8.1.1 棱柱、棱锥、棱台 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.1.1 棱柱、棱锥、棱台 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.棱锥的侧面和底面可以都是（　　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 2.有一个多面体，共由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（　　） A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 3.下列说法中，正确的是（　　） A.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可作为它的底面 C.棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 D.在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 4.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面的一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（　　） A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定 5.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台的上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面之间的距离为（　　） A.12 B.9 C.6 D.3 6.下列命题中，正确的个数是（　　） ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A.0 B.1 C.2 D.3 7.如图所示，能推断这个几何体可能是三棱台的为（　　） A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 8.（多选）一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（　　） A.三棱柱 B.三棱台 C.五棱锥 D.四面体 9.（多选）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（　　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.不可能为四边形 10.有一个长方体木块，过同一个顶点的三个面的面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体，则该正四面体的棱长的最大值是（　　） A.2 B.2 C.4 D.4 二、填空题 11.下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是 . 12.一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图所示为此正方体的两种不同放置方式，则与D面相对的面上的字母是 . 13.一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为 . 三、解答题 14.如图所示，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后的点记为P. （1）折起后形成的几何体是什么几何体？ （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ 15.试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并用适当的符号表示出来. 图1　图2　图3 （1）只有一个面是等边三角形的三棱锥； （2）四个面都是等边三角形的三棱锥； （3）三棱柱. 16.如图所示，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面三角形AEF，求△AEF周长的最小值. 参 考 答 案 一、选择题 1.棱锥的侧面和底面可以都是（　A　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 解析： 由棱锥的定义可知，三棱锥的侧面和底面均是三角形. 2.有一个多面体，共由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（　D　） A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 解析： 根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥. 3.下列说法中，正确的是（　D　） A.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可作为它的底面 C.棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 D.在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 解析： 正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，A错误；平行六面体任意两个相对的面一定可作为它的底面，B错误；平行六面体的侧面是平行四边形，底面也是平行四边形，C错误；棱柱的底面互相平行，在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行，D正确. 4.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面的一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（　A　） A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定 解析： 长方体水槽固定底面的一边后倾斜，水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面，而其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义. 5.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台的上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面之间的距离为（　D　） A.12 B.9 C.6 D.3 解析： 设原棱锥顶点到底面的距离为h，由题意得＝，则h＝6，因而棱台上、下底面之间的距离为6－3＝3. 6.下列命题中，正确的个数是（　A　） ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A.0 B.1 C.2 D.3 解析： 对于①，如图①所示，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台. 图①　 图②　 图③ 对于②，如图②所示，AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此几何体不能还原成四棱锥，不是棱台.对于③，如图③所示，有两个等腰梯形的上底朝上，而另两个的上底朝下（同向的为相对面），则此时的六面体不是棱台. 7.如图所示，能推断这个几何体可能是三棱台的为（　C　） A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 解析： 根据棱台是由棱锥截成的进行判断.≠，A不可能是三棱台；≠，B不可能是三棱台；＝＝，C可能是三棱台；满足条件的可能是三棱柱，D不可能是三棱台. 8.（多选）一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（　ABC　） A.三棱柱 B.三棱台 C.五棱锥 D.四面体 解析： 对于A，三棱柱的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于B，三棱台的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于C，五棱锥的顶点是底面五边形的顶点及各侧棱的交点（一个），有6个，满足题意；对于D，四面体的顶点个数为4，不满足题意. 9.（多选）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（　AB　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.不可能为四边形 解析： 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形（如图①所示），如果截面截三棱锥的四条棱，则截面为四边形（如图②所示）. 图①　图② 10.有一个长方体木块，过同一个顶点的三个面的面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体，则该正四面体的棱长的最大值是（　B　） A.2 B.2 C.4 D.4 解析： 设长方体中过同一个顶点的三条棱的长分别为a，b，c，则ab＝8，bc＝12，ac＝24，可得a＝4，b＝2，c＝6，∴长方体的最短棱的长为2，则长方体可削成最大的正方体的棱长为2，∴正四面体的棱长的最大值是正方体的面对角线的长，其长度为2. 二、填空题 11.下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是　①②　. 解析： ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 12.一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图所示为此正方体的两种不同放置方式，则与D面相对的面上的字母是　B　. 解析： 由此正方体的两种不同放置方式可知，与C相对的是F，因此D与B相对. 13.一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为　3　. 解析： 如图所示，在正三棱锥S－ABC中，O为△ABC的中心，连接OA，SO，则SO为正三棱锥的高，则SO＝，AB＝3.易知OA＝，在Rt△SOA中，SA＝＝3. 三、解答题 14.如图所示，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后的点记为P. （1）折起后形成的几何体是什么几何体？ 解：（1）如图所示，折起后的几何体是三棱锥. （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ 解：（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF为直角三角形. 15.试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并用适当的符号表示出来. 图1　图2　图3 （1）只有一个面是等边三角形的三棱锥； 解：（1）如图①所示，三棱锥A1－AB1D1（答案不唯一）. 图① （2）四个面都是等边三角形的三棱锥； 解：（2）如图②所示，三棱锥B1－ACD1（答案不唯一）. 图② （3）三棱柱. 解：（3）如图③所示，三棱柱A1B1D1－ABD（答案不唯一）. 图③ 16.如图所示，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面三角形AEF，求△AEF周长的最小值. 解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开后平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长即为△AEF周长的最小值. ∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4，∴△AEF周长的最小值是4. 学科网（北京）股份有限公司 $