等比数列及其前n项和课件-2026届高三数学一轮复习

第六章 数列 第三讲　等比数列及其前n项和 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　等比数列的概念 1．等比数列的定义 如果一个数列______________________________________________ ___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母____表示． 符号语言：____________(n∈N*，q为非零常数)． 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常 数(不为零) 公比 q 高考一轮总复习 • 数学 2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝______. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． G ab 高考一轮总复习 • 数学 知识点二　等比数列的有关公式 1．通项公式：an＝___________＝___________. 2．前n项和公式 a1qn－1 amqn－m na1 高考一轮总复习 • 数学 知识点三　等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． 2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． 高考一轮总复习 • 数学 4．当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列． 高考一轮总复习 • 数学 5．等比数列{an}的单调性 (4)当q<0时，{an}为摆动数列． 高考一轮总复习 • 数学 归 纳 拓 展 等比数列的概念的理解 (1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (2)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．如{an}为等比数列，a3＝－1，a11＝－4则a7＝－2. (3)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0)． (4)若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝kan＋b(k≠0，k≠1)，则数列{an}必为等比数列． 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增．(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3){an}为等比数列，若a3＝1，a9＝4，则a6＝2.(　　) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) 高考一轮总复习 • 数学 (6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 高考一轮总复习 • 数学 (4)an必须大于0. (5)讨论a＝0，1和a≠0，1. (6)q＝－1时S4＝S8＝S12＝0. 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 [答案]　1 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 题组三　走向高考 4．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　　 B．12　　　 C．6　　　 D．3 [答案]　D 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 5．(2023·新课标Ⅱ卷，8，5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 [答案]　C 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 考点突破 · 互动探究 返回导航 等比数列的基本运算——自主练透 A．a4a8＝1 B．an≥a2 C．Sn≤21 D．Sn≥16 [答案]　ABD 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 则当n＝1时，Sn有最大值，即Sn≤S1＝32， 当n＝2时，Sn有最小值，即Sn≥S2＝16， 故C错误，D正确．故选ABD． 高考一轮总复习 • 数学 2．(2024·陕西渭南二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，则其公比q＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．－3 [答案]　C 高考一轮总复习 • 数学 [解析]　设等比数列{an}的公比为q， 因为a1＋a3＝30，S4＝120，若q＝1，由a1＋a3＝30， 得到an＝a1＝15，不满足S4＝120，所以q≠1， 由a1＋a3＝30，得到a1(1＋q2)＝30①， 高考一轮总复习 • 数学 [引申]在本例2的条件下an＝________. [答案]　3n [解析]　由a1＋a3＝30得a1(1＋32)＝30，即a1＝3，∴an＝a1qn－1＝3n. 高考一轮总复习 • 数学 名师点拨：等比数列基本量的求法 等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用． 特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式． 高考一轮总复习 • 数学 【变式训练】 (2025·辽宁期中)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋1＋2an＝0，2a3＋3a4＝16，则S6＝________. [答案]　21 高考一轮总复习 • 数学 [解析]　由an＋1＋2an＝0，可得an＋1＝－2an， 所以数列{an}是一个公比为－2的等比数列， 即a4＝－2a3， 所以2a3＋3a4＝16⇒2a3－6a3＝16⇒a3＝－4， 即a3＝a1(－2)2＝－4⇒a1＝－1， 所以由等比数列的求和公式可得： 高考一轮总复习 • 数学 等比数列性质的应用——多维探究 角度1　等比数列项的性质的应用 [答案]　B 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 2．(2025·陕西模拟预测)等比数列{an}满足：a1>0，q>0，a1a3a5a7a9＝32，则a2＋a8的最小值为________. [答案]　4 [解析]　依题意，等比数列{an}满足： a1>0，q>0，a1a3a5a7a9＝32， 当且仅当a2＝a8＝2时等号成立，此时an＝2. 所以a2＋a8的最小值为4. 高考一轮总复习 • 数学 [引申]在本例1中若将a3，a15改为a2，a16，其他不变，该题应选(　　) [答案]　D 高考一轮总复习 • 数学 名师点拨： 1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 高考一轮总复习 • 数学 角度2　等比数列前n项和的性质 1．(2025·山西晋中模拟预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·3n－1－1，则t＝(　　) A．－3 　 B．3 　 C．1 　 D．－1 [答案]　B 高考一轮总复习 • 数学 [解析]　设公比为q，当q＝1时Sn＝na1，不符合题意； 高考一轮总复习 • 数学 [答案]　A 高考一轮总复习 • 数学 [解析]　解法一：设等比数列的公比为q，显然q≠1， ∴S12＝15S3＝150.故选A． 高考一轮总复习 • 数学 解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9) ＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)， ∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)， ∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故选A． 解法三：由等比数列的性质知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A． 高考一轮总复习 • 数学 解法四：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn， 解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10. ∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A． 高考一轮总复习 • 数学 [引申]本例2中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？ [答案]　C [解析]　由本例解法一知q3＝2或－3， 当q3＝2时，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150； 当q3＝－3时，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故选C． 高考一轮总复习 • 数学 名师点拨： 1．等比数列前n项和的性质主要是：若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列． 2．利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口. 4．S2n＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn(1＋qn＋q2n)，…. 高考一轮总复习 • 数学 【变式训练】 1．(角度1)(2023·全国乙卷理，15，5分)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________. [答案]　－2 [解析]　由等比数列的性质得a4a5＝a3a6≠0， ∵a2a4a5＝a3a6，∴a2＝1. ∴q15＝－8，∴(q5)3＝－8，∴q5＝－2， ∴a7＝a2q5＝1×(－2)＝－2. 高考一轮总复习 • 数学 A．4 B．6 C．7 D．9 [答案]　C 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 解法二：等比数列{an}的公比为q，由S6＝3S3， 得a4＋a5＋a6＝S6－S3＝2S3， 即a1q3＋a1q4＋a1q5＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 而a1≠0，1＋q＋q2≠0，则q3＝2， 因此S9＝S6＋a7＋a8＋a9＝3S3＋a1q6＋a1q7＋a1q8＝3S3＋q6S3＝7S3， 高考一轮总复习 • 数学 等比数列的判定与证明——师生共研 (2025·重庆期中)已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－1＝2an＋n. (1)求证：数列{an＋n＋2}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 高考一轮总复习 • 数学 [解析]　(1)证明：由an＋1－1＝2an＋n 可得an＋1＋n＋1＋2＝2(an＋n＋2)， 又a1＋3＝4≠0，所以an＋n＋2≠0， 所以数列{an＋n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 高考一轮总复习 • 数学 (2)由(1)知，an＋n＋2＝4×2n－1＝2n＋1， 所以an＝2n＋1－n－2， 所以Sn＝(22－3)＋(23－4)＋…＋[2n＋1－(n＋2)] ＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(3＋4＋…＋n＋2) 高考一轮总复习 • 数学 名师点拨：等比数列的判定方法 3．通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． 高考一轮总复习 • 数学 提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中． 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 [解析]　(1)证明：由题设易知an≠0， 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 数列中的数学文化 纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生受困于背景陌生，无处着手．本专题就数列中的数学文化试题通过典型分析，让学生提高审题能力，增强对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解． 高考一轮总复习 • 数学 1．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 [答案]　C 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 2．(2024·北京房山一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为(　　) A．12里 B．24里 C．48里 D．96里 [答案]　C 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 名师点拨： 以数学文化为背景的等差(比)数列问题的求解关键是：①会脱去数学文化的背景，读懂题意；②构建模型，即由题意构建等差(比)数列的模型；③解模，即把文字语言转化为求等差(比)数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等． 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 [答案]　A 高考一轮总复习 • 数学 2．(2024·北京西城期中)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？”这一问题中从下部算起第5节容量是________升.(结果保留分数) 高考一轮总复习 • 数学 高考一轮总复习 • 数学 ＝q Sn＝ 1．若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. 3．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (1)满足或时，{an}是递增数列． (2)满足或时，{an}是递减数列． (3)当时，{an}为常数列． (5)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn；若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (6)若{an}是等比数列，且an>0(n∈N*)，则{logaan}(a>0且a≠1)成等差数列，反之亦然． (7)若{an}是等差数列，则{aan}(a>0，a≠1)成等比数列，反之亦然． (8)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. (5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) [解析]　(1)等比数列{an}递增充要条件为或 (2)若a＝b＝c＝0，则a，b，c不成等比． (3)a＝a3a9＝4又a6与a3可以不同号，所以a6＝±2. 题组二　走进教材 2．(选择性必修2P35例改编)在等比数列{an}中，若a1＝27，a9＝，则S8＝____________. [答案]　或 [解析]　由题意可知q8＝＝8，∴q＝±. 当q＝时，S8＝＝， 当q＝－时，S8＝＝， 故S8＝或. 3．(选择性必修2P37T1改编)等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，S6＝，则a2＝________. [解析]　∵S3＝，S6＝，即S6≠2S3，∴q≠1， ∴两式相除可得，＝， ∴q3＝8，即q＝2，a1＝， ∴a2＝a1q＝1. [解析]　解法一：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得即解得所以a6＝a1q5＝3，故选D． 解法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得即解得所以a6＝a1q5＝3，故选D． [解析]　解法一：设等比数列{an}的公比为q， 当q＝1时，S4＝4a1＝－5，解得a1＝－，因为S6＝6a1＝－，21S2＝21×2a1＝－，所以S6≠21S2，故q≠1. 因为 所以 所以S8＝＝×(1－44)＝－85，故选C． 解法二：由等比数列前n项和的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等比数列，可得S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列， 则(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即(－5－S2)2＝S2·(21S2＋5)，化简得4S－S2－5＝0，即(4S2－5)(S2＋1)＝0， 所以S2＝或S2＝－1. 设等比数列{an}的公比为q， 当S2＝时，＝＝q2＝－5，无实数解，舍去，故S2＝－1， 所以S4－S2＝－4，S6－S4＝－16，所以S8－S6＝－64. 又因为S6＝－21，所以S8＝－85，故选C． 1．(多选题)(2025·重庆质检)已知等比数列{an}的公比q＝－，其前n项和记为Sn，且S6＝21，则(　　) [解析]　由题意可得S6＝＝＝＝21，即a1＝32， 故an＝32·n－1＝－n－6， a4a8＝－4－6×＝4×＝1，故A正确； an－a2＝－n－6＋－4＝16－n－6， 若n为奇数，则an－a2＝16－n－6＝16＋>0， 若n为偶数，则an－a2＝16－n－6＝16－， 随n的增大而增大，故an－a2≥a2－a2＝0，故B正确； Sn＝＝＝－·n， 当n为奇数时，Sn＝＋>，且随n的增大而减小， 当n为偶数时，Sn＝－<，随n的增大而增大， 由S4＝120，得到＝120②， 由①÷②得＝， 整理得到＝，解得q＝3，故选C． S6＝＝＝21. 1．(2025·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．－或 [解析]　设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，又a3、a15同号，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－.故选B． 所以a＝32，a5＝2，且an>0， 所以a2＋a8≥2＝2＝4， [解析]　a2＋a16＝－6，a2a16＝2，又a2与a16同号，所以a2<0，a16<0，而a9符号不确定a9＝±，因此＝±.故选D． 当q≠1时Sn＝＝－qn＋， 又Sn＝t·3n－1－1＝t·3n－1， 所以t＋(－1)＝0，解得t＝3.故选B． 又Sn＝， ∴＝＝q6＋q3＋1＝7.∴q3＝2或－3(舍去)． 又＝＝＝15. 则两式相除得1＋q3＋q6＝7， 3．注意等比数列前n项和公式的变形．当q≠1时，Sn＝＝－·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1)． 又∵a9a10＝－8，∴a2q7·a2q8＝－8，∴aq15＝－8， 2．(角度2)(2025·山西三晋名校联考、广东部分学校联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝3S3，则＝(　　) [解析]　解法一：因为数列{an}为等比数列，由S6＝3S3得公比q≠－1，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，设S3＝m，则S6＝3m，则S6－S3＝2m，故＝＝2，所以S9－S6＝4m，得到S9＝7m，所以＝7.故选C． 所以＝7.故选C． 则＝2， ＝－＝2n＋2－－4. 1．定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． 2．等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． 4．前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k－k·qn其中k＝(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列． 【变式训练】 (2025·四川泸州开学考试)已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝(n∈N*)． (1)求证：数列为等比数列； (2)若Sn＝＋＋…＋，求Sn. 因为an＋1＝(n∈N*)， 所以＝＝＋， 所以－1＝＋－1＝， 又－1＝－1＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知－1＝×n－1＝2n， 得＝2×n＋1， 所以Sn＝2＋n ＝2×＋n＝1－＋n. [解析]　由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402，故选C． [解析]　由题意可得，此人6天中每天走的路程是公比为的等比数列，设这个数列为{an}，前n项和为Sn，则S6＝＝a1＝378，解得a1＝192，所以a3＝192×＝48，即该人第三天走的路程为48里．故选C． 【变式训练】 1．(2024·北京阶段练习)集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这种操作一直继续下去，直至无穷．由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前n次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则n的最小值为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 [解析]　第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度和为×，第三次操作去掉的线段长度和为××，…，第n次操作去掉的线段长度和为n－1·，由此得＋×＋…＋n－1×＝×＝1－n，所以1－n≥，n≤，nlg ≤－lg 30，n≥＝＝≈8.4，所以n的最小值是9.故选A． [答案]　 [解析]　记从下部算起第n节的容量为an，由题意可知：数列{an}为等差数列，设其公差为d， 则解得 ∴a5＝a1＋4d＝，即从下部算起第5节容量是升． $$