第五章第3节等比数列及其前n项和-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

2025-11-05

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摘要：

该高中数学高考复习课件聚焦等比数列专题，覆盖前n项和公式、性质应用、判定与证明等高考核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，其中基本运算占比40%、性质应用占35%，归纳选择、填空、解答等常考题型，构建系统备考框架。课件亮点在于真题训练与应试技巧结合，精选2025年上饶质检、全国一卷等真题，通过“方程思想求基本量”“定义法判定等比数列”等方法培养数学运算、逻辑推理素养，如利用“片段和”性质速解S_n相关题，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

内容正文：

第五章数列第3节　等比数列及其前n项和下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列夯实必备知识跃升关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列夯实必备知识下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列跃升关键能力下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列课时作业点击进入WORD链接下一页上一页返回导航艺考生文化课百日冲关数学第五章数列课程标准 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 4.体会等比数列与指数函数的关系核心素养 1.等比数列的基本运算，达成逻辑推理和数学运算素养． 2.等比数列的判定与证明，发展数学抽象和数学运算素养． 3.等比数列的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养考情聚焦　　等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，等比数列的性质，以及求a1、q、an、n、Sn的基本运算是高考的热点．高考考查形式多样，选择题、填空题主要考查等比数列的基本运算和性质，难度不大．在解答题中常与等差数列、数列求和等问题综合考查，难度中等 [必备知识] 1．等比数列的概念 (1)如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的前一项的比等于　同一个　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝　q　(n≥2，q为非零常数)，或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的　等比中项　，其中G＝　±eq \r(ab)　. 2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝　a1qn－1　；通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝　eq \f(a11－qn,1－q)　＝eq \f(a1－anq,1－q). 推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A(A为常数且A≠0)． 3．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝　apaq　，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝aeq \o\al(2,s)，其中p，s，r∈N*. (2)等比数列{an}的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是　递增　数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是　递减　数列；当q＝1时，数列{an}是　常数列　. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为　qm　(k，m∈N*)． (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为　qn　. 　等比数列的主要性质设数列{an}是首项为a1，公比是q的等比数列，Sn是其前n项和． 1．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． 2．Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. 3．若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列． 4．若数列{an}的项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q. 5．等比数列{an}的单调性当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))时，{an}为递增数列，当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))时，{an}为递减数列． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　 ) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　 ) (3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　 ) (4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　 ) (5)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× [小题查验] 1．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12　　 B．24　　　 C．30　　 D．32 解析：D　[设等比数列{an}的公比为q，a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，所以q(a1＋a2＋a3)＝2，解得q＝2，所以a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32.] 2．(2025·上饶质检)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：D　[设等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝168,a2－a5＝42))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝168,a1q1－q3＝42))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝168,a1q1－q1＋q＋q2＝42))，解得q＝eq \f(1,2)，a1＝96，所以a6＝a1q5＝3.] 3．(2025·东营二模)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，且－a5，a4，a6成等差数列，则a2＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：A　[因为－a5，a4，a6成等差数列，所以2a4＝－a5＋a6，因为{an}是正项等比数列，且a1＝1,2a4＝－a4·q＋a4·q2，所以2＝－q＋q2，解得：q＝2或q＝－1(舍去)，所以a2＝a1q＝1×2＝2.] 4．(2025·济宁三模)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 解析：C　[由等比数列的性质可得S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…，为等比数列，因此(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，将S4＝－5，S6＝21S2代入上式，解得S2＝－1或eq \f(5,4)(舍)，此时S6＝eq \f(105,4)，由等比数列性质可知S4－S2，S6－S4，S8－S6为等比数列，解得S8＝－85.] 5．(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________．解析：易知q4＝eq \f(a5＋a6＋a7＋a8,a1＋a2＋a3＋a4)＝eq \f(68－4,4)＝16，所以q＝2(负数舍点)．答案：2 考点一　等比数列的基本运算(自主练透) [题组集训] 1．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　 ) A．21　　 B．42　　　 C．63　　 D．84 解析：B　[设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.] 2．(多选题)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝eq \f(1,2) B．a5＝eq \f(1,9) C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 解析：AD　[由题可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＋a1q2＝7,a1q2＝1,q>0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2),a1＝4)) 所以an＝4×eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－3，则a5＝eq \f(1,2)5－3＝eq \f(1,4)，S5＝eq \f(4×1－\f(1,2)5,1－\f(1,2))＝eq \f(31,4)， an＋Sn＝eq \f(1,2)n－3＋eq \f(4×1－\f(1,2)n,1－\f(1,2))＝eq \f(1,2)n－3＋8－8×eq \f(1,2)n＝8.] 3．(2025·滁州质检)已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝_________________________________. 解析：S6＝3＋6＋12＋24＋48＋96＝189. 答案：189 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q). 提醒：运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论．考点二　等比数列的判定与证明(师生共研) [典例]　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq \f(an,n). (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式．逻辑推理——等比数列判定与证明中的核心素养根据等比数列的定义、性质等对一个数列是否是等比数列作出判断与证明，是从一般到特殊的推理，使学生学会有逻辑地思考问题，形成合乎逻辑的思维品质，是高中生必须具备的最基础又应用最广的一种核心素养．信息提取信息解读数学运算、逻辑推理已知数列{an}满足a1＝1， nan＋1＝2(n＋1)an的递推关系式，求b1，b2，b3 先求出a2，a3，再利用bn＝eq \f(an,n)求b1，b2，b3 着眼点1：数学运算： (1)先求出a2，a3； (2)再求出b1，b2，b3 判断数列{an}是否为等比数列，并说明理由作出数列的类型作出判断并证明着眼点2：逻辑推理：定义法判定并证明数列{an}为等比数列求{an}的通项公式先求出数列{bn}的通项公式着眼点3：数学运算： (1)先求出数列{bn}的通项公式； (2)再求出{an}的通项公式 [解]　(1)由条件可得an＋1＝eq \f(2n＋1,n)an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 等比数列的判定方法 (1)定义法：若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． [跟踪训练] 已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝eq \f(31,32)，求λ. 解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝eq \f(1,1－λ)，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0，得an≠0，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(λ,λ－1). 因此{an}是首项为eq \f(1,1－λ)，公比为eq \f(λ,λ－1)的等比数列，于是an＝eq \f(1,1－λ) eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))n－1. (2)由(1)得Sn＝1－eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))n. 由S5＝eq \f(31,32)，得1－eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))5＝eq \f(31,32)，即eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))5＝eq \f(1,32). 解得λ＝－1. 考点三　等比数列的性质及应用(师生共研) [典例]　(1)已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－aeq \o\al(2,7)＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11＝(　　 ) A．16　　 B．8　　　 C．4　　 D．2 [解析]　A　[由等差数列性质得a2＋a12＝2a7，所以4a7－aeq \o\al(2,7)＝0，又a7≠0，所以a7＝4，b7＝4，由等比数列性质得b3b11＝beq \o\al(2,7)＝16.] (2)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝____________. [解析]　设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aeq \o\al(3,1)q3与a4a5a6＝12＝aeq \o\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aeq \o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14. [答案]　14 (3)正项等比数列{an}的公比恰好等于函数f(x)＝x2－4x＋4的零点，且a5·a9＝4，则log2a12＝____________. [解析]　因为函数f(x)＝x2－4x＋4的零点为2，所以等比数列{an}的公比q＝2.因为aeq \o\al(2,7)＝a5·a9＝4，所以a7＝2，所以a12＝a7·q5＝26，所以log2a12＝log226＝6. [答案]　6 等比数列性质应用中的常见题型与求解策略题型求解策略求基本量的值在解决等比数列的有关问题时，利用性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”可以减少运算量，提高解题速度．要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用确定单调性利用数列相邻两项的大小关系或求出公比，从而判断单调性求最大(小)值或比较大小根据题目条件，认真分析，确定首项与公比，发现具体的变化特征，利用等比数列的单调性或基本不等式求解 [跟踪训练] 1．在各项均为正数的等比数列{an}中，(a1＋a3)(a5＋a7)＝4aeq \o\al(2,4)，则下列结论中正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{an}是递减数列 C．数列{an}是常数列 D．数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列解析：C　[各项均为正数的等比数列{an}中，因为(a1＋a3)(a5＋a7)＝4aeq \o\al(2,4)成立，即a1a5＋a1a7＋a3a5＋a3a7＝4aeq \o\al(2,4)成立．利用等比数列的定义和性质化简可得aeq \o\al(2,3)＋aeq \o\al(2,4)＋aeq \o\al(2,4)＋aeq \o\al(2,5)＝4aeq \o\al(2,4)，进一步化简得aeq \o\al(2,3)＋aeq \o\al(2,5)＝2aeq \o\al(2,4).设公比为q，则得aeq \o\al(2,1)q4＋aeq \o\al(2,1)q8＝2aeq \o\al(2,1)q6，化简可得1＋q4＝2q2，即(q2－1)2＝0，所以q2＝1，故q＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q＝－1舍去)．故此等比数列是常数列．] 2．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若eq \f(S10,S5)＝eq \f(31,32)，则公比q＝____________. 解析：由eq \f(S10,S5)＝eq \f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq \f(S10－S5,S5)＝－eq \f(1,32).由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－eq \f(1,32)，q＝－eq \f(1,2). 答案：－eq \f(1,2) $

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