微专题：8.1基本立体图形（分层作业）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
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摘要：
**基本信息**
该同步练通过“刷基础-提能力-破难关”三层设计，实现从单一公式应用到综合空间问题解决的进阶，适配新授课知识巩固与能力分层培养需求。
**分层设计**
|层次|知识覆盖|设计特色|
|----|----------|----------|
|刷基础|台体相关计算、空间几何体截面积|以选择填空为主，直接考查公式应用，如正三棱锥截得棱台的高计算，夯实概念理解|
|提能力|最短距离问题、几何体截面图形|需几何体展开与空间切割，如正四棱锥表面蚂蚁爬行路径，培养空间观念与转化思想|
|破难关|球的切接问题|综合空间几何与方程思想，如正方体与球的内接关系，发展推理意识与创新意识|
内容正文：
8.1 基本立体图形
刷基础
题型一 台体的相关计算
1．所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可.
【详解】
如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台，
该棱台的高等于大正三棱锥的高的.
设大正三棱锥的高为DH，则：
因为大正三棱锥的高为:，
所以该棱台的高为.
故选：A
2．正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于________．
【答案】
【分析】根据正四棱台的结构特征知道正四棱台与底面平行的截面为正方形，计算面积即可.
【详解】根据在侧面上三条边组成梯形的上底，下底和中位线，得到梯形的中位线长度是．
∵正四棱台与底面平行的截面为正方形，
∴截面面积．
故答案为：
3．一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______.
【答案】
【分析】由正四棱台的几何特征知四边形为高为3的等腰梯形，进而结合梯形的面积公式即可求出结果.
【详解】
由正四棱台的几何特征知，,,且四边形为高为3的等腰梯形，
所以,
所以,
因此经过相对两侧棱的截面的面积为，
故答案为：.
4．已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________．
【答案】4
【分析】根据几何图形，利用勾股定理求出下底面的边长.
【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则，
解得.
故答案为：4.
5．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为__________．
【答案】
【分析】由题意得正四棱台的对角面为等腰梯形，等腰梯形的腰长为棱台的侧棱长，然后根据已知数据求解即可.
【详解】由题意得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为，下底长为，高为3，
所以侧棱长为．
故答案为：
题型二 空间几何体截面积的计算
6．一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6.
【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为，
侧面积，解得，
则，故圆锥轴截面的周长为．
7．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到.
【详解】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，
则，，
所以，即．
故选：A．
8．一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ）
A．32 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解.
【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为；
若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为.
故选：D.
9．如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据圆柱侧面积为可求得圆柱母线长，又因为ABCD是圆柱的轴截面，可知与圆柱的上下底面垂直，且是下底面圆的直径，根据勾股定理计算可得，即可得出.
【详解】如下图所示：
设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得，
连接AE，则，
连接BE，则，故，
故.
故选：A.
10．如果正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，则它的中截面（过侧棱中点）的截面面积是________．
【答案】
【详解】正四棱台中截面边长为，且为正方形，所以面积为．
11．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（ ）cm.
A．2 B．14 C．2或14 D．6或8
【答案】C
【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可.
【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为.
由，得cm，cm，
由，得cm，cm，
如图所示，
当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，
即cm.
如图所示，
当球的球心在两个平行平面之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm.
故选：C.
12．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中，，，则球心到经过这三个点的截面的距离为____________．
【答案】12
【分析】先求出的外接圆半径，然后根据球的结构特征和勾股定理求出结果即可.
【详解】由线段的长度知是以为斜边的直角三角形，
所以其外接圆的半径，设球的半径为，
所以．
故答案为：12.
13．如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为______.
【答案】
【分析】由题意易证四边形是平行四边形，（或），，则可得，，则可表示出，再由基本不等式即可求出其最大值.
【详解】∵∥平面，平面，平面平面，
∴，同理，∴，同理，
∴四边形是平行四边形.
∵与所成的角为，∴（或），
设，∵，∴，
由，，得，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
即为的中点时，截面的面积最大，为.
故答案为：.
提能力
题型一 最短距离和问题
14．如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案.
【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面，
连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，
设，则，
又由得，则，
则有，
故，
则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是.
故选：C.
15．如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将圆柱的侧面展开，结合余弦定理可知为钝角，结合图形可得出点到点的距离的最小值.
【详解】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，，
从而，
由余弦定理可得，
所以为钝角，故点到点的距离的最小值为.
故选：C.
16．已知正方体的棱长为4，点为的中点，则沿正方体表面从点到点的最短距离为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】B
【分析】将正方体的表面沿不同棱展开，使点和点落在同一平面内，然后利用勾股定理分别计算两种展开情况下的距离，最后比较大小，得出最短距离即可.
【详解】绘制题目示意图，如图所示：
绘制展开图：
情况一：如下展开：
求得.
情况二：如下展开：
求得，
情况三：如下图所示将侧面展开：
则，
对比可知沿正方体表面从点到点的最短距离为,
故选：B.
17．如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】利用四棱锥的侧面展开图，由余弦定理求解，即可得，进而可求解.
【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为，
在中，，
，
所以，故，则.
故选：A
18．如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】将空间图形进行翻折变化到同一平面，根据两点之间线段最短即可求解.
【详解】
将翻折到平面内，得到如图所示平面四边形，
因为所以,
所以,所以,
又因为，
所以翻折后的图形中,
根据两点之间线段最短可知，的最小值为,
故选:B.
19．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为__________公里.
【答案】5
【分析】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为，由圆锥的结构特征求出的值，作出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理计算可得答案．
【详解】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为，
该圆锥中，底面半径为1公里，母线长为4公里，则有，变形可得，
如图为该圆锥的展开图，
有，，则，
故，
即符合题意最短的铁路的长度为5．
故答案为：5．
题型二 几何体和截面图形
20．（多选题）如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能是（ ）
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
【答案】ABC
【详解】如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，则这个棱锥的各侧棱都相等，因此是正棱锥.
A，B，C三个选项均可成立.
但是，若正六棱锥六个侧面均为等边三角形，则其顶点处六个内角的和为，
在一个平面上，这显然不可能成立，所以D选项不成立.
21．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【分析】可根据空间想象或者结合图形等方法解决.
【详解】用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边三角形.
当平面平行于正方体的一个面去截正方体时，截面是正方形，如图，A可能.
如图，截面可以是梯形，B可能.
如图，当平面截取正方体的三个顶点，截面是等边三角形，C可能.
故选：D．
22．如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰梯形
C．五边形 D．六边形
【答案】C
【分析】延长BC，与两条棱相交，再连接交点和点A即可得到结果.
【详解】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接，
分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面.
故选：C
23．如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？
①四面体； ②四棱锥； ③四棱柱；
④五棱锥； ⑤五棱柱； ⑥六棱锥；
⑦七面体．
______（找出可能的结果，并将序号填在横线上）
【答案】①③⑤⑦
【分析】结合正方体的性质逐一作图，可能出现①③⑤⑦这四种情况．
【详解】
如图，平面截正方体，可得到四面体；
如图，平面截正方体，可得到四棱柱；
如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体.
故答案为：①③⑤⑦.
24．已知正四面体内接于一个球，某同学画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如图所示，则（ ）
A．①②③④都是正确的
B．只有②④是正确的
C．只有④是错误的
D．只有①②是正确的
【答案】C
【分析】根据球与正四面体的位置关系判断即可．
【详解】由于球外接于正四面体，过球心的平面不可能交正四面体于三个顶点，故正四面体的截面三角形的三个顶点不可能同时位于截面圆上，④错
故选C
【点睛】本题考查空间位置关系，属于中档题．
25．如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中水的上表面形状可能是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．非矩形的平行四边形 D．六边形
【答案】BCD
【分析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，结合正方体截面图形的特征判断即可．
【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．
过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图（1），故B正确；
过正方体一面上一边的任意一点（非顶点）和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为非矩形的平行四边形，如图（2），故C正确；
在正方体一面上相邻两边各取一点（非顶点），过这两点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为六边形，如图（3），故D正确；
至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，
故选：BCD
破难关
题型一球的切接问题
26．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据正方体的外接球的直径是体对角线计算计算求解.
【详解】因正方体的对角线长，
所以正方体的外接球的直径，
则.
故选：C．
27．（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据正方体及外接球的特征判断即可.
【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C，
当截面过正方体的体对角线时得B，
当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A，
但无论如何都不能截出D．
28．若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________.
【答案】
【分析】先确定球心在上下底面中心的连线的中点处，再由垂径定理可得球半径，进而可得球的表面积.
【详解】如图：
因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径，
因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，.
所以，球的表面积为.
29．已知三棱锥的各棱长均为，且其外接球的体积为，则__________.
【答案】2
【详解】因为外接球的体积为，设外接球半径为，
可得，解得.
如图所示，正三棱锥的外接球，以及底面外接圆圆心，
可知，
在中，，
可得，
在中，可知，即，
化简得，因为，解得.
30．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________.
【答案】.
【解析】作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，根据两圆的关系以及与对角面关系，即可求解.
【详解】如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，
过点，分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F.
设球的半径为r，球的半径为R，
由，，得，，
∴，∴.
故答案为:
【点睛】本题考查球与球以及球与正方体间的关系，作出截面图将空间问题转化为平面问题，属于中档题.
试卷第1页，共3页
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8.1 基本立体图形
刷基础
题型一 台体的相关计算
1．所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ）
A． B． C． D．
2．正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于________．
3．一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______.
4．已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________．
5．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为__________．
题型二 空间几何体截面积的计算
6．一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（ ）
A． B．
C． D．
8．一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ）
A．32 B． C． D．
9．如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
10．如果正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，则它的中截面（过侧棱中点）的截面面积是________．
11．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（ ）cm.
A．2 B．14 C．2或14 D．6或8
12．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中，，，则球心到经过这三个点的截面的距离为____________．
13．如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为______.
提能力
题型一 最短距离和问题
14．如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
16．已知正方体的棱长为4，点为的中点，则沿正方体表面从点到点的最短距离为（ ）
A．4 B． C． D．8
17．如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
18．如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
19．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为__________公里.
题型二 几何体和截面图形
20．（多选题）如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能是（ ）
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
21．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形
22．如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰梯形
C．五边形 D．六边形
23．如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？
①四面体； ②四棱锥； ③四棱柱；
④五棱锥； ⑤五棱柱； ⑥六棱锥；
⑦七面体．
______（找出可能的结果，并将序号填在横线上）
24．已知正四面体内接于一个球，某同学画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如图所示，则（ ）
A．①②③④都是正确的
B．只有②④是正确的
C．只有④是错误的
D．只有①②是正确的
25．如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中水的上表面形状可能是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．非矩形的平行四边形 D．六边形
破难关
题型一 球的切接问题
26．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
A．1 B． C． D．2
27．（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（ ）
A． B． C． D．
28．若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________.
29．已知三棱锥的各棱长均为，且其外接球的体积为，则__________.
30．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________.
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