专题10.1 相交线（高效培优讲义，4知识&7题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题10.1 相交线 教学目标 1.理解相交线、邻补角、对顶角的概念，能准确识别图形中的对顶角与邻补角。 2.掌握对顶角相等的性质，能进行简单计算与说理。 3.理解垂线、垂线段、点到直线的距离的概念，会用工具画垂线。 4.掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短” 两个基本事实。 教学重难点 教学重点 1. 1.邻补角、对顶角的概念及对顶角相等的性质与应用。 2. 2.垂线的概念、画法及 “垂线段最短” 的性质。 教学难点 1. 1.对顶角性质的推导过程与几何说理的规范表达。 2. 2.邻补角与对顶角的概念辨析（易混淆）。 3. 3.“点到直线的距离” 的概念理解（区分垂线段与距离）。 知识点01 对顶角 1. 定义：两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角. 特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 .  内容 示图 ∠ 1 和∠ 2 互为对顶角 . 2. 性质：对顶角相等 . 特别提醒： (1)两个角互为对顶角，它们一定相等；(2)相等的两个角不一定是对顶角 . 【即学即练】（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 垂直与垂线 1. 定义：在两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 . 特别解读： 垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 . 2. 表示方法：如 果 直 线 AB 与 CD 互 相 垂 直，可 以 记 作“AB ⊥ CD”，读作“AB 垂直 CD”. 3. 推理格式 如图 10.1-2，因为∠ AOC=90°(已知)，所以 AB ⊥ CD(垂直的定义) .反过来：因为 AB ⊥ CD(已知)， 所以∠ AOC=90°(垂直的定义) . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图直线和相交于O点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 知识点03 垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法：用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下： 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上 . (1)用折纸法画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一折 折叠纸张，使折痕经过已知点，且使已知直线被折痕分成的两部分重合 过点 P 作直线 l 的垂线： 二画 用直尺沿着折痕画出直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2) 用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合  过点 P 作直线 l 的垂线： 点 P 在直线 l 外 点 P 在直线 l 上 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 2. 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 . 特别提醒： 基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外 . 【即学即练】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）按要求画图： (1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使； (2)如图2，P是的边上的一点． ①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H 知识点04 垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1) 定义： 从直线 l 外一点 P 向直线 l 作垂线，垂足记为点 O，则线段 OP 叫作点 P 到直线 l 的垂线段 . (2) 性质： 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 . 2. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 . (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 . (2) 点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离  点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度  直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短  垂线段最短 【即学即练1】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【即学即练2】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，在直角三角形中，于点，则点到的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 题型01 对顶角性质应用 【例1】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，直线，相交，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，直线与相交于点O，射线是的平分线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，直线和相交于点O，平分．若，求的度数． 题型02 垂直的应用 【例2】如图，点在直线上，过点向直线上方作射线，，平分，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式2-1】如图，与的度数之比为，则_____． 【变式2-2】如图，直线相交于点，垂足为，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式2-3】如图，直线与相交于点，射线在内部，且，． (1)求的度数； (2)射线在内部，若，求的度数． 【变式2-4】如图，直线，相交于点O，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型03 判断两直线的位置关系 【例3】如图，直线与相交于点，． (1)若，判断与的位置关系，并证明； (2)若，求的度数． 【变式3-1】如图，直线与相交于点O，平分． (1)如果，求的度数； (2)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【变式3-2】如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 【变式3-3】如图，直线，相交于点O，平分，． (1)的对顶角是____________，的邻补角是____________； (2)若，求的度数； (3)猜想与之间的位置关系，并说明理由． 题型04 点到直线的距离的计算 【例4】如图，经过点画的垂线段．请分别量出点到的距离．（结果精确到） 【变式4-1】如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【变式4-2】已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 题型05 最短路径问题 【例5】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【变式5-1】如图，是河岸外一点．现要用最短的水管从河岸将水引到处，请画出河岸上的开口位置． 【变式5-2】如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线．，，中哪一条线段的长度可以算作跳远的成绩？ 【变式5-3】如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段_________的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 【变式5-4】图形可以形象直观显示数量关系．根据图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式： ． (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ． (3)如图4，是个边长分别为、、的直角三角形和个边长为的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系推导出、、的数量关系式． (4)如图5，直角中，，，，点是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 题型06 对顶角的实际应用 【例6】中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）．如图，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式6-1】王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 题型07 规律探究——寻找对顶角 【例7】观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【变式7-1】观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【变式7-2】观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在直角中，，点从点出发沿方向运动，若，，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）如图，直线，相交于点，，，，则 的度数为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，．有下列结论：①点到直线的距离等于4；②点到直线的距离等于3；③点到的距离等于5．其中，正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·安徽池州·期末）如图，O为直线AB上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②与互补；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是________． 9．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则______度． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 11．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则_______． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）直线，相交于点，，，射线平分． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若，则________（用含的式子表示）． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知点在直线上，，平分． （1）如图1，若，则的度数是__________． （2）如图2，若，则的度数是__________（用含的代数式表示）． 三、解答题 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数． 15．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线与相交于点O，是的平分线，已知． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 16．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）如图，于点O，射线的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，若，用含的代数式表示的度数． 17．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如图1，直线A和C交于点O，射线满足．    (1)若，求的度数； (2)如图2，射线，若，求的度数． 18．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线，相交于点O，过点O作．      (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 19．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线相交于点，平分． (1)写出图中与相等的角； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 21．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 22．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 相交线 教学目标 1.理解相交线、邻补角、对顶角的概念，能准确识别图形中的对顶角与邻补角。 2.掌握对顶角相等的性质，能进行简单计算与说理。 3.理解垂线、垂线段、点到直线的距离的概念，会用工具画垂线。 4.掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短” 两个基本事实。 教学重难点 教学重点 1. 1.邻补角、对顶角的概念及对顶角相等的性质与应用。 2. 2.垂线的概念、画法及 “垂线段最短” 的性质。 教学难点 1. 1.对顶角性质的推导过程与几何说理的规范表达。 2. 2.邻补角与对顶角的概念辨析（易混淆）。 3. 3.“点到直线的距离” 的概念理解（区分垂线段与距离）。 知识点01 对顶角 1. 定义：两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角. 特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 .  内容 示图 ∠ 1 和∠ 2 互为对顶角 . 2. 性质：对顶角相等 . 特别提醒： (1)两个角互为对顶角，它们一定相等；(2)相等的两个角不一定是对顶角 . 【即学即练】（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． 与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； B．与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； C．与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项符合题意； D．与无公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意． 知识点02 垂直与垂线 1. 定义：在两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 . 特别解读： 垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 . 2. 表示方法：如 果 直 线 AB 与 CD 互 相 垂 直，可 以 记 作“AB ⊥ CD”，读作“AB 垂直 CD”. 3. 推理格式 如图 10.1-2，因为∠ AOC=90°(已知)，所以 AB ⊥ CD(垂直的定义) .反过来：因为 AB ⊥ CD(已知)， 所以∠ AOC=90°(垂直的定义) . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图直线和相交于O点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 知识点03 垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法：用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下： 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上 . (1)用折纸法画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一折 折叠纸张，使折痕经过已知点，且使已知直线被折痕分成的两部分重合 过点 P 作直线 l 的垂线： 二画 用直尺沿着折痕画出直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2) 用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合  过点 P 作直线 l 的垂线： 点 P 在直线 l 外 点 P 在直线 l 上 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 2. 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 . 特别提醒： 基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外 . 【即学即练】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）按要求画图： (1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使； (2)如图2，P是的边上的一点． ①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H 【详解】（1）解：，即为所求： （2）和如图2所求： 知识点04 垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1) 定义： 从直线 l 外一点 P 向直线 l 作垂线，垂足记为点 O，则线段 OP 叫作点 P 到直线 l 的垂线段 . (2) 性质： 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 . 2. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 . (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 . (2) 点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离  点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度  直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短  垂线段最短 【即学即练1】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：①测量跳远成绩，是测量落地点到起跳线的垂直距离，依据是垂线段最短，符合题意； ②弯曲河道改直，能够缩短路程，依据是两点之间，线段最短，不符合题意； ③引水渠沿修建，，是为了使水渠长度最短，依据是垂线段最短，符合题意； ④两钉子固定木条，依据是两点确定一条直线，不符合题意； 综上，能用“垂线段最短”来解释的现象是①③． 【即学即练2】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，在直角三角形中，于点，则点到的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【详解】解：∵在直角三角形中，于点， ∴点到的距离是线段的长． 题型01 对顶角性质应用 【例1】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图，直线，相交，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式1-2】如图，直线与相交于点O，射线是的平分线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， ∵射线是的平分线 ∴ ∴． 【变式1-3】如图，直线和相交于点O，平分．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：因为直线和相交于点O， 所以． 设，则， 所以， 解得， 所以，． 因为平分， 所以， 所以． 题型02 垂直的应用 【例2】如图，点在直线上，过点向直线上方作射线，，平分，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【变式2-1】如图，与的度数之比为，则_____． 【答案】18 【详解】解：∵， ∴，即， ∵与的度数之比为， ∴ ． 【变式2-2】如图，直线相交于点，垂足为，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：⊥， ． 由平角的定义，得， ． （2）解：和互为对顶角， ． 平分 ． 由平角的定义，得， ． 【变式2-3】如图，直线与相交于点，射线在内部，且，． (1)求的度数； (2)射线在内部，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2-4】如图，直线，相交于点O，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， 平分， ， ， ； （2）解：，设，则， ∵， ∴， ， 解得：， ∴， ∴， 平分， ∴． 题型03 判断两直线的位置关系 【例3】如图，直线与相交于点，． (1)若，判断与的位置关系，并证明； (2)若，求的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 即， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 【变式3-1】如图，直线与相交于点O，平分． (1)如果，求的度数； (2)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【详解】（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：垂直，理由如下， 平分，平分， ， 又， ， ， ． 【变式3-2】如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． （2）解：．理由如下： 因为与互补， 所以． 因为， 所以． 所以， 即． 所以． 【变式3-3】如图，直线，相交于点O，平分，． (1)的对顶角是____________，的邻补角是____________； (2)若，求的度数； (3)猜想与之间的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是、； （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； （3）解：， 理由：设 ∵ ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型04 点到直线的距离的计算 【例4】如图，经过点画的垂线段．请分别量出点到的距离．（结果精确到） 【详解】解：如下图，过点A作交于点E，则就是过点A画线段的垂线段，量出点A到线段的距离约为； 过点D作交于点F，则就是过点D画线段的垂线段，量出点D到线段的距离约为； 【变式4-1】如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【答案】(1)，垂线段最短 (2) 【详解】（1）解：∵ ∴、、中最短的是；判定理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短； （2）解：∵，，，，， ∴，即， ∴， ∴点A到线段的距离为． 【变式4-2】已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【答案】(1)100，50 (2)60 (3)的度数为，点到直线的距离为2 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ， 故答案为：100，50． （2）解：， ， ， 故答案为：60． （3）解：，平分， ， ，， 点到直线的距离等于的长，即为2， ∴的度数为，点到直线的距离为2． 题型05 最短路径问题 【例5】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， ∴线段的最小值是. 故选：C． 【变式5-1】如图，是河岸外一点．现要用最短的水管从河岸将水引到处，请画出河岸上的开口位置． 【详解】解：如图，过点作于点，从河岸上的点处开口，才能使所用的水管最短． 【变式5-2】如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线．，，中哪一条线段的长度可以算作跳远的成绩？ 【答案】的长度可以算作跳远的成绩． 【详解】解：：起点不在起跳线上，不符合要求； ：不垂直于起跳线，不符合要求； ：起点在起跳线上且垂直于起跳线，符合要求． 答：的长度可以算作跳远的成绩． 【变式5-3】如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段_________的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意，的长，即为点到线段的距离； （3）解：如图，点即为所求． 【变式5-4】图形可以形象直观显示数量关系．根据图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式： ． (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ． (3)如图4，是个边长分别为、、的直角三角形和个边长为的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系推导出、、的数量关系式． (4)如图5，直角中，，，，点是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：由图可知，恒等式为； （2）解：， ∴需要张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片， ∴，，， ∴； （3）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， ∴， ∴； （4）解：由（3）可知，直角中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时， ∴的最小值为． 题型06 对顶角的实际应用 【例6】中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）．如图，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， 和是邻补角， ， ． 【变式6-1】王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与相交于点， ∴， 又， ∴， 即， 又， ∴， ∴． 【变式6-2】古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 【答案】方案1利用了邻补角的性质；方案2利用了对顶角的性质 【详解】解：方案1：∵与为邻补角， ∴根据邻补角的性质可得：， ∴量出的度数，便知的度数； 方案2：∵与为对顶角， ∴根据对顶角相等可得：， ∴量出的度数，便知的度数． 题型07 规律探究——寻找对顶角 【例7】观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【答案】【规律探究】；；；【归纳总结】；【规律应用】 【详解】解：规律探究：作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 故答案为：；；； 归纳总结：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角， 故答案为：； 规律应用：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 【变式7-1】观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对 【详解】解：（1）对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为： 2；6；12； （2）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 【变式7-2】观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在直角中，，点从点出发沿方向运动，若，，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得直角面积为， 设点到的距离为，则， 解得：， 由垂线段最短可知，长度的最小值为， 故选：． 2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵与互为对顶角， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）如图，直线，相交于点，，，，则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，．有下列结论：①点到直线的距离等于4；②点到直线的距离等于3；③点到的距离等于5．其中，正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①点到直线的距离等于，故①正确， ②点到直线的距离等于，故②错误， ③点到的距离等于，故③错误， 综上：①正确， 故选：B 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】D 【详解】， ，即， ， ， 为直线， ， ，即与互补，故A正确，不符合题意； ， 与互余，故B正确，不符合题意； ，， ， 则与互补，故C正确，不符合题意； ， 与互补， 又与不一定相等， 与互补说法错误，故D错误，符合题意． 故选：D． 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两条直线相交于一点，共产生对对顶角， 条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， ∴对顶角总对数． 7．（25-26七年级上·安徽池州·期末）如图，O为直线AB上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②与互补；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①平分，平分，， ，， ， 结论①成立； ②平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的度数未知, 和不一定互补， 结论②不成立； ③为直线AB上一点， ， ， ， 结论③成立； ④平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 结论④成立； 故选：C． 二、填空题 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是________． 【答案】垂线段最短 【详解】解：机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 9．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则______度． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 【答案】，， 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， 故答案为：，， ． 11．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则_______． 【答案】20或40 【详解】解：当这两个角是对顶角时，根据对顶角相等，得： ， 解得：， 当这两个角是邻补角时，根据邻补角的和为，得： ， 解得：， 因此的值为或． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）直线，相交于点，，，射线平分． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若，则________（用含的式子表示）． 【答案】 /度 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为，即 所以． 因为平分，所以， 所以． （2）同理可得：． 因为平分， 所以， 所以． 故答案为（1），（2）． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知点在直线上，，平分． （1）如图1，若，则的度数是__________． （2）如图2，若，则的度数是__________（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵直线、相交于点O，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 15．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线与相交于点O，是的平分线，已知． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∴ （2）由（1）得，又 ∴ 又∵ ∴ 16．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）如图，于点O，射线的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，若，用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2） ， ， 又∵射线平分， ， ． 17．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如图1，直线A和C交于点O，射线满足．    (1)若，求的度数； (2)如图2，射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线，相交于点O，过点O作．      (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， . 19．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线相交于点，平分． (1)写出图中与相等的角； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； ∵平分， ∴， ∴， ∴与相等的角有； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 21．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 22．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4)若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角 【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角； 故答案为：2，4； （2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角； 故答案为：6，12； （3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角； 故答案为：12，24； （4）解：2条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 3条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 4条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $