项式系数和为______. 15．（2026高二·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 16．（2026高二·贵州遵义·月考）在的展开式中无理项的项数共有________项． 17．（2026高二·全国·专题练习）在的展开式中，共有______项的系数为有理数． 18．（2026·陕西延安·模拟预测）在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 19．（2026高二·湖南永州·期中）的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（    ） A．-30 B．-29 C．1 D．31 考点四 求二项展开式中的第几项 20．（2026高二·陕西渭南·期中）的展开式的第4项的系数是（    ）． A． B． C． D． 21．（2026高二·吉林四平·阶段检测）的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． 22．（2026高二·全国·课堂例题）的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 23．（2026高二·湖北武汉·期中）二项式展开式中含的项是（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 考点五 求二项展开式中的参数 24．（2026·重庆·模拟预测）在的展开式中常数项为6，则（   ） A． B．1 C． D．6 25．（2026高二·广东·期中）若二项式的展开式中，x和的系数相同，则非零常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2026高二·湖南长沙·月考）的展开式中含的项的系数为，则（    ） A． B． C． D． 27．（山东青岛西海岸新区2025-2026学年高二学期期中学业水平检测数学试题）在的展开式中，若的系数为，则（    ） A． B． C． D． 考点六 求两个二项式积的特定项 28．（2026高二·山西临汾·期中）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．－120 C．110 D．－110 29．（2026·北京丰台·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．1 D．3 30．（2026高二·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 31．（2026高三·山东泰安·阶段检测）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 32．（2026·山西晋城·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．24 33．（2026·山西晋中·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．220 B． C．100 D． 34．（2026高二·湖南邵阳·期中）的展开式中的系数是（    ） A．18 B．-25 C．30 D．0 35．（2026高二·江苏南京·月考）若的展开式中的系数为30，则（   ） A．9 B． C．10 D． 考点七 求三项展开式中特定项 36．（2026高二·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 37．（2026高二·江苏宿迁·月考）展开式中含项的系数为（    ） A．240 B．242 C．246 D．244 38．（山东烟台市2026届高考适应性测试数学试题）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 39．（2026高三·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 40．（2026高二·浙江杭州·期中）已知，则（    ）． A． B． C． D． 41．（2026·广东佛山·模拟预测）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点八 求多个二项式的和或积展开式的问题 42．（26-27高二·重庆·期中）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A．35 B．15 C．-35 D．-15 43．（2026·河南·模拟预测）已知的展开式中的系数为，则实数______. 44．（2026高二·安徽六安·期中）的展开式中，含有的项的系数是______. 45．（2026·陕西榆林·模拟预测）在的展开式中，的系数为______. 46．（2026·云南保山·模拟预测）已知的展开式中，项的系数为-10，则________. 考点九 求二项展开式中的二项式系数和 47．（2026·河北邢台·模拟预测）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 48．（2026高二·北京·阶段检测）若的展开式的二项式系数和为32，则___________，展开式中的系数为___________. 49．（2026·北京昌平·模拟预测）在的展开式中，所有二项式系数的和为，则的系数为（    ） A． B． C． D． 50．（2026·山东青岛·模拟预测）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为___________.（用数字作答） 51．（2026高二·北京·期中）已知且该多项式展开式的二项式系数和为64，则（   ） A．21 B．64 C．78 D．156 考点十 求二项展开式中的各项系数和 52．（2026高二·广东惠州·期中）已知，则______． 53．（2026高二·山东青岛·阶段检测）已知，则______． 54．（山东临沂市2026届高三普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试卷）已知，则（   ） A． B． C． D． 55．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知，则______. 56．【多选】（2026高二·四川德阳·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 57．【多选】（2026高二·广东珠海·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 58．（2026高二·山西晋中·阶段检测）设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024. (1)求的值； (2)求的值. 考点十一 求奇数项或偶数项系数和 59．【多选】（2026高二·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．除以5所得的余数是3 60．【多选】（2026高二·河北承德·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 61．（2026高二·广东广州·期中）若，则___________． 62．（2026·河南濮阳·模拟预测）若，则___________． 63．（2026高二·山东济宁·期中）已知. (1)求展开式中所有项的二项式系数之和； (2)求； (3)求. 64．（2026高二·山西晋中·月考）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 65．（2026高二·北京·期中）（1）已知二项式的展开式共有6项． ①求此二项展开所有项的二项式系数和； ②求此二项展开式中二项式系数最大的项． （2）已知．求的值． 考点十二 二项式系数的最值问题 66．（2026高二·山东·期中）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 67．【多选】（2026高二·山西临汾·期中）若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式中各二项式系数的和为1024 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中不存在常数项 68．【多选】（2026高二·福建莆田·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第项 B．展开式中常数项为第项 C．展开式中第项、第项、第项的系数成等差数列 D．展开式中奇数项的二项式系数和为 69．（山东聊城市2025-2026学年度高二第二学期期中教学质量检测数学试题）在的展开式中，前三项的二项式系数和为22． (1)求二项式系数的最大值； (2)求展开式中的所有有理项． 70．（2026高二·广西玉林·期中）已知展开式共有11项. (1)求n的值，并求二项式系数的最大值； (2)求的值； (3)求的值. 考点十三 项的系数的最值问题 71．（2026高二·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 72．（2026高二·江苏徐州·月考）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 73．（2026高二·山东·期中）在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为. (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 74．（2026高二·安徽合肥·期中）在二项式展开式中，第1项和第2项的二项式系数比为 (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 75．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是6:1. (1)求展开式中所有二项式系数的和. (2)若展开式中，第k项为有理项，求k的取值集合. (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 76．（2026高二·福建福州·期中）在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求系数绝对值最大的项． 考点十四 整除和余数问题 77．（2026高二·山东济宁·期中）除以5的余数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 78．（2026高二·江苏淮安·期中）今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 79．（2026高二·山西临汾·期中）若能被整除，则正数的最小值是______． 考点十五 近似计算问题 80．（2026高二·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 81．（2026·江苏镇江·模拟预测）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 考点十六 证明组合恒等式 82．（2026高三·全国·专题练习）证明： 83．（2026高三·全国·专题练习）求证：． 84．（2026高三·全国·课后作业）求证：. 85．（2026高三·全国·课后作业）求证： 考点十七 杨辉三角问题 86．【多选】（山东聊城市2025-2026学年度高二第二学期期中教学质量检测数学试题）杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数和第1015个数相等 B．从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330 C．记杨辉三角中第行的第个数为，则 D．第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 87．【多选】（2026高二·广东·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（    ） A．每行的首位和末位均为1 B．对应的行中共有4个质数 C．若有不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1，则该数字的最小值为6 D．对应的行的各项数字之和为 88．【多选】（2026高二·吉林·期中）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是 B．第行的第个数最大 C． D．记第n行的第i个数为，则 考点十八 与导数的综合问题 89．【多选】（2026高二·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 90．（2026高二·福建福州·期中）已知，则__________. 91．（2026高二·江苏南通·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； 92．【多选】（2026高二·山东临沂·期中）已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（    ） A． B． C． D． 考点十九 与数列的综合问题 93．【多选】（2026高二·广东惠州·期中）设函数，且记，则（   ） A．数列的首项为 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 94．（2026高二·浙江温州·月考）已知二项式（其中）的展开式中，所有项的系数和为． (1)求的值，并指出展开式中的常数项是展开式中的第几项； (2)设该二项式展开式的各项系数依次为，数列满足，，求数列的前项和． 95．（2026高三·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 考点二十 与函数的综合问题 96．（2026高二·山东德州·期中）已知等比数列中，，函数，则（    ） A．256 B．512 C．1024 D．2048 97．（2026·陕西西安·模拟预测）函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 98．（2026高二·江苏苏州·期末）设函数 (1)当时，求表达式的展开式中含有项的系数； (2)当时，求表达式的展开式中的常数项． 考点二十一 与正态分布的综合问题 99．（福建南平市2026届高三年级第二次适应性练习数学试卷）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 100．（2026·海南海口·模拟预测）已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. $