9.2+提公因式法（课件）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级下册 9.2　提公因式法 八年级苏科版数学下册 第九章 因式分解 问题情境 我们在小学学过整数运算和分数运算，但在学习分数运算前，需要学习因数、公因数、分解质因数．类比是我们学习数学重要的方法．进入初中，我们学习了整式（单项式、多项式）、整式的运算，理解数式相通. 问题1 4和12的因数分别有哪些？它们的公因数又有哪些？对12如何分解质因数？ a b c d a b c a d a 问题 如何把多项式ab+ac+ad分解因式? 从左往右看，可以得到： a(b+c+d)=ab+ac+ad. ① 从右往左看，可以得到： ab+ac+ad=a(b+c+d). ② 式子①，②有什么联系和区别？ 整式乘法 因式分解 1、式子②从左到右的变形是多项式ab+ac+ad的因式分解. 2、多项式ab+ac+ad各项都含有因式“a”，像这样的因式称为多项式各项的公因式(common factor). . 计算： 375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 问题1： 375×2.8＋375×4.9＋375×2.3为什么可以写成 375×(2.8＋4.9＋2.3)？依据是什么？ 情境创设 情境创设 如何把多项式ab+ac+ad分解因式？ 因为 a(b+c+d)=ab+ac+ad 问题2： 反过来 ab+ac+ad=a(b+c+d) a有什么特征？ 找出下列多项式中的公因式： (1)a2b+ab2; (2)3x2-6x3; (3)9abc-6a2b2+12abc2. a2b+ab2的公因式是ab. 3x2-6x3的公因式是3x2. 9abc-6a2b2+12abc2的公因式是3ab. 尝试 一个多项式各项的公因式常常不止一个. 当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数; 字母应取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 例如，多项式9abc-6a2b2+12abc2各项有公因式是        ， 它可以写成： 3ab•      - 3ab•      +3ab•      ,于是，9abc-6a2b2+12abc2=3ab(                      ) 3c 2ab 4c2 3ab 3c-2ab+4c2 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以采用添括号的方法把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法 活动　找出下列多项式各项的公因式． （1）a2b＋ab2； （2）3x2－6x3； （3）9abc－6a2b2＋12abc2． 问题2　如何确定多项式中各项的公因式？ 数学活动 定系数：取各项系数的最大公因数； 定字母：取各项都含有的相同字母； 定指数：相同字母取次数最低的那一个。 ＝ab·a＋ab·b ＝ab(a＋b) ＝3x2·1－3x2·2x ＝3x2(1－2x) ＝3ab·3c－3ab·2ab＋3ab·4c2 ＝3ab(3c－2ab＋4c2) 活动　找出下列多项式各项的公因式． （1）a2b＋ab2；（2）3x2－6x3；（3）9abc－6a2b2＋12abc2． 追问1　如果多项式的第一项系数是负数，比如将（2）变式为－3x2＋6x3，公因式的符号该如何确定？ 数学活动 公因式的符号通常取与首项系数相同的符号，即负号；此公因式为：−3x2 例1 把5x3－10x2分解因式． 解： 5x3－10x2 ＝5x2(x－2)． 方法总结 提公因式法的一般步骤： 1. 确定公因式—先确定系数，再确定字母 和字母的次数． ＝5x2·x－5x2·2 5x2 2. 确定另一个因式—多项式的各项分别除 以公因式就能得到各项的另一个因式． 3. 写成两个因式的积的形式． 教材P108 例题 合作探究 (1) a2b+ab2= （ ） (2) 3x2－6x3 = （ ） (3) 9abc－6a2b2＋12abc2 = （ ） ab 3x2 3ab 找出公因式，将多项式写成积的形式. a+b 1－2x 3c－2ab＋4c2 当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数， 字母取各项相同的字母，且各字母的指数取次数最底的． 合作探究 如何找公因式？ 确定公因式方法 当多项式的各项系数都是整数时： 公因式的系数应取各项系数的最大公约数， 字母取各项相同的字母， 而且各字母的指数取次数最低的． 注：特别的，当多项式的第一项系数为负数时，通常把负号作为公因式的符号． 数学活动 提公因式法 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以采用添括号的方法把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 符号语言：ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d). 数学建构 例2 把下列各式分解因式： (1) 12ab2c－6ab； (2) －8m2＋12m． 解：原式＝6ab·2bc－6ab·1 ＝6ab(2bc－1)； 原式＝－4m·2m＋(－4m)·(－3) ＝－4m(2m－3)． 6ab －4m 当多项式的第一项系数为负数时，通常把负号作为公因式的符号进行因式分解.如例2(2)中，把“-4m”作为-8+12m各项的公因式，分解因式后的另一个因式“2m-3”第一项的系数就为正数 教材P108 例题 将下列多项式分解因式： (1) x2y＋xy2＝____ (x＋y) (2) 10x2y3－15xy2＝_____(2xy－3) 概念辨析 xy 5xy2 将下列多项式分解因式： (3) 6m3－4m2＋2m＝2m(___________) (4) 12ab－18b2c＋20abc2 ＝2b( _____________) 概念辨析 3m2－2m＋1 6a－9bc＋10ac2 基础巩固题 知识点1 公因式的概念 1.【2025福建厦门期末】下列式子是和 的公因式的是( ) C A.2 B. C. D. 【解析】和的公因式是 ，故选C. 2.【2025江苏徐州期末】若, ，则 的值与 的公因式为____. 【解析】,，，的值与的公因式为 ． 知识点2 用提公因式法因式分解 3.【2025广东汕头一模】把 分解因式，结果正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 ，故选A. 知识点3 提公因式法的应用 4.已知，那么代数式 的值是( ) B A.2 000 B. C.2 001 D. 【解析】，， . 故选B. 18 例1　把5x3－10x2分解因式． 追问　分解因式的方法是什么？如何确定公因式？如何检验结果是否正确？ 例题分析 解： 5x3－10x2 ＝5x2(x－2)． ＝5x2·x－5x2·2 把分解后的式子重新展开，看是否和原式一致 例2　把下列各式分解因式： （1）12ab2c－6abc ；　　　（2）－8m2＋12m． 追问　首项系数是负数的多项式，其公因式的系数如何确定？如何检验结果是否正确？ 例题分析 解：原式＝6ab·2bc－6ab·1 ＝6ab(2bc－1)； 原式＝－4m·2m＋(－4m)·(－3) ＝－4m(2m－3)． 如果第一项系数是负数时，应把 “－” 提取作为公因式的符号． 数学化认识 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以采用添括号的方法把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 1．有公因式要先提公因式． 2．必须分解到每个多项式因式不能分解为止． 课堂小结 课堂小结 提公因式法 公因式 —多项式中各项都含有的因式． 定义 确定方法 —定系数(先定符号)；定字母；定次数． 提公因式法的一般步骤 确定公因式 确定另一个公因式 写成两个因式的积的形式 $