专题7.2一元一次不等式（高效培优讲义，3知识&7题型14类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题7.2一元一次不等式 教学目标 1.精准掌握一元一次不等式的定义，紧扣“只含一个未知数、未知数次数为1、两边是整式”三大特征，能快速判断、辨析一元一次不等式。 2.类比一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次不等式的完整解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，规范书写解题过程。 3.攻克不等式变形易错点，尤其是系数化为1时，乘除负数需改变不等号方向，杜绝漏变号、错变号问题。 4.能准确在数轴上表示一元一次不等式的解集，清晰区分实心点（含等号）与空心圈（不含等号）的用法。 5.学会从实际生活情境中提取不等关系，设未知数、列一元一次不等式，求解并结合实际意义检验结果，解决简单的最值、范围类实际问题。 教学重难点 教学重点 1.核心定义：一元一次不等式的判定标准，区分一元一次不等式与其他不等式。 2.核心技能：一元一次不等式的规范解法，尤其是步骤完整性和不等号变号规则。 3.核心操作：在数轴上准确表示不等式的解集。 4核心应用：列一元一次不等式解决简单实际问题，建立数学模型。 教学难点 1.变形易错难点：不等式两边乘除负数时，不等号方向改变的理解与落实，避免习惯性不变号。 2.运算规范难点：去分母时常数项漏乘、去括号负号连锁变号错误、移项符号出错。 3.数形结合难点：数轴表示解集时，端点虚实判断和方向把控。 4.建模应用难点：从文字情境中提炼不等关系，结合实际意义筛选合理解集。 知识点01 一元一次不等式 1. 定义：含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式 . 一元一次不等式的“三要素”： (1)不等号的两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的次数是 1. 2. 一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点 一元一次方程  一元一次不等式 相同点 未知数个数  1 1 未知数次数  1 1 式子特点  等号两边均为整式 不等号两边均为整式 不同点  表示关系  相等  不等 【即学即练】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 一元一次不等式的解法 1. 解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式 . 2.解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 x<a(x ≤ a)或 x>a( x ≥ a)的形式 . 解一元一次不等式的步骤如下： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1. 3. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 一元一次方程  一元一次不等式 解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1.(解不等式时，去分母、系数化为 1 时，若两边同时乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变) 依据  等式的基本性质  不等式的基本性质 解的个数  只有一个解  有无数个解 解(集)的形式  x=a  x<a(x ≤ a) 或 x>a(x ≥ a) 【即学即练】（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 知识点03 一元一次不等式的实际应用 列不等式解决实际问题的步骤 (1) 审： 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2) 设： 设出适当的未知数； (3) 列： 根据题中的不等关系列出不等式； (4) 解： 解不等式，求出其解集； (5) 验： 检验所求出的不等式的解集是否符合题意； (6)答： 写出答案 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）小明所在班级为了丰富大课间活动，准备从甲、乙两家商店一次性购买标价为15元每根的跳绳．在甲商店一次性购买金额不超过750元时不予优惠，超过的部分按标价的6折售卖；乙商店按标价总额的8折售卖． (1)若该班级需40根跳绳，在甲商店购买所需金额为________元，在乙商店购买所需金额为________元． (2)假如你是该班级的采购员，你认为选择哪家商店支付的费用较少？ 题型01 一元一次不等式的定义 【例1-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为________． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024七年级下·安徽·专题练习）当_____时，不等式是一元一次不等式． 【变式1-3】（23-24七年级下·安徽蚌埠·月考）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是________． 题型02 在数轴上表示一元一次不等式的解集 【例2】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）将不等式的解集表示在数轴上，正确的是  （    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型03 根据一元一次不等式的特殊解确定字母的取值范围 【例3-1】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若是不等式的一个解，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则满足条件的正整数m的值为__________． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式有三个非负整数解，则m的取值范围是______． 题型04 解一元一次不等式 【例4-1】解简单的一元一次不等式 （24-25七年级下·安徽合肥·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【例4-2】解分母是小数的一元一次不等式 解不等式： 【例4-3】求一元一次不等式的特殊解 （24-25七年级下·安徽淮北·期中）解不等式：，并写出所有符合条件的非负整数解． 【例4-4】解含绝对值的一元一次不等式 解不等式： 【例4-5】解含字母的一元一次不等式 解关于的不等式：（为常数且） 【变式4-1】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式4-2】求不等式的正整数解． 【变式4-3】（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【变式4-4】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．     第一步 移项，得．     第二步 合并同类项，得．     第三步 系数化成1，得．     第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)去分母的依据是不等式基本性质________；（填“1”或“2”或“3”） (2)在解答过程中，共出现________处错误，其中最后一处错误在第_______步，错误的原因是________； (3)请写出解不等式的正确解答过程． 【变式4-5】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为___________，的解集为___________． (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． (3)不论x取何值，都有成立，请直接写出t的取值范围． 题型05 利用一元一次不等式的解集求字母的取值（范围） 【例5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x的一元一次不等式的解集为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若不等式的解集为，则m的值是________． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元一次不等式的解集是，则的值是_____． 题型06 一元一次不等式与其它知识综合 【例6-1】一元一次不等式与代数式综合 （24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知代数式 的值大于代数式 的值，试求x的最大整数值． 【例6-2】一元一次不等式与方程综合 若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【例6-3】一元一次不等式与方程组综合 （23-24七年级下·安徽滁州·月考）若关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）关于的方程的解为非负数，则的取值范围． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）关于的方程的解为非负数，求的取值范围． 【变式6-3】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x、y的二元一次方程组． （1）当时，则方程组的解为_________； （2）当时，则a的范围是_________． 【变式6-4】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的一次方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若在（1）的条件下，m是最大整数且满足不等式，求该不等式的解集． 题型07 一元一次不等式的实际应用 【例7-1】列一元一次不等式 （24-25七年级下·安徽淮北·月考）篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【例7-2】用一元一次不等式解决实际问题 （24-25七年级下·安徽淮南·期末）某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄稼，农场主张致富决定购买8台收割机．现有久保田和春雨两种品牌的收割机，其中久保田牌收割机每天收割24亩，春雨牌收割机每天收割18亩．销售商又宣传说，购买一台久保田收割机比购买一台春雨收割机多8万元，购买2台久保田收割机比购买3台春雨收割机多4万元． (1)求两种收割机的价格； (2)如果张致富购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？ 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式_________________________． 【变式7-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）在日常生活中，“老人”是一个模糊的概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表： 人的年龄岁 该人的老人系数 按照这样的规定，当某人的“老人系数”不小于时，该人的年龄至少为______岁； 【变式7-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要20分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． （1）的值为_____． （2）若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放_____个检票口． 【变式7-4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）某公司生产两种机械设备，已知每台种设备的成本是3万元，每台种设备的成本是5万元，两种设备每台的售价分别是5万元和8万元．现公司决定生产两种设备共30台，且全部销售完后总获利不低于65万元． (1)求最多可生产种设备多少台？ (2)由于受到资金等因素影响，公司生产种设备的产量不低于23台，哪种生产方案获利最多？ 【变式7-5】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）某家具厂接到40天内完成加工1200套餐桌椅的任务，已知一张餐桌和四把椅子配成一套，现有80名工人，每名工人每天可加工半张餐桌或三把椅子，现将工人分为甲、乙两组，甲组加工餐桌，乙组加工椅子，并且要求每天加工的餐桌椅正好配套． (1)若按上述方式生产，问甲组、乙组的工人分别是多少？ (2)为了按时完成任务，家具厂决定从其他部门调来新工人，且新工人每人每天只能加工两把椅子． ①若乙组原来有工人m名，又增加工人n名，请用含n的代数式表示m； ②若在规定的时间内完成任务，求n的最小值． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽六安·月考）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·安徽·专题练习）若关于x的一元一次不等式的解集为，则a的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，且，，设，则的最大值与最小值的差为（    ） A．2.5 B． C． D．1 4．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知关于的不等式，可化为，则的最大整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）“红灯停，绿灯行，斑马线上安全行”，行人也是交通参与者，过马路时必须要遵守交通规则．若一条人行横道全长24米，小华开始以米/秒的速度匀速通过该人行横道，当他走完全程的时，发现绿灯还剩下8秒．小华要在红灯亮起前通过该人行横道，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．2倍 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列结论正确的是（    ） A．若 ，则的解集为 B．若 ，则的解集为 C．若 ，则的解集为 D．若 ，则的解集为 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数，，，满足，，，则下列判断错误的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知实数x，y满足，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是________． 10．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）不等式的最小整数解是___________． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）合肥动物园的门票是每人元，一次购门票满张，每张门票可少元．若少于人时，一个团队至少要有______人进公园，买张门票反而合算． 12．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______． 13．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知，若，则的取值范围是_______． 14．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知关于、的方程组 ①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③若，则；④无论取何值，、的值都不可能互为相反数． 以上结论正确的是________．（只填序号） 三、解答题 15．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）解不等式，并在数轴上表示解集：． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下面解不等式的过程正确吗？若不正确请写出正确过程． 解：不等式的两边都乘2，得． 移项、合并同类项，得． 两边都除以，得． 17．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的正整数解． (2)当a取何值时，该不等式有解？并求出其解集． 18．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）对于实数定义一种新运算． 规定：（其中为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：，已知． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 19．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．根据这个规则，解决下列问题． (1)___________． (2)解不等式：． (3)求不等式的最大整数解． 20．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）春节期间，某超市购进3件甲种商品比购进2件乙种商品多用120元；购进1件甲种商品和2件乙种商品共用200元． (1)分别求出甲、乙两种商品的进货单价； (2)若该超市购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5件，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过35件，则商场最多购进乙商品多少件？ (3)在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是100元／件和95元／件，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过720元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 21．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 22．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我省宣城市是我国唯一的文房四宝之城，宣纸制作技艺被列人联合国非物质文化遗产名录．春节期间，为了举办书画大赛，某文化馆计划购买，两种型号的“文房四宝”，根据商店的标价得出下表： 数量（套） 总价（元） 型 型 1 2 330 2 3 560 (1)求每套型，型“文房四宝”的标价； (2)文化馆计划购买，两种型号的“文房四宝”共100套，因为购买数量较多，商店同意按型“文房四宝”九折，型“文房四宝”八折出售． （i）若购买型“文房四宝”的费用不超过型“文房四宝”费用的2倍，则该馆最多能买多少套型“文房四宝”？ （ii）若，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为69元和47元，且商店通过此次销售获利不低于3900元，则该文化馆至少要买多少套型“文房四宝”？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2一元一次不等式 教学目标 1.精准掌握一元一次不等式的定义，紧扣“只含一个未知数、未知数次数为1、两边是整式”三大特征，能快速判断、辨析一元一次不等式。 2.类比一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次不等式的完整解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，规范书写解题过程。 3.攻克不等式变形易错点，尤其是系数化为1时，乘除负数需改变不等号方向，杜绝漏变号、错变号问题。 4.能准确在数轴上表示一元一次不等式的解集，清晰区分实心点（含等号）与空心圈（不含等号）的用法。 5.学会从实际生活情境中提取不等关系，设未知数、列一元一次不等式，求解并结合实际意义检验结果，解决简单的最值、范围类实际问题。 教学重难点 教学重点 1.核心定义：一元一次不等式的判定标准，区分一元一次不等式与其他不等式。 2.核心技能：一元一次不等式的规范解法，尤其是步骤完整性和不等号变号规则。 3.核心操作：在数轴上准确表示不等式的解集。 4核心应用：列一元一次不等式解决简单实际问题，建立数学模型。 教学难点 1.变形易错难点：不等式两边乘除负数时，不等号方向改变的理解与落实，避免习惯性不变号。 2.运算规范难点：去分母时常数项漏乘、去括号负号连锁变号错误、移项符号出错。 3.数形结合难点：数轴表示解集时，端点虚实判断和方向把控。 4.建模应用难点：从文字情境中提炼不等关系，结合实际意义筛选合理解集。 知识点01 一元一次不等式 1. 定义：含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式 . 一元一次不等式的“三要素”： (1)不等号的两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的次数是 1. 2. 一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点 一元一次方程  一元一次不等式 相同点 未知数个数  1 1 未知数次数  1 1 式子特点  等号两边均为整式 不等号两边均为整式 不同点  表示关系  相等  不等 【即学即练】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、中，不是整式，则此项不是一元一次不等式，不符合题意； B、中，含有两个未知数，则此项不是一元一次不等式，不符合题意； C、中，的次数是2，则此项不是一元一次不等式，不符合题意； D、是一元一次不等式，符合题意； 故选：D． 知识点02 一元一次不等式的解法 1. 解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式 . 2.解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 x<a(x ≤ a)或 x>a( x ≥ a)的形式 . 解一元一次不等式的步骤如下： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1. 3. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 一元一次方程  一元一次不等式 解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1.(解不等式时，去分母、系数化为 1 时，若两边同时乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变) 依据  等式的基本性质  不等式的基本性质 解的个数  只有一个解  有无数个解 解(集)的形式  x=a  x<a(x ≤ a) 或 x>a(x ≥ a) 【即学即练】（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析. (2)，数轴见解析. 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴如下： （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴如下： 知识点03 一元一次不等式的实际应用 列不等式解决实际问题的步骤 (1) 审： 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2) 设： 设出适当的未知数； (3) 列： 根据题中的不等关系列出不等式； (4) 解： 解不等式，求出其解集； (5) 验： 检验所求出的不等式的解集是否符合题意； (6)答： 写出答案 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）小明所在班级为了丰富大课间活动，准备从甲、乙两家商店一次性购买标价为15元每根的跳绳．在甲商店一次性购买金额不超过750元时不予优惠，超过的部分按标价的6折售卖；乙商店按标价总额的8折售卖． (1)若该班级需40根跳绳，在甲商店购买所需金额为________元，在乙商店购买所需金额为________元． (2)假如你是该班级的采购员，你认为选择哪家商店支付的费用较少？ 【答案】(1)，； (2)一次性购买超过根时，甲商店支付的费用较少； 一次性购买根时，两家商店支付的费用一样； 一次性购买低于根时，乙商店支付的费用较少． 【详解】（1）解：（元） 由题意可知， 在甲商店购买所需金额为元，在乙商店购买所需金额为元． 故答案为：，； （2）由题意可知，当一次性购买不超过根时，甲商店无优惠，乙商店有优惠，此时乙商店支付的费用较少； 当一次性购买超过根时，设一次性购买x（）根， 在甲商店购买所需金额为元，在乙商店购买所需金额为元． 当时，解得，即一次性购买超过根时，甲商店支付的费用较少； 当时，解得，即一次性购买根时，两家商店支付的费用一样； 当时，解得，即一次性购买超过50低于根时，乙商店支付的费用较少； 综上所述，一次性购买超过根时，甲商店支付的费用较少； 一次性购买根时，两商店支付的费用一样； 一次性购买低于根时，乙商店支付的费用较少． 题型01 一元一次不等式的定义 【例1-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、 只是一个代数式，不含不等号，不符合题意； B、 是方程，不是不等式，不符合题意； C、 含有两个未知数，不符合“一元”条件，不符合题意； D、 含有一个未知数，次数为1，且用“”连接，符合定义，符合题意； 故选：D． 【例1-2】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴原不等式为， 解得， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、不含未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； D、含有2次项，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选A． 【变式1-2】（2024七年级下·安徽·专题练习）当_____时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级下·安徽蚌埠·月考）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴， ∴原不等式化为：， 解得：． 故答案为：． 题型02 在数轴上表示一元一次不等式的解集 【例2】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： ， 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）将不等式的解集表示在数轴上，正确的是  （    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则把表示在数轴上，如图所示：   ， 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解； 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： ， 故选：A． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 题型03 根据一元一次不等式的特殊解确定字母的取值范围 【例3-1】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若是不等式的一个解，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式得， ∵是不等式的一个解， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项的数字符合题意， 故选：B． 【例3-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则满足条件的正整数m的值为__________． 【答案】4 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， ∴满足条件的正整数m的值为4． 故答案为：4． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解不等式，得， ∵该不等式的正整数解为1、2、3， ∴． 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式有三个非负整数解，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有三个非负整数解， ∴， 即， 解得， 故答案为： 题型04 解一元一次不等式 【例4-1】解简单的一元一次不等式 （24-25七年级下·安徽合肥·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的解为：， 在数轴上表示如图： 【例4-2】解分母是小数的一元一次不等式 解不等式： 【答案】 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【例4-3】求一元一次不等式的特殊解 （24-25七年级下·安徽淮北·期中）解不等式：，并写出所有符合条件的非负整数解． 【答案】，非负整数解为：0，1，2． 【详解】解：去分母得：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为得，． ∴不等式的非负整数解为： 【例4-4】解含绝对值的一元一次不等式 解不等式： 【答案】或 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 【例4-5】解含字母的一元一次不等式 解关于的不等式：（为常数且） 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 当，即时，不等式两边除以，得； 当，即时，不等式无解； 当，即且时，不等式两边除以，得； 综上，当时，；当时，不等式无解；当且时，． 【变式4-1】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【变式4-2】求不等式的正整数解． 【详解】解： ， ∴正整数解为，． 【变式4-3】（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 【变式4-4】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．     第一步 移项，得．     第二步 合并同类项，得．     第三步 系数化成1，得．     第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)去分母的依据是不等式基本性质________；（填“1”或“2”或“3”） (2)在解答过程中，共出现________处错误，其中最后一处错误在第_______步，错误的原因是________； (3)请写出解不等式的正确解答过程． 【详解】（1）去分母的依据是不等式基本性质2， 故答案为：． （2）在解答过程中，共出现三处错误，其中最后一处错误在第四步，错误的原因是不等式的两边同除以时，不等号方向没有改变； 故答案为：三，四，不等式的两边同除以时，不等号方向没有改变． （3）解： 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 【变式4-5】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为___________，的解集为___________． (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． (3)不论x取何值，都有成立，请直接写出t的取值范围． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 由可得或， ∴或． 故答案为：；或． （2）解：二元一次方程组 可得：， ∴ ， 是正整数 ． （3）解：∵表示数轴上表示x的点到表示1与表示的点的距离之和， ∴当时，有最小值为， 当或时， ∴不论x取何值，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型05 利用一元一次不等式的解集求字母的取值（范围） 【例5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x的一元一次不等式的解集为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解不等式得 ， 又因为的解集为， 所以， 解得． 故选：C． 【例5-2】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，解答的关键是熟知不等式基本性质，尤其是不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此得出关于的不等，求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若不等式的解集为，则m的值是________． 【答案】1 【详解】解：， ， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元一次不等式的解集是，则的值是_____． 【答案】 【详解】解：， 移项得， 当时，系数化为1得，舍去， 当时，系数化为1得， ∵不等式的解集是， ∴，即， 故答案为：． 题型06 一元一次不等式与其它知识综合 【例6-1】一元一次不等式与代数式综合 （24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知代数式 的值大于代数式 的值，试求x的最大整数值． 【答案】 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴x的最大整数值为． 【例6-2】一元一次不等式与方程综合 若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的方程的解为负数， ， ， 所有符合条件的非正整数为：，，，，， 所有符合条件的非正整数的和为：． 【例6-3】一元一次不等式与方程组综合 （23-24七年级下·安徽滁州·月考）若关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：， 得， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以m的取值范围为． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）关于的方程的解为非负数，则的取值范围． 【答案】 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 方程的解为非负数， ， 解得：． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）关于的方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：， 解得， 关于的方程的解为非负数， ， 解得， 所以的取值范围是． 【变式6-3】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x、y的二元一次方程组． （1）当时，则方程组的解为_________； （2）当时，则a的范围是_________． 【答案】 【详解】解：（1）当时，原方程组变为， 化简第二个方程得， 将与相加，得， 解得， 将代入，得， 解得． 故答案为：； （2）， ①得， ②③得，解得， 将代入①，得， 解得， 即，则， ∵， ∴， 两边乘4得， 移项得， 解得． 故答案为：． 【变式6-4】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的一次方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若在（1）的条件下，m是最大整数且满足不等式，求该不等式的解集． 【详解】（1）解：解方程，得． 依题意得， 解得． （2）解：由（1）知， 的最大整数为1． 把代入不等式，得． 解得， 不等式的解集为． 题型07 一元一次不等式的实际应用 【例7-1】列一元一次不等式 （24-25七年级下·安徽淮北·月考）篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设小明进了x个三分球，则进了个两分球， 由题意得， 故选：D． 【例7-2】用一元一次不等式解决实际问题 （24-25七年级下·安徽淮南·期末）某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄稼，农场主张致富决定购买8台收割机．现有久保田和春雨两种品牌的收割机，其中久保田牌收割机每天收割24亩，春雨牌收割机每天收割18亩．销售商又宣传说，购买一台久保田收割机比购买一台春雨收割机多8万元，购买2台久保田收割机比购买3台春雨收割机多4万元． (1)求两种收割机的价格； (2)如果张致富购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？ 【详解】（1）解：设购买久保田收割机的价格为万元/台，购买春雨收割机的价格为万元/台， 依题意得 ， 解得， 答：久保田收割机的价格为每台20万元，春雨收割机的价格为每台12万元． （2）设购买久保田收割机台， 依题意得， 解得．     又且为整数， 故有以下4种购买方案：①购买久保田收割机0台，春雨收割机8台； ②购买久保田收割机1台，春雨收割机7台； ③购买久保田收割机2台，春雨收割机6台； ④购买久保田收割机3台，春雨收割机5台． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式_________________________． 【答案】 【详解】解：设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为 ， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）在日常生活中，“老人”是一个模糊的概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表： 人的年龄岁 该人的老人系数 按照这样的规定，当某人的“老人系数”不小于时，该人的年龄至少为______岁； 【答案】 【详解】解：设此人年龄为x岁， 由此人的“老人系数”不小于时，得， 解得. 故此人至少73岁. 故答案为： 【变式7-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要20分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． （1）的值为_____． （2）若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放_____个检票口． 【详解】解：根据题意，得  ， 得， 解得， 将代入①，得， 解得， 即． 故答案为：20； （2）解：设 5 分钟内完成检票，需要至少开放个检票口， 根据题意，得， 把代入得， ， ， 解得． ∵为正整数， ∴最小为 5 ． 答：至少开放 5 个检票口． 故答案为：5． 【变式7-4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）某公司生产两种机械设备，已知每台种设备的成本是3万元，每台种设备的成本是5万元，两种设备每台的售价分别是5万元和8万元．现公司决定生产两种设备共30台，且全部销售完后总获利不低于65万元． (1)求最多可生产种设备多少台？ (2)由于受到资金等因素影响，公司生产种设备的产量不低于23台，哪种生产方案获利最多？ 【详解】（1）解：设种设备生产台，则种设备生产台， 根据题意，得：， 解得：， 又∵为整数， ∴最多可生产种设备25台； （2）解：由题意得：， ∴， 又∵为整数， ∴的取值有23，24，25， 故该公司有3种生产方案： 方案一：生产23台，生产7台；获利为万元； 方案二：生产24台，生产6台；获利为万元； 方案三：生产25台，生产5台；获利为万元； ∵， ∴司生产设备23台，设备7台获利最多． 【变式7-5】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）某家具厂接到40天内完成加工1200套餐桌椅的任务，已知一张餐桌和四把椅子配成一套，现有80名工人，每名工人每天可加工半张餐桌或三把椅子，现将工人分为甲、乙两组，甲组加工餐桌，乙组加工椅子，并且要求每天加工的餐桌椅正好配套． (1)若按上述方式生产，问甲组、乙组的工人分别是多少？ (2)为了按时完成任务，家具厂决定从其他部门调来新工人，且新工人每人每天只能加工两把椅子． ①若乙组原来有工人m名，又增加工人n名，请用含n的代数式表示m； ②若在规定的时间内完成任务，求n的最小值． 【详解】（1）解：设甲组、乙组的工人分别是x名、y名， 依据题意得，解得， 答：甲组、乙组的工人分别是48名、32名； （2）解：①依据题意得， 所以； ②要在规定的时间内完成任务，需每天至少生产餐桌（张）， 所以，即， 解得， 所以n的最小值是30． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽六安·月考）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先去分母，再移项得，系数化为1得，最后把在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去分母得， 则移项得， ∴， ∴， ∴在数轴上表示如下： ． 故选：C 2．（2025七年级下·安徽·专题练习）若关于x的一元一次不等式的解集为，则a的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，可得出，求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 解得， ∴a的值可以为2， 故选：A． 3．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，且，，设，则的最大值与最小值的差为（    ） A．2.5 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由题意可得，，，求出，再表示出，从而可得，进而得出的最大值为，最小值为，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故选：D． 4．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知关于的不等式，可化为，则的最大整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解集确定参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤． 将原不等式变形后，根据不等式方向变化确定的范围，进而找出最大整数解． 【详解】解：原不等式为，移项得： 当（即）时，两边除以负数需改变不等式方向，得： 此时解集形式与题目一致，故； 当时，原不等式变为，无解； 当时，解集应为，与题目矛盾； 因此，的最大整数为1， 故选：A． 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）“红灯停，绿灯行，斑马线上安全行”，行人也是交通参与者，过马路时必须要遵守交通规则．若一条人行横道全长24米，小华开始以米/秒的速度匀速通过该人行横道，当他走完全程的时，发现绿灯还剩下8秒．小华要在红灯亮起前通过该人行横道，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．2倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小华的速度要提高到原来的x倍，根据小华在8秒后要通过人行道，即8秒内的路程要大于等于米，据此列出不等式求解即可． 【详解】解；设小华的速度要提高到原来的x倍， 由题意得，， 解得：， ∴他的速度至少要提高到原来的倍， 故选：A． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列结论正确的是（    ） A．若 ，则的解集为 B．若 ，则的解集为 C．若 ，则的解集为 D．若 ，则的解集为 【答案】A 【分析】本题考查了根据不等式的性质解不等式，根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴的解集为， 故选：A． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数，，，满足，，，则下列判断错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，方程组的解法，不等式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由，，整理得，，然后通过整式的加减，方程组的解法，不等式解法逐一排除即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 、得：， ∴，原选项正确，不符合题意； 、得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、得，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 8．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知实数x，y满足，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的范围，通过联立方程将x、y用m表示，代入不等式求解m的范围即可． 【详解】解：联立，解得：， ∵， ∴， 解得：； 故选D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解不等式，熟练掌握相关解法是解题的关键．先求出方程的解，根据方程的解是非负数即可得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得，， ∵， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 故答案为： 10．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）不等式的最小整数解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式的整数解． 先求出不等式的解集，再判断即可． 【详解】解： 去括号得 即， 解得：， ∴不等式的最小整数解是， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）合肥动物园的门票是每人元，一次购门票满张，每张门票可少元．若少于人时，一个团队至少要有______人进公园，买张门票反而合算． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，找到按元的单价付款和元单价付款的不等关系是解决本题的关键．先求出购买张票，优惠后需要多少钱，然后再利用时，求满足条件的最小整数值即可． 【详解】解：设人进合肥动物园， 若购满张票则需要：元， 依题意，， 解得：， 人． 则至少要有人去合肥动物园，买张票反而合算． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【分析】本题考查换元法求不等式的解集，将，转化为，根据不等式的解集为，得到的解集为：，进而求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴的解集为：， ∴； 故答案为：． 13．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知，若，则的取值范围是_______． 【答案】． 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练运用消元思想以及等量代换思想进行计算是解题的关键．本题先得出，进一步代入，结合即可得出的取值范围． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知关于、的方程组 ①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③若，则；④无论取何值，、的值都不可能互为相反数． 以上结论正确的是________．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数，求不等式的解集，先求出方程组的解，再根据各选项的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：解，得：， ∴当时，，方程为， 把代入，得到，故①正确； ∵， ∴，故②错误； 若，则：， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故④正确； 故答案为：①④． 三、解答题 15．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）解不等式，并在数轴上表示解集：． 【答案】，数轴上表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解． 【详解】解： 去分母得： 去括号得：，     移项合并同类项得：， 解得：， 把解集在数轴上的表示为： 16．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下面解不等式的过程正确吗？若不正确请写出正确过程． 解：不等式的两边都乘2，得． 移项、合并同类项，得． 两边都除以，得． 【答案】不正确；正确过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟记不等式的性质．根据不等式的性质可判断解法有错误，然后正确解出不等式得出不等式的解集． 【详解】有错误，错误之处： （1）去分母时，公分母2漏乘“−1”项； （2）不等式两边都除以后，不等号方向没有改变． 正确的解法是： 解：不等式的两边都乘2，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得． 17．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的正整数解． (2)当a取何值时，该不等式有解？并求出其解集． 【答案】(1)不等式的正整数解为1，2，3 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． （1）把代入不等式，求出解集即可； （2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出a的范围，进而求出解集即可． 【详解】（1）解：将代入不等式，得， 去分母，得， 解得， 所以此不等式的正整数解为1，2，3． （2）解：由得， 整理得，即， 所以当，即时，该不等式有解． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 18．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）对于实数定义一种新运算． 规定：（其中为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：，已知． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到a，b的值； （2）将代入原方程组得，然后根据二元一次方程组的解法即可求解． 【详解】（1）解： 根据题意得：， 解得：， ∴a的值为2，b的值为1； （2）解： 将代入方程组， 得：， 解之得： 又∵， ∴， ∴， 解得：． 19．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．根据这个规则，解决下列问题． (1)___________． (2)解不等式：． (3)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) (3)不等式的最大整数解是： 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出式子计算即可； （2）根据所给的运算列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵新定义， ∴， 故答案为：． （2）解：∵新定义， ∴为：， 解得：． （3）解：∵新定义， ∴不等式为：， 解得： ∴不等式的最大整数解为：． 20．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）春节期间，某超市购进3件甲种商品比购进2件乙种商品多用120元；购进1件甲种商品和2件乙种商品共用200元． (1)分别求出甲、乙两种商品的进货单价； (2)若该超市购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5件，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过35件，则商场最多购进乙商品多少件？ (3)在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是100元／件和95元／件，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过720元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】(1)甲、乙种商品的进货单价分别为80元和60元； (2)超市最多购进乙种商品10件； (3)共有2种方案．方案一：购进甲种商品22件，乙商品9件；方案二：购进甲种商品25件，乙种商品10件． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等式的性质和不等式的性质解答问题． （1）设甲、乙种商品的进货单价分别为，，根据购进3件甲种商品比购进2件乙种商品多用120元；购进1件甲种商品和2件乙种商品共用200元列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进乙商品件，则购进甲商品件，根据购进甲、乙两种商品的总数量不超过35件列出不等式求解即可； （3）根据销售两种商品的总利润超过720元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙种商品的进货单价分别为，，根据题意得， ， 解得， 答：甲、乙种商品的进货单价分别为80元和60元； （2）解：设购进乙商品件，则购进甲商品件．由题意，得 ， 解得． 答：超市最多购进乙种商品10件； （3）解：由（2）可得，， 整理，得， 解得． 又因为为整数，， 所以或，或， 共有2种方案． 方案一：购进甲种商品22件，乙商品9件；方案二：购进甲种商品25件，乙种商品10件． 21．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 22．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我省宣城市是我国唯一的文房四宝之城，宣纸制作技艺被列人联合国非物质文化遗产名录．春节期间，为了举办书画大赛，某文化馆计划购买，两种型号的“文房四宝”，根据商店的标价得出下表： 数量（套） 总价（元） 型 型 1 2 330 2 3 560 (1)求每套型，型“文房四宝”的标价； (2)文化馆计划购买，两种型号的“文房四宝”共100套，因为购买数量较多，商店同意按型“文房四宝”九折，型“文房四宝”八折出售． （i）若购买型“文房四宝”的费用不超过型“文房四宝”费用的2倍，则该馆最多能买多少套型“文房四宝”？ （ii）若，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为69元和47元，且商店通过此次销售获利不低于3900元，则该文化馆至少要买多少套型“文房四宝”？ 【答案】(1)型“文房四宝”每套价格为元，型“文房四宝”每套价格为元 (2)（i）该馆最多能买套型“文房四宝”；（ii）该文化馆至少要买套型“文房四宝” 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意根据等量关系列出方程和不等式是解题的关键． （1）设型“文房四宝”每套价格为元，型“文房四宝”每套价格为元，根据表格数据列出方程组进行求解即可； （2）（i）设购买型“文房四宝”套，根据购买型“文房四宝”的费用不超过型“文房四宝”费用的倍，列出不等式进行求解即可； （ii）设该文化馆要买套型“文房四宝”，根据商店通过此次销售获利不低于3900元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型“文房四宝”每套价格为元，型“文房四宝”每套价格为元， 由题意得：， 解得：， ∴型“文房四宝”每套价格为元，型“文房四宝”每套价格为元． （2）解：（i）设购买型“文房四宝”套， 由题意得：， 解得：， 为整数， 该馆最多能买套型“文房四宝”； （ii）设该文化馆要买套型“文房四宝”， 由题意，得：， 解得：， ∴该文化馆至少要买套型“文房四宝”． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $