等比数列及其前n项和课件-2026届高三数学一轮复习

等比数列及其前n项和 2 同一个 公比 ab a1qn-1 D D B A 1，3，9或9，3，1 C AD BC 5 －2 025 B AC 100 B [知识梳理] 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q(q≠0)表示． (2)等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ ． 2．等比数列的有关公式 (1)等比数列{an}的通项公式为an＝ ． (2)等比数列{an}的前n项和公式为 Sn＝ 3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，t，r，k∈N*). (1)等比数列{an}的通项公式的推广：an＝am·qn－m. (2)若m＋n＝p＋t＝2r，则am·an＝ap·at＝a. (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列({an}的公比q＝－1除外). (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (5)若数列{an}共有2n项，则S偶∶S奇＝q； 若数列{an}共有2n＋1项，则＝q. [热身训练] 1．已知数列{an}是等比数列，函数y＝x2－5x＋6的零点分别是a2，a8，则a5等于( ). A．2　　　 B．－2 C．±　　　 D．± 2．已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5等于( ). A．1　　　 B．5 C．　　　 D． 3．已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q的值为( ). A．－　　　 B． C．2　　　 D．－2 4．已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列的前n项和为Tn，则T5等于( ). A．　　　 B．31 C．　　　 D．7 5．(易错题)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数依次为 ． 题型1　等比数列的基本运算 【例1】(1)(天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为( ). A．3　　　 B．18 C．54　　　 D．152 【解析】设{an}公比为q，当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2①；当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2②.联立①②，可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝54. (2)(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3＝7，a3＝1，则( ). A．q＝　　　 B．a5＝ C．S5＝8　　　 D．an＋Sn＝8 【解析】对于A，由题意得结合q>0，解得故A正确；对于B，a5＝a1q4＝4×＝，故B错误；对于C，S5＝＝＝，故C错误；对于D，an＝4×＝23-n，Sn＝＝8－2－n+3，所以an＋Sn＝23-n＋8－23-n＝8，故D正确． 解决等比数列基本问题的常用思想 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解； (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 【变式】(1)(多选)(2025·河南联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则( ). A．a＝－1 B．数列{an}的公比为2 C．an＝2n D．S9＝1 023 (2)已知数列{an}为等比数列，公比q>0，首项a1＝1，前三项和为7，a1a2…an＝1 024，则n＝ ． 【解析】由条件可知a1＋a2＋a3＝7，即1＋q＋q2＝7，q>0，解得q＝2(负值已舍去)，所以an＝2n-1，a1a2…an＝1×2×22×23·…·2n-1＝2＝1 024，即＝10，得n2－n－20＝0，解得n＝5或n＝－4(舍). 题型2　等比数列的判定与证明 【例2】(南通三模)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an. (1)求证：{an＋1－2an}是等比数列； (2)求证：存在两个等比数列{bn}，{cn}，使得an＝bn＋cn成立． 【解析】(1)因为an＋2＝5an＋1－6an，所以an＋2－2an＋1＝3(an＋1－2an).因为a2－2a1＝3≠0，所以＝3，所以数列{an＋1－2an}是首项为3，公比为3的等比数列． (2)由(1)知an＋1－2an＝3n，所以an＋1－3n+1＝2(an－3n).因为a1－31＝－2≠0，所以数列{an－3n}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以an－3n＝－2n，所以an＝3n－2n.令bn＝3n，cn＝－2n，则＝3，＝2，所以存在两个等比数列{bn}，{cn}，使得an＝bn＋cn成立． 等比数列的常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列； (2)中项公式法：在数列{an}中，若an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列； (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn-1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列； (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列． 前两种方法是常用方法，用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中． 【变式】已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝. (1)求b1，b2，b3的值； (2)判断数列{bn}是不是等比数列，并说明理由； (3)求数列{an}的通项公式． 【解析】(1)由题意可知an＋1＝an，将n＝1代入，得a2＝4a1.因为a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12，所以b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由题意可知＝，即bn＋1＝2bn.又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n-1，所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n-1. 题型3　等比数列性质的应用 【例3】(1)在正项等比数列{an}中，若a1 013＝，则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a2 025＝ ． 【解析】由题意得a1a2 025＝a2a2 024＝a3a2 023＝…＝a1 012a1 014＝a，故lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a2 025＝lg (a1a2a3…a2 024a2 025)＝lg a＝lg 10-2 025＝－2 025. (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝ ． 【解析】因为{an}是等比数列，所以S5，S10－S5，S15－S10成等比数列．设S5＝2k，S10＝k，则S10－S5＝－k，所以S15－S10＝，所以S15＝，所以＝＝. (1)利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口． (2)在利用相关性质解题时，要注意性质成立的条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的应用． 【变式】(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是( ). A．25　　　 B． C．5　　　 D． (2)(多选)已知数列{an}为等比数列，下列说法一定正确的有( ). A．a1a8＝a2a7 B．若a2＝4，a6＝16，则a4＝±8 C．当a5>0时，a3＋a7≥2a5 D．当a3<0时，a3＋a7>a4＋a6 【解析】设等比数列{an}的公比为q，对于A，a1a8＝a1·a1q7＝aq7，a2a7＝a1q·a1q6＝aq7，所以a1a8＝a2a7，故A正确；对于B，由题意知a4＝a2q2＝4q2>0，所以a4＝±8不正确，所以B不正确；对于C，a3＋a7－2a5＝＋a5q2－2a5＝a5≥a5＝0，当且仅当q2＝1时，等号成立，故C正确；对于D，当q＝1时，a7＝a3＝a4＝a6，则a3＋a7＝a4＋a6，故D不正确． (3)已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝ ． 【解析】由log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以2为公比的等比数列．又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝100. 等比数列的实际应用 以数学文化为背景的等比数列问题的求解关键：一是透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等． 【例题】我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是同一个常数，如表6.3­1，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2＝1(i＝1，2，…，12).若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为( ). 表6.3­1 频率 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 半音 C C# D D# E F F# G G# A A# B A．F#　　　 B．G C．G#　　　 D．A 【解析】由题意可知an>0(n＝1，2，…，13).因为a1，a2，…，a13满足log2＝1(i＝1，2，…，12)，所以＝2，所以＝，所以数列a1，a2，…，a13为等比数列，其公比q＝，D#对应的频率为a4，所求半音与D#的频率之比为＝()4，所以所求半音对应的频率为a4·()4＝a8，即对应的半音为G. $