7.1.2贝叶斯公式 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

《贝叶斯公式》教学设计

一、教材分析

贝叶斯公式是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第三册第七章“随机变量及其分布”第一节“条件概率与全概率公式”中的内容。本节课先从实际问题中抽象出条件概率，再利用概率的乘法公式计算积事件的概率。通过概率的加法公式和乘法公式求一组两两互斥事件的概率归纳出全概率公式。由条件概率和全概率公式所得的贝叶斯公式是“由果溯因”的工具。基于先验概率求得的反向条件概率称为后验概率，常用于修正先验概率进而做出决策。贝叶斯公式是概率论中的重要内容，是连接初等数学与高等数学的重要桥梁。

二、学情分析

授课对象为高二学生，他们已经学习了条件概率、乘法公式、全概率公式等知识，具备一定的概率运算和逻辑推理能力。但学生对贝叶斯公式“怎么来、如何用、有何用”的理解存在一定困难。主要困难在于：如何从实际问题中抽象出贝叶斯公式的结构；如何理解先验概率与后验概率的区别与意义；如何灵活运用贝叶斯公式解决实际问题。因此，本节课的重点是通过CTI教学模式的五个环节，引导学生在情境中建构公式、在应用中理解意义、在迁移中发展素养。

三、本节渗透的数学思想及教学方法分析

本节贯彻CTI（建构—迁移—创新）教学模式，通过“设计问题情境—公式的探究与建构—公式的理解与应用—公式的迁移与应用—公式的创新与应用”五个环节，教师引导，学生主动探究为主体的教学思想。

1. 特殊与一般思想：从两个互斥事件推广到个两两互斥事件，从特殊到一般地抽象出贝叶斯公式。
2. 数形结合思想：借助图形（面积表示概率）直观理解条件概率、乘法公式和全概率公式，为贝叶斯公式的推理奠定“可视化”基础。
3. 转化与化归思想：将“由果溯因”问题转化为条件概率的计算问题。
4. 类比思想：通过类比两个事件的情形，推广到多个事件的情形。
5. 教学方法：采用CTI教学模式，通过情境创设、图形直观、问题链驱动等方式，引导学生经历公式的发现、建构、应用、迁移、创新的全过程。

四、核心素养目标

数学抽象：能从实际问题情境中抽象出贝叶斯公式，理解公式的结构特征。

逻辑推理：能借助图形和概率公式严谨推导贝叶斯公式，理解先验概率与后验概率的区别与联系。

数学建模：能将实际问题转化为概率模型，运用贝叶斯公式进行决策分析。

直观想象：借助面积图形直观表示条件概率，为公式推导提供“可视化”支持。

数学运算：能熟练运用贝叶斯公式进行概率计算，解决实际问题。

五、教学重、难点

教学重点：

1. 贝叶斯公式的一般化推导过程。
2. 贝叶斯公式中后验概率的应用价值。

教学难点：

1. 借助图形直观表示条件概率是样本空间中积事件发生的概率，为贝叶斯公式的推理奠定“可视化”基础。
2. 从特殊的对立事件到一般的互斥事件，从具体到抽象，从实际到理论，经过类比抽象得出贝叶斯公式。

六、学法分析

1. 情境感知：学生在“深空摄影爱好者职业判断”的情境中产生认知冲突，激发探究欲望。
2. 自主建构：在教师引导下，借助图形直观，自主推导贝叶斯公式，建构知识框架。
3. 合作探究：在“三门问题”中分组讨论是否改选，交流不同观点，实现思维碰撞。
4. 迁移创新：通过练习题和推广探究，实现知识的迁移与创新应用。

七、教学过程

【设计问题情境】

问题1：一个人爱好深空摄影。你觉得以下哪种可能性比较大？

（1）他是摄影师；

（2）他是教师。

追问1：如何用数学语言“翻译”上述问题情境？

学生研究得出的结果如下表：

追问2：还需要哪些信息才可以算出概率和？

设计意图：教师引导学生分析问题并整理信息，将题设情境“翻译”为熟悉的数学语言，从实际问题情境中抽象出数学概念，得到解题思路，消除学生对概率问题的恐惧。同时，让学生明确本节课要解决的问题，为引出贝叶斯公式是“由果溯因”的工具作铺垫。

 

【公式的探究与建构】

为顺利解决问题1，教师提供如下信息：

（1）摄影师与教师的人数比例为；

（2）摄影师中爱好符合描述的人数占比为，教师中爱好符合描述的人数占比为。

问题2：在已知信息都准确的条件下，如何求此人的职业是摄影师的概率？

解：设“此人职业是摄影师”，“此人职业是教师”，“爱好符合描述”。

如下图，用面积为1的矩形表示样本空间，将其平均分割为210块格子，其中10块竖条纹格子表示摄影师，占总体的，即；剩下的200块格子表示教师，占总体的，即。

如下图，根据爱好符合描述的占比将格子涂黑，左侧第1列黑色区域表示职业是摄影师且爱好符合描述，即事件；其余黑色区域表示职业是教师且爱好符合描述，即事件。故事件由事件与事件组成，表示为所有黑色区域。

于是，求条件概率即在缩小的样本空间中求积事件发生的概率。

用面积表示乘法公式，有

根据全概率公式有