精品解析：重庆市璧山中学校2025-2026学年下学期七年级期中考试（数学）试题

璧山中学校2025－2026学年下七年级期中考试（数学）试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在这四个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①②③④ B. ①③ C. ①③④ D. ①④ 3. 已知方程是二元一次方程，则“”可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑥有（ ） A. 36 B. 50 C. 72 D. 98 9. 如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（ ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 10. 已知关于、的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 由，得到用y表示x的式子为______． 12. 设、为实数，且，则的立方根是______． 13. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，在第一象限，且与轴平行，且，则点的坐标为______． 14. 若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点，点在轴上，则点的坐标为_________；点是轴负半轴上一点，过点作轴，在第二象限，点在线段上，连接、、、，且，．则四边形的面积最大值为_________． 16. 对于任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大，若它的千位数字比个位数字多，百位数字与十位数字之和为的倍数，则称这样的为“拉布布数”．例如四位数，，，是“拉布布数”；四位数，，不是“拉布布数”．则最大的“拉布布数”是______；一个“拉布布数”，记，．若能被整除，则所有满足条件的的最大值与最小值的和为______． 三、解答题（本大题共9小题，其中17、18题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点，在同一直线上，且．求证：． 证明：如图，延长交于点， （已知）， （ ）， （已知）， （ ）， （ ）， （ ）， （已知）， （ ）， （ ）． 19. 解下列方程组： （1） （2） 20. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． （1）求证：； （2）若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 21. 我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： （1）1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ （2）该物流公司的租车方案有哪几种？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出向右平移3个单位，再向下平移4个单位的； （2）写出点，，的坐标：________，________，________； （3）设点在轴上，且的面积等于面积的两倍，求出点的坐标． 23. 若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： （1）的“湘一区间”是 ；的“湘一区间”是 ； （2）若无理数（a为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，求的“湘一区间”． 24. 综合与探究 【课本再现】 七年级下册教材页中我们曾探究过“以方程的解为坐标的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：，是方程的解，对应点、．如图所示，我们在平面坐标系中将其标出，另外，方程的解还对应点、……将这些点连起来正好是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象． 结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）已知、、，则点______（填“或或”）在方程的图象上． （2）已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，且这个定点在方程的图象上，求的值． 【拓展延伸】 （3）已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且以此方程组的解为坐标的点在方程的图象上，求的值． 25. 2025年春晚重庆分会场赛力斯超级工厂舞台，由780辆“重庆造”新能源汽车表演的灯光秀震惊全场．如图1，假设江两岸是平行的，即，在江两岸安置了两座可旋转探照灯A和B，灯A在灯B东北方向，灯A射出的光线从射线开始以每秒1度的速度顺时针旋转至射线便立即以原速度回转，灯B射出的光线从射线开始以每秒2度的速度顺时针旋转至射线便立即以原速度的0.5倍回转． （1）如图1，若灯A和灯B同时射出光线，当灯光转动时间为80秒时，记两光线相交于点C．则________； （2）如图2，点D，E在南线上，点F，G在直线上，H是线段上一点，S是射线上一点，，，和的角平分线相交于点I，和的角平分线相交于点J，与相交于点R，与相交于点，是内部一条射线且，与的角平分线相交于点L，探究与的数量关系并说明理由； （3）若灯B比灯A提前30秒射出光线，当灯A射出的光线到达时，两灯同时停止照射，直接写出灯A和灯B射出的光线相交且垂直时，灯A射出的光线转动时间t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 璧山中学校2025－2026学年下七年级期中考试（数学）试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在这四个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数）逐个判断四个数，统计无理数的个数，即可作答． 【详解】解：是分数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 中是无理数，因此是无理数， 开立方开不尽，是无理数， ∴无理数共2个． 2. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①②③④ B. ①③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，可以根据内错角相等，两直线平行判定； 由，可以根据内错角相等，两直线平行判定，不能判定； 由，可以根据同位角相等，两直线平行判定； 由，可以根据同旁内角互补，两直线平行判定； ∴能判定的是①③④． 3. 已知方程是二元一次方程，则“”可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，方程是二元一次方程，需满足两个条件：有两个未知数，且每个未知项的次数均为． 【详解】解：∵ 方程 是二元一次方程， 方程必须含有两个不同的未知数，且每个未知项的次数为 A选项：若为 ，则方程为 ，即 ，只含一个未知数，是一元一次方程，故A选项不符合题意； B选项：若为 ，则方程为 ，含两个未知数 和 ，且未知项的次数均为，是二元一次方程，故B选项符合题意； C选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是二元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的纵坐标大于横坐标、以及第四象限内点的坐标的符号规律即可得出答案． 【详解】解：， ， 即点的纵坐标大于横坐标， 又在第四象限内的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，纵坐标一定小于横坐标， 点一定不在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了判断点所在的象限，熟练掌握各象限内点的坐标的符号规律是解题关键． 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，以及算术平方根的非负性，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义，以及算术平方根的非负性逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A.，原计算错误； B.，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故答案为：D 6. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴， ∴， 故选：B 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找到两个等量关系，分别列出方程即可得到正确结果． 【详解】解：设甲带了钱，乙带了钱， ∵甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱50， ∴甲原有钱加上乙钱的一半等于50，得方程 ， ∵乙得到甲所有钱的后，乙共有钱50， ∴乙原有钱加上甲钱的等于50，得方程 ， 因此可得方程组 ． 8. 在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑥有（ ） A. 36 B. 50 C. 72 D. 98 【答案】C 【解析】 【分析】先观察已知图形的无人机数量，找出图序号与无人机数量的通项公式，再将代入公式计算，最后选出对应选项． 【详解】解：图①：； 图②：； 图③：； ……； 可得第个图的无人机数量为：； 当时，． 9. 如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（ ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故①错误； ②当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故②正确； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是②③． 10. 已知关于、的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先解出、关于的表达式，再逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：解方程组 ∵（1）（2）3得 ，解得 ， 把代入（2）得 ，解得 ， 逐一验证结论： ① 当时，，，则 ，满足，故①正确； ② 当时，，整理得 ，解得，故②正确； ③ ，结果含，的值随变化，故③错误； ④ ， ，故不存在使得，故④正确． 综上，正确的结论共3个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 由，得到用y表示x的式子为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程．通过移项即可得出． 【详解】解：由得， 故答案为：． 12. 设、为实数，且，则的立方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根是． 13. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，在第一象限，且与轴平行，且，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标是，与轴平行，得出点的纵坐标是，又因为，在第一象限，得出点的坐标，即可作答． 【详解】解：∵点的坐标是，与轴平行， ∴点的纵坐标是 ∵， ∴或， ∵在第一象限， ∴点的坐标为． 14. 若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】把方程变形为，根据方程的解为，可得即可求解. 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∴一元一次方程的解为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点，点在轴上，则点的坐标为_________；点是轴负半轴上一点，过点作轴，在第二象限，点在线段上，连接、、、，且，．则四边形的面积最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得，再由在y轴上的点横坐标为0，得到，据此可求出点B的坐标；分别过点O和点D作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，则，由由垂线段最短可知，据此可得答案． 【详解】解：∵点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点， ∴点B的坐标为，即， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 如图所示，分别过点O和点D作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T， ∴ ， 由垂线段最短可知， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：；． 16. 对于任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大，若它的千位数字比个位数字多，百位数字与十位数字之和为的倍数，则称这样的为“拉布布数”．例如四位数，，，是“拉布布数”；四位数，，不是“拉布布数”．则最大的“拉布布数”是______；一个“拉布布数”，记，．若能被整除，则所有满足条件的的最大值与最小值的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据“拉布布数”中各数位上的数的关系得出最大的“拉布布数”；根据能被整除，得出所有符合条件的“拉布布数”，把最大值与最小值相加即可． 【详解】解：最大的“拉布布数”的千位数是，则个位数是， 最大的“拉布布数”的百位数是， 百位数字与十位数字之和为的倍数，其中， 十位数字是， 最大的“拉布布数”是； 是一个“拉布布数”， 则有，是的倍数， ， ， ， ， 设，， 则有， 能被整除， 或， 当时，， ， 则有，， 当时，，， “拉布布数”千位数最大，故不符合题意； 当时，，，， “拉布布数”千位数最大，故不符合题意； 当时，，，， “拉布布数”为； 当时，，，， “拉布布数”为； 当时，，，， “拉布布数”为； 当时，，，， “拉布布数”为； 当，时， 则有， ， 是百位上数字，是十位上的数字， ，， ， 不符合题意； 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为． 三、解答题（本大题共9小题，其中17、18题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解： ． 18. 阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点，在同一直线上，且．求证：． 证明：如图，延长交于点， （已知）， （ ）， （已知）， （ ）， （ ）， （ ）， （已知）， （ ）， （ ）． 【答案】见详解 【解析】 【分析】先结合平行线的性质得，再进行角的等量代换得，证明，又因为，故，即可得出． 【详解】解：证明：如图，延长交于点， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等量代换）． 19. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）利用加减消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【小问1详解】 解：①＋②，得，． ①－②，得，； 所以这个方程组的解是 【小问2详解】 整理，得 ③－④，得． 把代入③，． 所以这个方程组的解是 20. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． （1）求证：； （2）若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，再结合已知条件，由同位角相等两直线平行证明即可； （2）先由平行求解出的度数，进而由角平分线可得的度数，结合平行线的性质进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，且． ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： （1）1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ （2）该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】（1）1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； （2）该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【解析】 【分析】（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，由“租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄”，列出二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各租车方案． 【小问1详解】 解：设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 22. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出向右平移3个单位，再向下平移4个单位的； （2）写出点，，的坐标：________，________，________； （3）设点在轴上，且的面积等于面积的两倍，求出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，解题的关键是得到平移后对应点的坐标． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点，，的坐标，描出，，并顺次连接，，即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可； （3）先求出的面积，进而得到的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到，，， ∴，，． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴轴， ∴， ∵的面积等于面积的两倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 23. 若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： （1）的“湘一区间”是 ；的“湘一区间”是 ； （2）若无理数（a为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，求的“湘一区间”． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“湘一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“湘一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“湘一区间”求出的取值范围，再根据为正整数求出的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“湘一区间”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：，， ，， ∴， 的“湘一区间”是；的“湘一区间”是； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：（a为正整数）的“湘一区间”为， ， ，即， 的“湘一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或， 当时，， 当时，， 的值为或3； 【小问3详解】 解：， ∴，， ， ∴， ， ， 的算术平方根为， ， ， 的算术平方根的“湘一区间”是． 24. 综合与探究 【课本再现】 七年级下册教材页中我们曾探究过“以方程的解为坐标的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：，是方程的解，对应点、．如图所示，我们在平面坐标系中将其标出，另外，方程的解还对应点、……将这些点连起来正好是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象． 结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）已知、、，则点______（填“或或”）在方程的图象上． （2）已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，且这个定点在方程的图象上，求的值． 【拓展延伸】 （3）已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且以此方程组的解为坐标的点在方程的图象上，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系，二元一次方程（组），解题的关键是掌握相关知识． （1）将、、分别代入中即可求解； （2）将方程整理得：，根据题意可得，求出，，最后代入中，即可求解； （3）将方程组化简后两式相加可得，由得：，将代入得：，根据方程组有解，可得，即，，结合、、均为正整数，可求出、的值，最后代入化简后的方程组中的任意一个式子即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 解得：， 不在方程的图象上， 当时，， 解得：， 不在方程的图象上， 当时，， 解得：， 在方程的图象上， 故答案为：； （2）将方程整理得：， 无论为何值，方程的图象都经过某一定点， ， ，， 将，代入得： ， 解得：； （3）将方程组化简得：， 得：， 由得：， 将代入得：， 整理得：， 方程组有解， ，即， ， 、、均为正整数， 可取，，，，即可取，，，， 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，将代入①得； 当时，，，将代入①得：； 综上所述，的值为或． 25. 2025年春晚重庆分会场赛力斯超级工厂舞台，由780辆“重庆造”新能源汽车表演的灯光秀震惊全场．如图1，假设江两岸是平行的，即，在江两岸安置了两座可旋转探照灯A和B，灯A在灯B东北方向，灯A射出的光线从射线开始以每秒1度的速度顺时针旋转至射线便立即以原速度回转，灯B射出的光线从射线开始以每秒2度的速度顺时针旋转至射线便立即以原速度的0.5倍回转． （1）如图1，若灯A和灯B同时射出光线，当灯光转动时间为80秒时，记两光线相交于点C．则________； （2）如图2，点D，E在南线上，点F，G在直线上，H是线段上一点，S是射线上一点，，，和的角平分线相交于点I，和的角平分线相交于点J，与相交于点R，与相交于点，是内部一条射线且，与的角平分线相交于点L，探究与的数量关系并说明理由； （3）若灯B比灯A提前30秒射出光线，当灯A射出的光线到达时，两灯同时停止照射，直接写出灯A和灯B射出的光线相交且垂直时，灯A射出的光线转动时间t的值． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵，，， 由（1）可得：， 设， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴，， ∵为的外角， ∴， ∵平分， ∵， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的外角，， ∴， ∴， ∴， 连接并延长，则：， 即：， ∴， ∴； （3），75，165 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的内角和与外角，熟练掌握相关知识点，从复杂图形中抽象出简单图形，是解题的关键： （1）根据旋转，求出，，过点作，得到，推出即可； （2）由（1）可得：，设，根据角平分线平分角，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，推出，进而得到，即可； （3）分，和，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 旋转到与重合时，所用时间为：； 点旋转到与重合时，所需时间为：， ∵灯B比灯A提前30秒射出光线， ∴①当时，由题意，，， ∴， ∵灯A和灯B射出的光线相交且垂直， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴； ③当时，则：，， ∴， ∴； 综上：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $