7.1.2贝叶斯公式 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

《贝叶斯公式》教学设计 一、教材分析 贝叶斯公式是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第三册第七章“随机变量及其分布”第一节“条件概率与全概率公式”中的内容。本节课先从实际问题中抽象出条件概率，再利用概率的乘法公式计算积事件的概率。通过概率的加法公式和乘法公式求一组两两互斥事件的概率归纳出全概率公式。由条件概率和全概率公式所得的贝叶斯公式是“由果溯因”的工具。基于先验概率求得的反向条件概率称为后验概率，常用于修正先验概率进而做出决策。贝叶斯公式是概率论中的重要内容，是连接初等数学与高等数学的重要桥梁。 二、学情分析 授课对象为高二学生，他们已经学习了条件概率、乘法公式、全概率公式等知识，具备一定的概率运算和逻辑推理能力。但学生对贝叶斯公式“怎么来、如何用、有何用”的理解存在一定困难。主要困难在于：如何从实际问题中抽象出贝叶斯公式的结构；如何理解先验概率与后验概率的区别与意义；如何灵活运用贝叶斯公式解决实际问题。因此，本节课的重点是通过CTI教学模式的五个环节，引导学生在情境中建构公式、在应用中理解意义、在迁移中发展素养。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 本节贯彻CTI（建构—迁移—创新）教学模式，通过“设计问题情境—公式的探究与建构—公式的理解与应用—公式的迁移与应用—公式的创新与应用”五个环节，教师引导，学生主动探究为主体的教学思想。 1. 特殊与一般思想：从两个互斥事件推广到个两两互斥事件，从特殊到一般地抽象出贝叶斯公式。 1. 数形结合思想：借助图形（面积表示概率）直观理解条件概率、乘法公式和全概率公式，为贝叶斯公式的推理奠定“可视化”基础。 1. 转化与化归思想：将“由果溯因”问题转化为条件概率的计算问题。 1. 类比思想：通过类比两个事件的情形，推广到多个事件的情形。 1. 教学方法：采用CTI教学模式，通过情境创设、图形直观、问题链驱动等方式，引导学生经历公式的发现、建构、应用、迁移、创新的全过程。 四、核心素养目标 数学抽象：能从实际问题情境中抽象出贝叶斯公式，理解公式的结构特征。 逻辑推理：能借助图形和概率公式严谨推导贝叶斯公式，理解先验概率与后验概率的区别与联系。 数学建模：能将实际问题转化为概率模型，运用贝叶斯公式进行决策分析。 直观想象：借助面积图形直观表示条件概率，为公式推导提供“可视化”支持。 数学运算：能熟练运用贝叶斯公式进行概率计算，解决实际问题。 五、教学重、难点 教学重点： 1. 贝叶斯公式的一般化推导过程。 1. 贝叶斯公式中后验概率的应用价值。 教学难点： 1. 借助图形直观表示条件概率是样本空间中积事件发生的概率，为贝叶斯公式的推理奠定“可视化”基础。 1. 从特殊的对立事件到一般的互斥事件，从具体到抽象，从实际到理论，经过类比抽象得出贝叶斯公式。 六、学法分析 1. 情境感知：学生在“深空摄影爱好者职业判断”的情境中产生认知冲突，激发探究欲望。 1. 自主建构：在教师引导下，借助图形直观，自主推导贝叶斯公式，建构知识框架。 1. 合作探究：在“三门问题”中分组讨论是否改选，交流不同观点，实现思维碰撞。 1. 迁移创新：通过练习题和推广探究，实现知识的迁移与创新应用。 七、教学过程 【设计问题情境】 问题1：一个人爱好深空摄影。你觉得以下哪种可能性比较大？ （1）他是摄影师； （2）他是教师。 追问1：如何用数学语言“翻译”上述问题情境？ 学生研究得出的结果如下表： 情境 数学语言 一个人爱好深空摄影 记“爱好符合描述” 他是摄影师 记“此人职业是摄影师” 他是教师 记“此人职业是教师” 你觉得以下哪种可能性比较大 比较与的大小 追问2：还需要哪些信息才可以算出概率和？ 设计意图：教师引导学生分析问题并整理信息，将题设情境“翻译”为熟悉的数学语言，从实际问题情境中抽象出数学概念，得到解题思路，消除学生对概率问题的恐惧。同时，让学生明确本节课要解决的问题，为引出贝叶斯公式是“由果溯因”的工具作铺垫。 【公式的探究与建构】 为顺利解决问题1，教师提供如下信息： （1）摄影师与教师的人数比例为； （2）摄影师中爱好符合描述的人数占比为，教师中爱好符合描述的人数占比为。 问题2：在已知信息都准确的条件下，如何求此人的职业是摄影师的概率？ 解：设“此人职业是摄影师”，“此人职业是教师”，“爱好符合描述”。 如下图，用面积为1的矩形表示样本空间，将其平均分割为210块格子，其中10块竖条纹格子表示摄影师，占总体的，即；剩下的200块格子表示教师，占总体的，即。 如下图，根据爱好符合描述的占比将格子涂黑，左侧第1列黑色区域表示职业是摄影师且爱好符合描述，即事件；其余黑色区域表示职业是教师且爱好符合描述，即事件。故事件由事件与事件组成，表示为所有黑色区域。 于是，求条件概率即在缩小的样本空间中求积事件发生的概率。 用面积表示乘法公式，有 根据全概率公式有 故 代入数据，得 问题3：在已知信息都准确的条件下，如何求此人的职业是教师的概率？ 解：求条件概率即在缩小的样本空间中求积事件发生的概率。 易知 代入数据，得 问题4：在已知信息都准确的条件下，如何求概率，？ 由问题2和问题3的分析可知， 追问：比较与的值，可以得到什么结论？ 经过计算得到，说明此人的职业是摄影师的概率小于是教师的概率，与学生最初认为“此人的职业是摄影师”这一直觉相悖。 问题5：如果有个两两互斥的职业，在爱好符合描述的前提下，如何求此人是第种职业的概率？ 解：设“此人是第种职业，”，“爱好符合描述”。 如下图，用面积为1的矩形表示样本空间，用不同的底纹表示不同的职业，根据比例将该矩形分成份，用黑色区域表示所有爱好符合描述的职业。 求条件概率即在缩小的样本空间中求积事件发生的概率。 故 至此，抽象得到贝叶斯公式： 设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有 概念阐释：假定是导致试验结果的“原因”，称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，它们在试验之前是已知的。现在试验结果是事件发生了，这个信息将有助于探究事件发生的“原因”。条件概率称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新认识。 设计意图：借助图形表示事件，直观表示求条件概率本质上是在缩小的新的样本空间中求积事件的概率，为贝叶斯公式的推理奠定了“可视化”基础。教师引导学生关注公式结构，探索基于先验概率所求的反向条件概率，抽象得到贝叶斯公式。引导学生通过探究“由果溯因”问题发现直觉未必准确，为引出先验概率和后验概率的区别与意义作铺垫。 【公式的理解与应用】 问题6：我校心理健康活动节“幸福刮刮乐”活动中刮到“彩蛋”的学生可以进行一次抽奖游戏。规则如下：编号为1，2，3的三个外观相同的箱子中只有一个有大奖（主持人知道），抽奖人在三个箱子中任选一个，若奖品在此箱子中，则可以获得奖品，求任选一个箱子中奖的概率。 追问1：若你是抽奖人，不妨假设你选择了1号箱。在打开1号箱之前，主持人先打开了另外两个箱子中的一个空箱子。按游戏规定，主持人只打开你的选择之外的空箱子，当两个箱子都是空箱子时，他随机选择其中一个箱子打开。不妨设主持人打开的箱子是3号箱。现给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？ 对于是否改选2号箱，学生有以下观点： （1）三个箱子中有奖品的概率都是，所以不必改选2号箱。 （2）奖品在1号箱中的概率是，当知道3号箱是空箱时，2号箱中有奖品的概率变为，故应该改选2号箱。 学生利用贝叶斯公式研究是否应该改选2号箱的过程如下： 解：设“第号箱子中有奖品，”，“主持人打开了3号箱”。 由题意，比较与的大小即可解决问题。 主持人打开1号箱之外的一个空箱子，有以下三种可能情况： 若奖品在1号箱中，主持人可以打开2号箱或3号箱，则； 若奖品在2号箱中，主持人只能打开3号箱，则； 若奖品在3号箱中，主持人只能打开2号箱，则。 根据全概率公式，主持人打开3号箱的概率为 由贝叶斯公式，在打开3号箱的条件下，1号箱和2号箱中有奖品的概率分别为 通过比较后验概率，得，故在打开3号箱的条件下，应该改选2号箱，此时后验概率修正了先验概率。 追问2：你能否归纳借助贝叶斯公式解决此类问题的一般步骤？ 贝叶斯公式解决此类问题的一般步骤： （1）分析题目，假设事件； （2）根据已知信息，得到先验概率及条件概率； （3）根据全概率公式得到； （4）根据贝叶斯公式得到后验概率； （5）根据后验概率修正决策。 设计意图：通过改编的“三门问题”激发学生兴趣，通过小组讨论是否改选引发思维碰撞，让学生思考问题并尝试借助贝叶斯公式自行解决问题。学生做决策时往往基于生活实际判断，忽视了独立性与条件概率之间的联系，经过计算推理的结果可能与直觉相悖。此过程强调先验概率和后验概率的区别与意义，让学生体会贝叶斯公式中后验概率的应用价值。 问题7：贝叶斯公式在结构上有什么特征？与本章学过的其他公式是否有联系？ 解：贝叶斯公式在结构上描述了条件概率和之间的关系，其本质是条件概率。它的分子结构由概率的乘法公式表示，分母结构由全概率公式表示。贝叶斯公式的意义在于能够通过已知信息计算出后验概率，使先验概率得到修正，进而能够根据后验概率进行推理和决策。 设计意图：通过从特殊到一般、从具体到抽象、从实际到理论，运用类比、直观想象的方法，引导学生关注公式结构，抽象出贝叶斯公式。在抽象过程中，学生能够体会单元知识体系的关联性与整体性，增强对条件概率、全概率公式和贝叶斯公式的理解。 【公式的迁移与应用】 练习1：在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0。已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05。假设发送信号0和1是等可能的。 （1）分别求接收的信号为0和1的概率； （2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率。 （练习1为人教A版教材选择性必修第三册第51页的例6） 练习2：在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感。假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人。 （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率。 （练习2为人教A版教材选择性必修第三册第53页习题7.1第5题） 设计意图：结合单元知识设置练习题应用公式，考查条件概率、全概率公式和贝叶斯公式等知识，体现数学的整体性。练习1背景为信息技术，与本节课中贝叶斯公式的应用息息相关；练习2的样本空间中包括三个两两互斥的事件，进一步考查学生用简单事件表示复杂事件的能力。 【公式的创新与应用】 练习3：若个事件满足两两互斥，且，，，则称这个事件构成样本空间的一个划分。若与是样本空间的两个划分，则对任意的事件，，，，，，时，试证明： （1）； （2），； （3），； （4），，。 练习4：春秋时期齐鲁两国对战，齐国三度擂响战鼓，鲁国坚守不战，齐国士气大减后鲁国以弱胜强，曹刿道：“夫战，勇气也。一鼓作气，再而衰，三而竭。彼竭我盈，故克之。”同学们分小组自行假定数据，结合数学建模的思想和方法，应用贝叶斯公式探究擂鼓拒战后鲁国胜率增加的原因，并提交小组研究报告。 设计意图：结合高等数学知识设置公式的创新与应用，练习3为全概率公式和贝叶斯公式的推广结论。练习4对历史故事进行数学建模分析，既能让学生体会策略的重要性，又能让学生体会如何运用贝叶斯公式来解决实际问题。通过练习题进行公式的创新与应用有助于发展学生的数学建模和逻辑推理素养，培养学生的创新意识。 【课堂小结】 1. 你学到了哪些知识？ 贝叶斯公式的推导过程和结构特征。 先验概率与后验概率的区别与意义。 贝叶斯公式在“由果溯因”问题中的应用。 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 特殊与一般、数形结合、转化与化归、类比思想。 设计意图：提高学生归纳概括能力，强化对数学思想方法的认识。 八、板书设计 CTI教学模式——“贝叶斯公式” 多媒体展示区 核心结论 一、问题情境 图形演示（图2、图3、图4） 贝叶斯公式 深空摄影爱好者职业判断 面积表示样本空间 比较与 黑色区域表示事件B 二、核心概念 二、公式推导 三、公式应用 先验概率 三门问题（是否改选） 后验概率 三、解题步骤 结论：应该改选 1.假设事件 2.先验概率 3.全概率公式 4.贝叶斯公式 5.修正决策 学科网（北京）股份有限公司 $