解答题规范练 (3-4)-2026届高三数学三轮复习

中档题规范练4 （满分43分， 时间：40分钟） 1.（2026·陕西西安·模拟预测）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． （参考公式：） 【答案】(1)； (2)的分布列为： 0 1 2 3 均值． 【分析】(1)代入回归直线方程的计算公式计算回归直线方程； (2)根据题意可以看出服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式可得到的分布列及均值． 【详解】（1）由题意可得：；； 故； ； 则关于的回归直线方程为：． （2）由题意知，随机变量的取值为：0，1，2，3；则： ； ；； 故的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的均值． 2.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 的三个内角 的对边分别为 为三角形 的面积，且 . (1)判断 的形状； (2)若 为 所在平面内一动点， ， 分别位于直线 的异侧，， ，记 ，求四边形 面积的取值范围. 【答案】(1)等边三角形.(2). 【分析】（1）由余弦定理以及三角形面积公式化简再由正弦定理中的边化为角即可求解； （2）用表示四边形 面积，再根据辅助角公式求范围. 【详解】（1）由余弦定理以及三角形面积公式及得：， 即，即，即，即， 又因为，所以， 由正弦定理及得：， 又因为，所以，即， 由二倍角公式得：，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即，是等边三角形. （2） 如图，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 因为，所以，在上递增，在上递减， 所以在即时取得最大值， 因为 ，当时，计算， 所以的取值范围是. 3.（2026厦门一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求；（ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解(2)； 【详解】（1）因为ABCD为菱形，所以，设AC，BD交于点，则， 又因为，所以，因为，AC，平面PAC，所以平面PAC． （2）（i）取PC中点，则且，由知， 所以，即四点共面， 因为平面PEC，平面OBEF，平面平面，所以， 因此OFEB是平行四边形，故，即． （ii）由（1）可知，平面PAC，因为平面ABCD，所以平面平面PAC， 因为平面平面，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意可知，，，， 因为，且，所以，， 因此，，， ，，由此可知，设平面PBD的一个法向量，则，也即， 令，得，设平面PEC的一个法向量，则，也即，令，得，所以， 所以平面PBD与平面PEC夹角的余弦值为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 中档题规范练4 （满分43分， 时间：40分钟） 1.（2026·陕西西安·模拟预测）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． （参考公式：） 2.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 的三个内角 的对边分别为 为三角形 的面积，且 . (1)判断 的形状； (2)若 为 所在平面内一动点， ， 分别位于直线 的异侧，， ，记 ，求四边形 面积的取值范围. 3.（2026厦门一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求；（ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $中档题规范练3 (满分43分，时间：40分钟) 1.(2026安微合肥三模)记48C的内角4,8，C的对边分别为a.6c,已知asin=bco4-)- (1)求A; (2)若ABC是锐角三角形，求b+C的取值范围. a 2.(2026福建漳州三模)已知R,5分别为椭圆C:+ a>b>0的无、右焦点，目上EE4,息 P-2,6 在C上. 3 (1)求C的方程； (2)若点Q在C上且在第一象限，△QFF2为直角三角形，求点Q的坐标. 1 3.(2026宁夏吴忠二模)某次投篮游戏，规定每名同学投篮n次(n≥2，n∈N),投篮位置有A,B两处，第一 次在A处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位 置不变在A处每次投进得2分，否则得0分；在B处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在A,B两处每次投 进的概率分别为}，：，且每次投篮相互独立记甲第（≤n,k©N)次在A处投篮的餐率为A,第k次投篮后累 计得分为X. (1)求P2,P;(2)求X2的分布列及数学期望；(3)求{P}的通项公式； 2 中档题规范练3 （满分43分， 时间：40分钟） 1．（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理对已知边角关系式化角，约去后展开两角差余弦公式，化简求得角； （2）由正弦定理把转化为正弦形式，将用代换，经三角恒等变换化简得；根据锐角三角形求出的范围，进而即得. 【详解】（1）由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． （2）因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 2．（2026·福建漳州·三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，且，点在上． (1)求的方程； (2)若点在上且在第一象限，为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）解法一：根据题意，得，又点在椭圆上，代入联立方程即可求解； 解法二：根据题意，得，结合椭圆定义可求得，进而可求得； （2）解法一：分或两种情况进行讨论，若，代点即可求解；若，利用向量关系即可求解. 解法二：分或两种情况进行讨论，若，代点即可求解；若，结合三角形面积即可求解. 【详解】（1）解法一：由题意，得，解得， 所以的方程为． 解法二：由题意，得椭圆的左、右焦点分别为，，点在上， 所以，， 所以，， 所以的方程为． （2）解法一：设，，，由题意，得，． 因为点在上且在第一象限，为直角三角形， 所以或． 若，则，代入椭圆的方程得，解得， 所以； 若，则①， 又在上，所以②， 联立①②，解得，所以． 综上，点的坐标为或． 解法二：因为点在上且在第一象限，为直角三角形， 所以，或． 若，则，代入椭圆的方程得，解得，所以； 若，则， 因为，即， 解得． 设，，， 所以，即，所以． 又在上，所以，所以，即． 综上，点的坐标为或． 3．（2026·宁夏吴忠·二模）某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. (1)求；(2)求的分布列及数学期望； (3)求的通项公式； 【答案】(1)； (2)分布列见解析， (3)（） 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式即可求解； （2）通过相互独立事件概率公式计算分布列，再求期望； （3）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进； ②第次在处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可； 【详解】（1）甲第次在处投篮的概率为，说明第次投中，即， 甲第次在处投篮的概率为，说明第次，第次投中或第次，第次没投中， 即. （2）第次投篮后累计得分记为，则的可能取值为0，2，3，4， 设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件， ，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4. ， ， ， ， 所以的概率分布为 0 2 3 4 . （3）当时，甲第次在处投篮分两种情形： ①第次在处投篮且投进，这种情形概率为； ②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为. 所以，故， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即，. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $