8.5空间直线、平面的平行（分层作业）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习以“空间直线、平面的平行”为核心，采用“刷基础-提能力-破难关”三层递进设计，梯度从概念理解到综合应用再到探究创新，有效覆盖知识点并培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|基本事实4、等角定理|选择填空结合，聚焦概念辨析与简单应用，培养抽象能力| |提能力|线面/面面平行的判定与性质|解答题为主，分题型系统训练逻辑推理，强化几何直观| |破难关|动点探究与存在性问题|综合情境题，需空间想象与创新思维，发展理性精神|

8.5 空间直线、平面的平行 刷基础 题型一 基本事实4与等角定理 1．若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 2．已知直线和平面，若，，则过点且平行于的直线（    ） A．只有一条，且不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 【答案】B 【分析】根据线面平行的性质定理判断． 【详解】显然，设由点和直线确定的平面为，则与相交，设，， 如图，直线是唯一确定且在平面内的直线， 又，所以． 如果过还有一条直线与平行，则，这是不可能的． 所以过点P且平行于的直线只有一条，在平面内． 故选：B    3．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【答案】CD 【分析】利用平行分线段成比例的推论，结合平行线的传递性即可得解. 【详解】如图，连接BD， ，且， 同理，且，， 当时，，此时四边形EFGH是平行四边形，故A正确，D不正确， 当时，，四边形EFGH是梯形，故B正确，C不正确. 故选：CD. 4．若，且，则为________. 【答案】或 【详解】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解. 根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补，即与相等或互补 所以或. 5．如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用三角形中位线的性质、平行公理及等角定理求解. 【详解】由分别是，的中点，得，同理， 则，，又的两边和的两边的方向分别相同， 因此，所以. 提能力 题型一 线面平行的判定 6．如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用中位线定理在平面内找到与平行的直线，再通过线面平行判定定理完成证明即可. 【详解】如下图，连接，设与交于点，连接， 因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形， 矩形的对角线互相平分，因此是的中点， 已知是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，可得， 又平面，平面，所以平面. 7．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】先用向量证明与平面的法向量垂直，再结合平面，即可证明线面平行. 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 由题中数量关系可得，，，，， 则，，． 设平面AEG的法向量为， 则，令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． 8．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理即可证得. 【详解】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 9．已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. （2）在长方体中， ，，且平面 ∵， ∴. 10．如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接.根据三角形中位线定理证明，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）在梯形中，过作交于点，根据平面几何知识可求出，进而可求，即可求解正四棱台的表面积. 【详解】（1）（1）连接，交于点，连接，如图所示. 在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点. 又为的中点，. 又平面，平面，平面. （2）由题可知：在梯形中，，，， 过作交于点，，， 所以， 正四棱台的表面积为 . 题型二 线面平行性质定理的应用 11．如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面平行的性质推理作答. 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 12．如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由得到平面，然后根据线面平行的性质定理求证. 【详解】由已知得，又平面，在平面外， 则平面， 又平面平面平面， 则. 13．如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，由平面的性质可得. 【详解】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 14．如图，在四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，且，Q为的中点，过，Q，D三点的平面记为，平面与平面的交线记为l．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长AB，DC交于点P，根据四点共面可得平面与平面ABCD的交线为CD,结合面面平行的性质定理即可证得所求. 【详解】如图，延长AB，DC交于点P， 因为，且，所以, 又Q为的中点，所以，Q，P三点共线，此时平面与平面ABCD的交线为CD, 又平面平面， 根据面面平行的性质定理可得，平面与平面的交线平行于直线CD，即． 题型三 面面平行的判定 15．如图，已知长方体，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理，先证明线线平行，再证明线面平行，最后证明面面平行． 【详解】证明：在长方体中，易证． 因为平面，平面， 所以平面．同理可证平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 16．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 17．由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 18．如图，在边长为2的正方体中，，，，都是正方体棱上的中点. (1)求证平面平面; (2)求三棱台的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，则，分别取、的中点、，连接，，，推导出四边形，四边形，四边形为平行四边形，从而，由此即可证明； （2）求出，，，根据棱台的体积公式，即可求出三棱台的体积. 【详解】（1）连接，则， 因为面， 所以面， 分别取、的中点、，连接，，， 在四边形中，且， 所以四边形为平行四边形， 同理可得四边形也是平行四边形， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为面， 所以面， 因为， 所以平面平面. （2）由题可知，，，， 根据棱台的体积公式，可得三棱台的体积为： . 19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点. 而是的中点，则，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以. （2）由，分别是，中点，得， 又平面，平面，则平面， 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又，平面，所以平面平面. 题型四 面面平行性质定理的应用 20．如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 【答案】 平行 【详解】因为平面，平面，且，所以， 又，，所以. 21．已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 22．如图，在三棱柱中，过的平面（非平面）与平面交于DE，则DE与AB的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质推理判断. 【详解】在三棱柱中，平面平面，而平面平面， 平面平面，则，在平行四边形中，， 所以. 故选：B 23．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥； 又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确. 故选：D. 24．如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据面面平行的性质定理和棱台的结构特征判断. 【详解】∵平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又因为，所以，AD正确； 同理根据面面平行的性质定理得,则B正确. 破难关 题型一 动点问题的探究 25．如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【答案】 【分析】连接，连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的性质列式求解. 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 26．如图所示正四棱锥S-ABCD，，，P为侧棱SD上的点，且，求： (1)正四棱锥S-ABCD的表面积； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）应用棱锥表面积的求法求正四棱锥S-ABCD的表面积； （2）取SD中点为Q，过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE，由线面平行的判定可得平面PAC，根据等比例性质有，再根据线面平行的判定得平面PAC，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性. 【详解】（1）正四棱锥S-ABCD中，，则侧面的高， 所以正四棱锥S-ABCD的表面积. （2）在侧棱SC上存在一点E，使平面PAC，满足， 理由如下： 取SD中点为Q，因为，则， 过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE. 在中有，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC， 由，则，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC，而，故面面PAC， 又面，则平面PAC，此时. 27．如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 28．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    29．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接DE，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点P，连接，，，由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）连接DE，由题意知，，， 即四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面． 同理，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又，DC，平面， 所以平面平面． （2）如图，取的中点P，连接，，， 由（1）知，又分别是的中点，可得， 因为分别为的中点，所以，则， 又， 平面，平面， 所以平面平面DCF．故结论得证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $8.5空间直线、平面的平行 刷基础 题型一基本事实4与等角定理 1.若ABI∥A'B',BCI∥B'C',且∠ABC=45°，则∠AB'C'等于() A.45° B.135° C.45°或135° D.不能确定 2.己知直线1和平面，若1∥a,P∈a,则过点P且平行于I的直线（) A.只有一条，且不在平面内 B.只有一条，且在平面a内 C.有无数条，一定在平面内 D.有无数条，不一定在平面a内 3.如图，设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上除端点外的点，且 CF CG 正AH入CBC卢，则下列第论不正确的是)了 AB AD H D B F C A.当入=u时，四边形EFGH是平行四边形 B.当入≠u时，四边形EFGH是梯形 C.当入≠4时，四边形EFGH是平行四边形 D.当入=u时，四边形EFGH是梯形 4.若OA11OA,OB/1OB且∠A0B=130°，则LA'0'B'为 5.如图，已知直线a,b为异面直线，A,B,C为直线a上三点，D,E,F为直线b上三点， A,B,C,D,E分别为AD,DB,BE,EC,CF的中点若LA'B'C'=120°，则∠C'D'E'=一 A B C B D E 试卷第1页，共3页 提能力 题型一线面平行的判定 6.如图，正三棱柱ABC-A,B,C中，E是AC的中点，求证：AB,/平面BEC. B A 7.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，AA=2AB=2AC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AC,CC, AB,的中点，点G在棱BB,上，且BG=3BG.证明：BD∥平面AEG B E B C 8.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，AD=2AF=2AB=2,M,N分别是 对角线BD,AE上异于端点的动点，且BM=AN,求证：直线MN//平面CDE; E B 9.已知长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=4,AD=AA,=3. D B (1)求证：B,D,∥平面BC,D; (②)求三棱锥C-BDC的体积 10.如图，正四棱台ABCD-A,B,C,D,中，上底面边长为4√2，下底面边长为82，E为CC的中点，侧棱 试卷第1页，共3页 长为6. A B D B (I)证明：ACI/平面BDE; (②)求该正四棱台的表面积 题型二线面平行性质定理的应用 11.如图，在直三棱柱ABC-A,BC,中，E是AC边的中点，过A,B,E作截面交B,C于点D.求证： DE//AB B 12.如图所示，过圆柱的轴OO,的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形AA,C,C,B是该圆柱 底面圆周上异于A、C两点的点.设平面AAB∩平面C,CB=1,求证：1I/AA: B 13.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O,M是PC的中点， 在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证：AP∥GH. 试卷第1页，共3页 14.如图，在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC,且AD=2BC,Q为BB的中 点，过A,Q,D三点的平面记为a,平面a与平面AB,C,D的交线记为1.求证：l∥CD. A D B D 题型三面面平行的判定 15.如图，已知长方体ABCD-A,B,C,D,求证：平面A,BD∥平面CB,D,. D C A 16.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点G,E,F,P分别为棱AB,D,C,B,C,AA,的中点，点M是棱 AD上的一点，且D,M=3AM. D E M N B G (1)求证：D,GI/平面DBFE: 试卷第1页，共3页 (2)己知点N是棱AB,上的一点，且B,N=3A,N,求证：平面PMNI/平面DBFE. 17.由正方体ABCD-A,B,C,D1截去三棱锥C,-B,CD后得到的几何体如图所示，O为AC与BD的交点 B B (1)求证：A,O/1平面B,CD; (2)求证：平面A,BD/平面B,CD 18.如图，在边长为2的正方体ABCD-A'B'CD'中，M,N,E,F都是正方体棱上的中点 D N E B B (1)求证平面AMN∥平面DBEF; (2)求三棱台CBD-C,EF的体积 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E,F,G分别是PD,AC,，PA的中点， 平面PABA平面EFG=I. E B 证明： (I)EF111: (2)平面EFG//平面PBC. 试卷第1页，共3页 题型四面面平行性质定理的应用 20.如图，己知C/1B,GH,GD,EH分别交，B于A,B,C,D,E,F,且GA=9,AB=12,BH=16,则AC 与BD的关系为 AC BD G D B B H 21.已知P为△ABC所在平面外一点，平面a/1平面ABC,且a交线段PA,PB,PC于点A,B,C',若 PA:AA=2:3,则S。HgC:S。ABc=() B A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25 22.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，过AB的平面（非平面ABB,A)与平面ABC交于DE,则DE与AB 的位置关系是() C A C D E B 试卷第1页，共3页 A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 23.已知m,n是两条不重合的直线，a,B是两个不重合的平面，则下列结论正确的是() A.若m11a,m/1B,则aB B.若mln,m/la,则nlla C.若mca,ncβ，alB,则mln D.若m,n是异面直线，mc,m/1B,ncB,nl/,则alB 24.如图，在三棱台A,B,C1-ABC中，点D在AB上，点M是棱B,C上的点，且有平面BDM//平面 A,CCA,则() C B C M A.DM∥AC B.BM∥CC C.BM∥AA D.DM∥AC 破难关 题型一动点问题的探究 25.如图，已知点P在平行四边形ABCD所在平面外，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段PC上 一点，当PA/平面BEF时， PF FC A B 26.如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB=SC=SD=4,AB=2√2，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD, 求： 试卷第1页，共3页 A4-- (1)正四棱锥S-ABCD的表面积； 恻棱SC上是香存在一点E,使得BE平面PAC若存在，求的值；若不存在，试说明 27.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，E,F,G分别是棱AB,BB,AB,的中点 D (1)证明：CG//平面CEF (②)在棱44上是否存在点A,使得平面CG11平面CEP?若存在，求出4 的值；若不存在，请说明理 AA 由 28.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点E,F分别为AD,PC的中点. (1)证明：DFI/平面PBE; 2在棱BC上是否存在点G,使得平面DFG11平面PBE?若存在，求出BC的值；若不存在，说明理由. GC 29.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，D,E,F分别是AB,AB,AA,的中点. 试卷第1页，共3页 A C E B B (I)求证：平面A,DC∥平面BEC; (②)求证：在BB,上存在一点P,使得平面ECP∥平面DCF. 试卷第1页，共3页