命题大赛 2025-2026学年高一下学期期末考试数学模拟练习（湘教版必修第二册）

**基本信息** 高一年级数学期末卷（湘教版必修2），由高级教师命题，含2道原创题，通过社团考核概率、新定义三角函数等情境，考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力，适配必修2知识综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量模、三角函数求值、面面垂直判定|第3题以社团考核为背景，融合独立事件概率计算| |多选|3/18|四面体与球、平行四边形向量运算|第11题新定义正割等函数，延伸三角函数概念| |填空|3/15|函数平移、三角恒等变换、四棱锥截面|第14题结合空间几何与截面面积计算，考查空间观念| |解答|5/77|向量分解、三棱锥体积、解三角形、函数奇偶性与概率|第19题分步设计取球问题，梯度考查古典概型与对立事件|

Sheet1 高一数学命题双向细目表（湘教版必修2） 题号 题型 分值 知识点 难度系数 （预估） 备注 1 单选题 5 平面向量的模及坐标运算 0.8 2 单选题 5 三角函数及三角恒等变换 0.85 3 单选题 5 概率知识 0.45 4 单选题 5 立体几何线面平行、线面垂直 0.5 5 单选题 5 复数及充要条件 0.65 6 单选题 5 平面向量基本定理及共线定理 0.55 7 单选题 5 三角函数最值、解三角形及余弦定理 0.6 8 单选题 5 基本不等式定理 0.55 9 多选题 6 立体几何 0.45 10 多选题 6 平面向量基本定理及共线问题 0.55 11 多选题 6 函数新定义及恒等变换 0.7 12 填空题 5 三角恒等变换及最值 0.6 13 填空题 5 三角函数、恒等变换 0.6 14 填空题 5 立体几何、线面垂直、线面角 0.5 15 解答题 13 平面向量的基本定理、向量共线及坐标运算、向量的模 0.65 16 解答题 15 立体几何线面平行、体积问题 0.5 17 解答题 15 三角函数、平面向量、正、余弦定理的应用 0.45 18 解答题 17 函数的单调性、奇偶性、最值、恒成立问题 0.45 19 解答题 17 概率知识 0.6 Sheet2 Sheet3 $ 高一年级数学试题（湘教版必修2） 命题人：曹久贤 甘肃省庆阳第二中学数学高级教师 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知向量，＝(sinα，－cosα)，则（ ） A．1 B． C．2 D． 2.已知sin(α－)＝－3cos(α－)，则sin2α的值为（ ） A．2 B． C．－2 D．－ 3.（原创题）某中学的“乒乓球”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则( ) A. B. C. D. 4.已知、是平面，、是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5..设，“”是“复数是纯虚数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知中，，，与交于点，且，，则　　（       ） A． B． C． D． 7.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 8.已知正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2，，且，则（ ） A. 平面ACD⊥平面ABC B. 球心O为△ABC的中心 C. 直线OM与CD所成的角最小为 D. 若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分 10..在平行四边形中，，，，交于F且，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D． 11.（原创题）在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点，它与原点的距离是r.我们规定：比值、、分别叫做角的正割、余割、余切，分别记作、、，把、、分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是（ ） A． B．的定义域为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设，将函数的图象向右平移个单位长度得函数的图象，若是奇函数，则的最小值为_______________. 13.若，则___________. 14.已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，底面，过点A作平面与垂直，则与所成角的正切值为_________；截此四棱锥的截面面积为_______． 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在平面内给定三个向量，，. （1）求满足的实数m，n的值； （2）若向量d满足，且，求向量d的坐标. 16.（15分）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，为等边三角形，且，O，M分别为AB，VA的中点. （1）求证：平面MOC； （2）求三棱锥的体积. 17.（15分）在中,记角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知. （1）求A; （2）若,,求. 18.（17分） 已知函数且. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 19.（17分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； （2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率. 参考答案： 一、单项选择题： 1.【答案】B 【解析】由已知 ． 故选：B． 2.【答案】D 【解析】由题意可知，sinα－cosα＝－3(cosα＋sinα)，则2sinα＝－cosα，即tanα＝－，所以sin2α＝＝＝＝－， 故选:D． 3.答案：B 解析：因至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，依题意， 得即，解得. 故选：B. 4.【答案】A 【解析】对于A选项，若，则直线与平面内的直线平行或异面， 由于，则直线、平行或异面，A选项错误； 对于B选项，若，，则，B选项正确； 对于C选项，若，，则，C选项正确； 对于D选项，若，，由面面垂直的判定定理可知，D选项正确. 故选：A. 5.【答案】B 【解析】当a=0时，如果b=0，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件， 故选：B 6.【答案】B 【解析】由题意得 ， 又， 所以， 解得，． 所以． 故选：B． 7.【答案】C 【解析】由，可得， 由余弦定理得： ， 两式结合得：， 即， 即， 则当时，，则，故由 可得其最小值为 ， 故选：C 8.答案：C 解析：由题意，可得.由基本不等式，得，当且仅当，即，时等号成立.又，所以，则.因此实数m的取值范围是. 二、多项选择题： 9、【答案】ABD 【解析】设的中心为G，取AC的中点E，连接BE，DE，则. 因为，, 所以平面BDE，则， 又△ABC为等边三角形，，， 所以，， ∴，即，又， ∴平面，平面， ∴平面ACD⊥平面ABC，故A正确； 又∵， ∴， 故为四面体的外接球的球心，即球心O为△ABC的中心，故B正确； 当∥时，为直线OM与CD所成的角， 由上知，故C错误； 由平面ACD⊥平面ABC可知，动点M到平面ACD的距离即动点M到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线的一部分，故D正确. 故选：ABD. 10.【答案】BCD 【解析】 对于选项A：，故选项A不正确； 对于选项B：易证，所以，所以，故选项B正确； 对于选项C：，即，所以 ，所以，解得：， ，因为，所以， 故选项C正确； 对于选项D： ，故选项D正确. 故选：BCD 11.【答案】CD 【解析】∵，∴当时，，故A错误； ，故其定义域为，故B错误； ，故C正确； ， ∵cosα≠0，sinα≠0，∴，，故D正确. 故选CD. 三、填空题： 12.答案： 解析：，将其图象向右平移个单位长度得函数的图象，则.因为是奇函数，则，，，，又，所以当时，取得最小值，最小值为. 13.【答案】 【解析】由题意可得， 令，则，， 所以原式， 故答案为：. 14.【答案】 ①. ②. 【解析】作，垂足为，作，，连接、，则平面即为平面， 因为平面，所以即为与所成角， 底面是边长为2的正方形，所以，底面，，所以， 由等面积法可得，解得， 由对称性可得到，在中，，所以， 所以， 又，，，所以，故， 在中，，所以， 所以为的中点，同理可得为的中点，在中，，所以， 所以棱锥截平面所得截面的面积为． 故答案为：；． 四、解答题： 15. （1）答案：， 解析：由已知条件以及，可得. 解得，. （2）答案：或 解析：，设向量，则. ，， 解得或 向量d的坐标为或. 16.答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）因为O，M分别是AB，VA的中点， 所以. 因为平面MOC，平面MOC， 所以平面MOC. （2）因为，O为AB的中点，所以. 因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，所以平面VAB. 在等腰直角三角形ABC中，， 所以，， 所以等边三角形VAB的面积， 所以. 所以三棱锥的体积为. 17.答案：（1） （2） 解析:（1）由正弦定理有, 所以,, 又,则有; （2）如下图,由,则,, 所以, 可知, 设,所以,则有, 所以,又,所以, 又有, 所以. 18.【答案】（1）偶函数；（2）；（3）. （1）先求得函数的定义域为R，再由，可判断函数是奇偶性； （2）由，所以，以及对数函数的单调性可得函数的值域； （3）对任意，恒成立，等价于，分，和，分别求得函数的最值，可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为且，所以其定义域为R，又，所以函数是偶函数； （2）当时，，因为，所以， 所以函数的值域为； （3）对任意，恒成立，等价于， 当，因为，所以，所以，解得， 当，因为，所以，所以函数无最小值，所以此时实数不存在， 综上得：实数的取值范围为. 19.（1）答案： 解析：从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个， 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个. 因此所求事件的概率为. （2）答案： 解析：先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n， 其中一切可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，共16个. 所有满足条件的事件为，，，共3个， 所以满足条件的事件的概率为. 故满足条件的事件的概率为. 学科网（北京）股份有限公第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $